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傅里叶级数与变换的理解
分解与合成是一种朴素的思想，有的时候可以将一个复杂的问题分解成若干个小问题逐个击破，当每一个小的问题解决以后，大的问题也就随之解决。傅里叶变换也是基于这个思想的，它可以将一个函数f(x)分解成若干正弦、余弦函数的和，从而使得原有的一些运算变得更加简洁。傅氏变换是一门数学分支的基础，它就是调和分析，我国著名数学家华罗庚先生认为，把已知函数展开成傅里叶级数的运算就叫做调和分析，调和分析也正是从傅里叶级数和傅里叶变换开始发展壮大起来的。我们知道，如果要将一个函数f(x)展开成泰勒级数的形式，那么首先要满足的一个条件就是它的n阶导数必须存在。事实上，大部分函数在有限次求导之后，其高阶导数值变为零，所以无法运用泰勒公式展开成完整的级数形式。我们不禁要问道，除了泰勒级数这种展开的方式以外，还有没有其他的级数展开方式？答案是肯定的。1807年，法国数学家Baron Jean Baptiste Joseph Fourier在求解热传导方程的时候，发现解函数可以由三角函数构成级数形式表示从而提出函数可以展开成三角级数的无穷级数，这一发现极大地推动了偏微分方程编值问题的研究，Fourier于1822年出版了专著《热的解析理论》，这部著作将Euler、Bernoulli等人运用三角级数的方法发展成内容丰富的一般理论。不得不说的是，傅里叶变换是求解微分方程数值 解的有力工具，这是由三角函数的微积分不变性所决定的，即若对正余弦函数求导，仅仅改变其幅值和相位，而不改变其原有的函数形状。下面我们就来看一下如何将函数进行傅里叶展开。
1 为什么我们要分解一个函数
（注：这里转载的博主用语十分诙谐，反正我被逗笑了）
你是大学生吗? 你学理工科吗? 你还不知道傅里叶级数吗? 你以为傅里叶和泰勒有什么亲戚关系吗? 你一定听说过傅里叶展开和泰勒展开吧? 展开的结果就是傅里叶级数和泰勒级数. 他们是对一个函数的不同的展开方法.
相信我, 傅里叶分解其实巨简单!
但是最开始的问题一定是: 我们为什么要展开一个函数?!
一个函数 y=1他的泰勒展开是神马? 还是 y=1
那么y=x的展开呢? 是 y=x
我们知道, 泰勒展开是把函数分解成 
就是把一个函数变成几个函数的和啊! 这个展开的式子就是泰勒级数啊!
对函数的展开和5=2+3 一样一样一样的啊! 要多简单有多简单有木有啊!
但是你要注意啊:
展开的很多时候是有无限项不能穷尽的呀!
你还记得sinx的泰勒展开是什么吗?
那么现在提问: 你知道为什么要展开成幂级数的和吗? 请看这里:
因为我们把 y展开成泰勒级数
这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊!
所谓对函数的无限细分, 就是不断求导, 得到1,2,3,4,5,6,7,8,9等各阶变化率, 从而得到这个函数到底在各个点精细变化的有多剧烈啊!
还记得神马叫变化吗? 位移的变化是速度, 速度的变化是加速度, 加速度的变化是加加速度的. 一句话, 变化就是导数啊!
泰勒级数的每一阶的系数 (主值 ) 就是各阶导数啊!!
所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊!
你不认识傅里叶? 没有任何关系, 但是你见过三角形吗? 知道三角函数吗?
傅里叶级数又叫三角级数啊. 一句话就是把函数 y拆成三角函数的和啊啊!!
神马, 你还记得神马是三角函数吗? sinx,cosx等等.
那么展开成三角级数, 简单!
y=sinx+sinx2+sinx3+⋯是这样吗? ? ? ?
楼主, 这样真的没有问题吗?
原谅楼主吧, 上面的式子是错的!
