【信号与系统学习笔记】—— 【周期信号的傅里叶级数表示】之 周期信号傅里叶级数的性质解读

在这一篇 $Blog$ 中，博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前，请明确一件事情：对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。

一、什么样的周期信号才能够做傅里叶展开？

当时傅里叶的论文中有这样一句话：“所有的连续时间信号都能够表示成成谐波关系的复指数信号的加权和”。在当时引来了像拉普拉斯等人的强烈反对。傅里叶认为：对于周期方波信号，只要我取的正弦信号足够多，那么我就一定能够完美地拟合出来。如下图所示：

但实际上并不是这样，无论我们的正弦信号取了多少，在原方波的间断点处不可避免地会出现震荡和超量。超量的幅度并不会随着我们所选取的正弦波的数量增多而减少，选取的正弦波的数量增多只会使得超量的震荡频率更大，并且朝着间断点处压缩。这就是所谓的 “吉布斯现象”。

那么，到底什么样的连续时间信号才能够展开成傅里叶级数呢？我们下面给出三个条件（其中条件三是狄里克雷第一定理）。连续时间的周期信号只要满足三者之一，就可以展开成傅里叶级数：
【条件一】：信号全部连续
【条件二】：信号在一个周期内能量有限： $\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt <∞$
【条件三】：信号在一个周期内绝对可积： $\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|<∞$

二、周期信号傅里叶级数的重要性质

2.1 线性

首先我们给出定义：

连续时间信号傅里叶级数的线性性：若信号 $x_1(t)$的傅里叶级数是 $a_k$，信号 $x_2(t)$ 的傅里叶级数是 $b_k$，那么，信号 $Ax_1(t) + Bx_2(t)$ 的傅里叶级数就是 $Aa_k + Bb_k$。

首先，我们先知道求傅里叶系数的过程就是一个积分的过程，如果我们用 $\int$ 表示计算傅里叶系数（当然这样的写法不够准确，但是为了说明问题暂且先这样用）。

所以，我们如果对信号 $Ax_1(t) + Bx_2(t)$ 求傅里叶系数： $\int Ax_1(t) + Bx_2(t)$，就可以这样变换： $\begin{aligned} &\int Ax_1(t) + Bx_2(t) = \int Ax_1(t) + \int Bx_2(t) = A\int x_1(t) + B\int x_2(t) \end{aligned}$
而我们知道： $a_k = \int x_1(t)$； $b_k = \int x_2(t)$，所以信号 $Ax_1(t) + Bx_2(t)$ 的傅里叶系数就是： $Aa_k+Bb_k$

2.2 时移特性

我们同样先看定义：

连续时间信号傅里叶级数的时移特性：假设 $x(t)$ 的傅里叶系数是 $a_k$，那么 $x(t-t_0)$ 的傅里叶系数就是 $a_ke^{-jkω_0t_0}$，也即是说，时移并不会改变傅里叶级数的幅度，改变的是傅里叶级数的相位。

首先根据定义，我们可以得到： $a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt$
下面我们对信号 $x(t-t_0)$ 求傅里叶级数：因为 $x(t-t_0)$ 只是时移，所以周期并不会改变，仍为 $T_0$ $\begin{aligned} \frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0t}dt &= e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0(t-t_0)}d(t-t_0)\\ &=e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t)e^{-jkω_0t}dt \end{aligned}$
注意：在最后一行我们做了变量代换：令 $t = t-t_0$

2.3 尺度变换

这个稍微难理解一点点，我们先推导，再给出定义：
首先对于信号 $x(t)$ ，我们有： $a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt$
而我们知道，尺度变换相当于对信号做拉伸或者压缩，自然会改变原信号的周期。例如，如果信号 $x(t)$ 的周期是 T ，那么信号 $x(at)$ 的周期就是 $T_1 = \frac{T}{a}$。那么角频率就是 $ω_1 = aω_0$。好，下面我们计算 $x(at)$ 的傅里叶系数，根据定义，有：
$\begin{aligned} \frac{1}{T_1}\int_{T_1}x(at)e^{-jkω_1t}dt&=\frac{a}{T_0}\int_{\frac{T}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt \end{aligned}$
所以，我们对于计算带时移的周期信号的傅里叶级数，我们首先要做的就是明确这个信号和原本信号周期、角频率之间的关系。然后才能根据定义求解。

那么，下面我们给出定义：对于带时移的周期信号 $x(at)$，其傅里叶级数表示为： $b_k = \frac{a}{T_0}\int_{\frac{T_0}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt\tag{1}$
更进一步讲，如果我们使用 $τ$ 表示 $at$，那么，因为我们的积分范围就是在一个周期 $\frac{T_0}{a}$ 内，因此，我们知道， $t$ 的取值范围是： $0 ≤ t ≤ \frac{T_0}{a}$（当然这个范围并不唯一）。那么 $τ$ 的取值范围就是 $0 ≤ τ ≤ T_0$ 下面我们就把 $τ$ 带入(1) 式： $b_k = \frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}d(\frac{τ}{a})\\ \space\\ =\frac{1}{a}\frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = a_k$

