【信号与系统】笔记（3-1）——信号的正交分解与傅里叶级数

Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
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前言

连续系统的频域分析相关内容。

一、信号的正交分解

1、信号正交

【定义】在 $(t_1,t_2)$ 区间的两个函数 $\varphi_1(t)$ 和 $\varphi_2(t)$ ，若满足 $\int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t)\varphi_2^*(t)dt=0$（两个函数的内积为0）

则称 $\varphi_1(t)$ 和 $\varphi_2(t)$ 在 $(t_1,t_2)$ 区间内正交。

说明：实函数正交 $\int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t) \varphi_2(t)dt=0$ （内积为0）

2、正交函数集

若 $n$ 个函数 $\varphi_1(t), \varphi_2(t),..., \varphi_n(t)$ 构成一个函数集，当这些函数在区间 $(t_1,t_2)$ 内满足
$\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i(t)\varphi_j^*(t)dt= \begin{cases} 0, i \neq j \\ \\ K_i \neq 0 , i=j \end{cases}$
则称此函数集为在 $(t_1,t_2)$ 区间上的正交函数集。

3、完备正交函数集

如果在正交函数集 $\lbrace \varphi_1(t), \varphi_2(t), ... , \varphi_n(t)\rbrace$ 之外，不存在任何函数 $\varphi(t)$ 满足
$\int_{t_1}^{t_2}\varphi_1(t)\varphi_2^*(t)dt=0 , (i=1,2,...,n)$

则称此函数集为完备正交函数集。

4、信号的正交分解

4.1正交函数的线性组合

设 $n$ 个函数 $\varphi_1(t), \varphi_2(t),..., \varphi_n(t)$ 在区间 $(t_1,t_2)$ 构成一个正交函数空间。将任意函数 $f(t)$ 用这 $n$ 个正交函数的线性组合来近似表示，可表示为：
$f(t) \approx C_1 \varphi_1(t)+ C_2\varphi_2(t)+...+ C_i \varphi_i(t)+...+C_n \varphi_n(t)= \sum_{j=1}^{n}C_j \varphi_j(t)$

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说明：存在误差，但是当 $n\to \infty$ 时（完备正交函数集），误差为零。

4.2广义傅里叶级数

任意信号 $f(t)$ 可以表示为无穷多个正交函数之和
$f(t) = C_1 \varphi_1(t)+ C_2\varphi_2(t)+...+ C_i \varphi_i(t)+... = \sum_{i=1}^{n}C_i \varphi_i(t)$
上式称为信号的正交展开式，也称为 广义的傅里叶级数 。

实变函数下： $C_i= \frac{ \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i (t)dt }{\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i^2(t) dt}= \frac{1}{K_i} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i (t)dt$

复变函数下： $C_i= \frac{ \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i ^*(t)dt }{\int_{t_1}^{t_2}\varphi_i(t) \varphi_i^*(t) dt}= \frac{1}{K_i} \int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi_i ^*(t)dt$

$C_i$ 称为 广义傅里叶系数 。

4.3典型完备正交函数集

两组典型的在区间 $(t_0,t_0+T)(T=2\pi/ \Omega)$ 上的完备正交函数集

（1）三角函数集 $\lbrace 1, \cos(n\Omega t) ,\sin(n\Omega t) ,n=1,2,...\rbrace$

（2）虚指数函数集 $\lbrace e^{jn\Omega t} ,n=0, \pm 1,\pm 2,...\rbrace$

二、傅里叶级数

$Dirichlet$条件
在一个周期内：（1）如果间断点存在，则间断点的数目应是有限个
                         （2）极大值和极小值的数目应是有限个
                         （3）信号满足绝对可积

1、三角形式

直流分量 + $n(n \to \infty)$个正交函数的线性组合。
说明：这里的正交函数属于完备正交函数集（三角函数集）

周期信号 $f(t)$ 其周期为 $T$ 角频率 $\Omega= \frac{2 \pi}{T}$ 当满足 $Dirichlet$ 条件时，它可以分解成如下三角级数：
$f(t)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(n\Omega t) +\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n\Omega t)$
$a_n,b_n$ 称为傅里叶系数

$a_n= \frac{2}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{ \frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dt$

$b_n= \frac{2}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{ \frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dt$

同频率项合成： $f(t)= \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}A_n \cos(n\Omega t +\varphi)$

式中： $A_0=a_0,A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}, \varphi_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}$

$a_n=A_n\cos \varphi _n , b_n=-A_n\sin \varphi _n,n=1,2,...$

$\frac{A_0}{2}$ ：直流分量；

$A_1 \cos(\Omega t +\varphi _1)$：基波或一次谐波

$A_n \cos(n\Omega t +\varphi _n)$： $n$ 次谐波

2、波形的对称性与谐波特性

对称条件	展开式中所包含成分	$a_n$	$b_n$
偶函数	直流项 $+$余弦项	$\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dt$	$0$
奇函数	正弦项	0	$\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dt$
偶谐函数 $f(t)=f(t \pm \frac{T}{2})$	只含偶次谐波	$\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dt$	$\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dt$
奇谐函数 $f(t)=-f(t \pm \frac{T}{2})$	只含奇次谐波	$\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \cos(n\Omega t)dt$	$\frac{T}{4} \int_0^{\frac{2}{T}} f(t) \sin(n\Omega t)dt$

3、指数形式

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n \Omega t}$

复傅里叶系数 $F_n= \frac{1}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{ \frac{2}{T}} f(t) e^{-j n \Omega t}dt$

4、周期信号的功率——Parseval等式

平均功率：
$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f^2(t) dt =(\frac{A_0}{2})^2 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} A_n^2 =\sum _{n=-\infty}^{\infty} |F_n| ^ 2$

总结

中学学过 矢量的正交分解 ，类比，信号也可以正交分解，任意信号 $f(t)$ 可以表示为无穷多个正交函数之和，完备的 正交函数集 为 傅里叶级数 埋下了伏笔。乍一看傅里叶级数一串儿公式，刚开始可能不理解，如果从信号的正交分解来看，就不难理解了。

笔记记得可能有点粗糙，如有错误之处，还请批评指正 ^ _ ^

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