2.傅里叶级数的意义 [学习笔记]

首先我们将矢量的“内积”或称“点积”的概念以类比的方式推广到复变函数
设函数$f$、$g$在$[0,1]$内平方可积，则我们定义函数$f$、$g$的内积为：

$$(f,g) = \int_0^1f(t)\overline{g(t)}dt \tag1$$

在矢量运算中，我们有：
1.矢量长度$\left \lvert \bf{v} \right \rvert = \sqrt{\bf{v}^2} = \sqrt{(\bf{v},\bf{v})}$
2.勾股定理，当且仅当$\left\lvert \bf{v}+\bf{u}\right\rvert^2 =\left\lvert \bf{v}\right\rvert^2 + \left\lvert \bf{u}\right\rvert^2$时，即$(\bf{v},\bf{u}) = 0$时，矢量$\bf{v}$、$\bf{u}$正交

类比于矢量内积，再利用函数内积公式$(1)$，我们可以得到：
1.函数长度的平方$\left \lVert f \right \rVert^2 = (f,f) = \int_0^1 \left \lvert f(t)\right \rvert^2 dt$
2.当且仅当$\left\lVert f+g\right\rVert^2 =\left\lVert f\right\rVert^2 + \left\lVert g\right\rVert^2$，即$(f,g) = 0$时，函数$f$、$g$正交

我们回忆一下周期为1的周期函数的傅里叶级数

$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty \hat{f}(k) e^{2\pi ikt} \tag2$$

其中

$$\hat{f}(k) = \int_0^1 f(t)e^{-2\pi ikt}dt \tag3$$

利用$(1)$式及上述函数正交性及函数长度的定义，容易得到：

$$\begin{align*} (e^{2\pi int}, e^{2\pi imt}) &= \int_0^1e^{2\pi int} e^{-2\pi imt}dt\\ & = \int_0^1e^{2\pi i(n-m)t}dt\\ & = \begin{cases} 0, & n \neq m \text{ （正交）}\\ 1, & n = m \text{ （模长的平方为1）} \end{cases} \end{align*}$$

这个计算结果表明：

$$\text{1.在复平面上的傅里叶级数的表达式中，}\lbrace e^{2\pi ikt}\rbrace \text{均正交，其中}k\in (-\infty, \infty) \tag4$$

$$2.\lbrace e^{2\pi ikt}\rbrace \text{中的各项模长均为1，其中}k\in (-\infty, \infty) \tag5$$

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我们再次回到矢量上来，假设我们有矢量$\bf{a}$、$\bf{b}$，$\bf{a}$与$\bf{b}$的内积$(\bf{a},\bf{b})$在几何中的意义是$\bf{a}$在$\bf{b}$上的投影长度乘以$\bf{b}$的长度(或$\bf{a}$$\bf{b}$位置互换)

当$\bf{b}$为单位向量（或称为基）时，$(\bf{a},\bf{b})$可以看作$\bf{a}$在$\bf{b}$上的投影，或者说是矢量$\bf{a}$在基$\bf{b}$方向上的分量
比如，我们设$\bf{v}$、$\bf{u}$为互相垂直的一对单位向量，则$(\bf{a},\bf{v})$、$(\bf{a},\bf{u})$分别为$\bf{v}$方向和$\bf{u}$方向上的分量。在物理上，这种方法也称为矢量的正交分解。因此我们可以将$\bf{a}$写作

$$\bf{a} = (\bf{a},\bf{v})\bf{v}+(\bf{a},\bf{u})\bf{u}\tag6$$

接下来我们利用(1)式计算以下内积：

$$\begin{align*} (f, e^{2\pi ikt}) &= \int_0^1f(t) \overline{e^{2\pi ikt}}dt\\ & = \int_0^1f(t) e^{-2\pi ikt}dt\\ & = \hat{f}(k)\tag7 \end{align*}$$

由$(5)$式我们知道$e^{-2\pi ikt}$的模长为1。类比矢量投影的性质，我们不难从上式看出：第$k$项傅里叶系数，就是函数对于第$k$项复指数的投影
运用$(7)$式，我们将傅里叶级数即$(2)$式改写可得：

$$\begin{align*} f(t) &= \sum_{k=-\infty}^\infty \hat{f}(k) e^{2\pi ikt}\\ &= \sum_{k=-\infty}^\infty (f, e^{2\pi ikt})e^{2\pi ikt} \end{align*}$$

联系性质$(4)$、$(5)$以及矢量的分量表达式$(6)$，我们发现上式可以理解为$f(t)$在基$\lbrace e^{2\pi ikt}\rbrace$上的投影，再乘以基。

因此，傅里叶级数的一种解释方式是：将周期函数$f(t)$投影到正交基组$\lbrace e^{2\pi ikt}\rbrace$上，再用这些分量重新写出$f(t)$

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最后，我们再证明一个重要的等式：瑞利等式
利用傅里叶级数式$(2)$

$$\begin{align*} \int_0^1\left \lvert f(t)\right\rvert^2dt &= \sum_{k=-\infty}^\infty \int_0^1 \left \lvert \hat{f}(k) e^{2\pi ikt} \right \rvert^2 dt\\ &= \sum_{k=-\infty}^\infty \int_0^1 \left \lvert \hat{f}(k)\right \rvert^2 \left \lvert e^{2\pi ikt} \right \rvert^2 dt\\ &= \sum_{k=-\infty}^\infty \left \lvert \hat{f}(k)\right \rvert^2 \int_0^1 \left \lvert e^{2\pi ikt} \right \rvert^2 dt\\ & = \sum_{k=-\infty}^\infty \left \lvert \hat{f}(k)\right \rvert^2 \tag8 \end{align*}$$

$(8)$式表明了一个函数的长度的平方，与它的正交组成成分的平方和相等，这也是矢量的瑞利等式的扩展。
在工程中，我们常把$(8)$式的等式左边部分称为函数的能量，因此有了傅里叶级数，我们既可以在时域计算能量，也可以在频域计算能量。