2.4 反转

这里我们直接给出结论：对于周期信号 $x(t)$，其傅里叶系数是 $a_k$。那么其反转信号 $x(-t)$ 的傅里叶系数就是 $a_{-k}$，即也是对于 $a_k$ 的反转。进一步讲，若 $x(t)$ 是偶信号，那么 $a_k$ 也是偶的。如果 $x(t)$是奇信号，那么 $a_{-k} = -a_k$

2.5 时域相乘等价于频域卷积

我们先给出结论：若 $x(t), y(t)$ 的傅里叶级数分别是 $a_k, b_k$，那么有： $x(t)y(t)$ 的傅里叶级数就是： $a_k*b_k$
我们证明一下，直接用求傅里叶系数的公式即可： $\begin{aligned} \frac{1}{T}\int_Tx(t)y(t)e^{-jω_0kt}dt &=\frac{1}{T}\int_T\sum_{l=-∞}^{+∞}a_ke^{jω_0lt}y(t)e^{-jω_0kt}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_k\frac{1}{T}\int_Ty(t)e^{jω_0(l-k)t}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_kb_{l-k} = a_k*b_k \end{aligned}$

2.6 周期卷积定理（和2.5 对偶）

对于连续时间的、周期相同的周期信号 $x(t), y(t)$，我们在一个周期内的卷积，就等于它们对应的傅里叶级数相乘，再乘上周期。表述为： $\int_Tx(τ)y(t-τ)dτ = Ta_kb_k$

2.7 共轭以及共轭对称性

首先我们看看第一个结论：假设周期信号 $x(t)$ 的傅里叶级数是 $a_k$，那么，如果取 $x(t)$ 的共轭： $x^*(t)$，那么这个共轭信号 $x^*(t)$ 的傅里叶系数就应该要对 $a_k$ 取共轭，并且进行反转，即： $a^*_{-k}$
用数学语言表述即为： $x(t) \quad\underleftrightarrow{FS} \quad a_k\\ \space\\ x^*(t)\quad \underleftrightarrow{FS}\quad a^*_{-k}$

更进一步：如果 $x(t)$ 是实信号，即 $x(t) = x^*(t)$，那么应有： $a_k = a^*_{-k}$，不过我们更常用的是： $a_k^* = a_{-k}$

下面的几个推导大家需要跟上，否则可能会造成混乱：
【1】若 $x(t)$ 是实信号，而且是偶函数，即 $x(t) = x(-t)$。那么因为 $x(-t)$ 的傅里叶级数应该是 $a_{-k}$。所以应有： $a_k = a_{-k}$，同时，我们根据 $x(t)$ 是实信号，又可以得到： $a_k = a^*_{-k}$。综上，我们得到了一串等式： $a_k = a_{-k} = a^*_{k}$。前面一个等号说明 $a_k$ 也是偶的、后面的等号说明 $a_{k}$ 是实的。 即若 $x(t)$ 是实偶函数，那么其频谱将会是实偶函数

【2】若 $x(t)$ 是实信号，同时又是奇函数 $x(t) = -x(-t)$，因为 $-x(-t)$ 的傅里叶级数是 $-a_{-k}$。所以我们也可以得到一串等式： $a_k = -a_{-k} = -a^*_k$。前一个等号表示 $a_k$ 是奇函数、后一个等号表示 $a_k$ 是纯虚数，因此，若 $x(t)$ 是实奇函数，那么其频谱 $a_k$ 将会是纯虚奇函数。

2.8 微分性

我们先给出结论：若 $x(t)$ 的傅里叶级数是 $a_k$，那么 $\frac{\partial{x(t)}}{\partial t}$ 的傅里叶系数就是： $a_k jω_0t$

下面给出证明：我们先从 $x(t)$ 的傅里叶展开表达式入手。由于： $x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t}$
下面我们直接对等式两边求导，得： $\frac{\partial{x(t)}}{\partial t} = \sum_{k=-∞}^{+∞}(a_kjkω_0)\space e^{jkω_0t}$
因此，新的傅里叶系数就是： $a_k jω_0t$

利用微分型，我们一样可以计算出连续时间周期矩形信号的频谱。这里不详细展开，但是提几个突破口：

1. 对周期矩形信号求导，将会得到有上有下的单位冲激函数。
2. 周期为 T 的单位冲激函数串的傅里叶系数的幅值都是 $a_k = \frac{1}{T}$
3. 有上有下的单位冲激函数是可以写成单位冲激函数串右移 $T_1$ 和左移 $T_1$ 的差值。再利用傅里叶系数时移的特点，即可求出周期矩形信号的频谱。

三、帕斯瓦尔定理

这个定理的表示简单，但是证明是比较困难的。下面我们直接给出：
对于一个周期信号的平均功率的计算，可以把它的所有傅里叶系数的平方加起来。
$\frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^2dt = \sum_{k=-∞}^{+∞}|a_k|^2$

同时，我们也引入周期信号功率谱的概念：周期信号的 $|a_k|^2$ 随着 $kω_0$ 变化的情况称为功率谱。 对应地，非周期信号还有功率谱密度，我们以后再来介绍。