当当当当! 下面才是傅里叶级数:
y=1+sinx+cosx+sin2x+cos2x+⋯
这才是傅里叶级数!
喂喂喂, 这都是神马呀? 凭神马能拆成三角函数的和呀呀! 为什么要是 sinx,sin2x⋯ 呀呀呀!
亲, 你知道的!只有周期函数才有傅里叶级数!!也就是说只有周期函数可以拆成三角函数的和呀呀!!
你要问非周期函数肿么办? 那你就要去了解傅里叶变换了. 我变我变我变变变.
任何一个比较正常 (没有间断点的函数) , 基本上都可以进行傅里叶变换呀呀呀!! (这句话我才不保证严谨性)
好好好. 我们就来解释一下傅里叶级数的形式:
我们来说一下为什么要把周期函数拆成三角函数的和,这也是和为什么要把一个函数拆成幂级数的和一样本质的问题.
好, 周期函数总有周期吧.
比如说, 你在学唱歌, 喊了一秒, 歇一秒, 再喊一秒, 歇一秒… 你就一直从历史喊到了未来, 永不停歇. 这样你的发声便是一个周期为2秒的方波. (假设你的气息平稳, 喊的声音大小是不变的, 噢这真是难为你了. )
那你知道你想知道为什么分解成三角函数的和 (正弦波) 那么重要吗? ?
那是因为,我们知道, 对于一个周期函数来说, 和周期对应的叫频率. 频率表示了周期性变化的快慢 (比如说振动的快慢) .
我们知道弹簧是有振动频率的, 电磁波是有振荡频率的, 光也是有频率的. 那么频率就是这些物质的本质属性.
在电子学里, 我们知道电容是隔直通交的. 但是怎么一个”隔直通交”法呢? 其实这就是电容对不同频率的电学量 (比如电压和电流) 的频率特性不同的体现. 对于频率为0的电压, 不论有多少电压, 它的电流都为0, 对于频率为w(跟我一起念: 欧米茄) 的电压, 会产生与w和电压U成正比的电流. 所以说我们要把一个函数分成不同频率的分量.
再回来看看我们的傅里叶级数的公式吧:
2 傅里叶级数就是三角级数
2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量
好复杂啊有木有!
尼玛这样的数学就是唬人的!
公式里的l是周期的一半 (或者说周期是2l) .
用这个式子我们就可以表示周期是2l的各种样子的周期函数. 就像我们上面的方波那样. 而1/2l就是它的基频. 之所以所有的频率都是基频的倍数那是因为它要符合周期性边界条件!
好吧可是为什么又有cosx又有sinx?! 好难看的公式有木有!
其实分明就应该是
f(x)=a0+A1sin(w1x+ϕ1)+A2sin(2w1x+ϕ2)+⋯
不要把相位拆开呀好不好, 还弄个an,bn搞得一团糟啊啊!
但是你把相位拆开了就是上面的式子啊啊啊!
但你要知道, 这个相位是多少我们是不知道的, 为了求相位我们需要把每一个频率 (k )的coskx的幅度和sinkx的幅度都搞清楚再求出来啊啊, 所以ak和bk这两个系数合起来才能搞清楚Ak和ϕk啊!
一句话, 傅里叶级数就是把周期函数拆开成 常数 (直流分量 ) +一倍频分量+2倍频分量+⋯⋯这么简单的一件事啊啊!
可是拆开的每个分量的大小我还不知道啊啊!!
你要告诉我系数a0,a1,a2,a3,b1,b2,b3,⋯都怎么算啊!
怎么算, 拿投影算啊! 你没学过函数的投影你还没学过向量的投影吗啊!
向量的投影是直接用a⋅ba·b 啊啊. 函数的投影是神马? 是下面这个东东啊!
2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求.
好啦，编辑时出现了问题，这里直接放图
参考资料：傅里叶分析 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358?columnSlug=wille