其实，大家如果已经熟悉了连续时间周期信号的傅里叶级数的表示形式：
x
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
e
j
k
ω
0
t
x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t}
x ( t ) = k = − ∞ ∑ + ∞ a k e j k ω 0 t
即对于复指数信号
e
j
ω
t
e^{jωt}
e j ω t
e
j
ω
n
e^{jωn}
e j ω n 对于连续时间的复指数信号而言，他一定是周期的，
ω
ω
ω 但是，对于离散时间信号的复指数信号就不一定了：只有当
N
=
2
π
ω
N = \frac{2π}{ω}
N = ω 2 π
e
j
ω
n
e^{jωn}
e j ω n
ω
ω
ω
我们下面把连续时间的傅里叶级数类比到离散时间周期信号的傅里叶级数，有：
x
[
n
]
=
∑
k
=
<
N
>
a
k
e
j
k
2
π
N
n
x[n] = \sum_{k = <N>}a_ke^{jk\frac{2π}{N}n}
x [ n ] = k = < N > ∑ a k e j k N 2 π n
2
π
N
\frac{2π}{N}
N 2 π
ω
0
ω_0
ω 0
k
=
<
N
>
k = <N>
k = < N >
k
k
k
k
k
k
⋯
\cdots
⋯
⋯
\cdots
⋯
也即是说，对于离散时间的傅里叶级数，我们有下面的重要性质（区别于连续时间的FS）：
a
k
=
a
k
+
N
a_k = a_{k+N}
a k = a k + N
x
[
n
]
x[n]
x [ n ]
下面给出
a
k
a_k
a k
a
k
=
1
N
∑
k
=
<
N
>
x
[
n
]
e
−
j
k
2
π
N
n
a_k = \frac{1}{N}\sum_{k = <N>}x[n]e^{-jk\frac{2π}{N}n}
a k = N 1 k = < N > ∑ x [ n ] e − j k N 2 π n
补充 ：下面再从本质而非类比的角度分析一些 DFS 的推导过程：
x
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
a
k
e
j
k
ω
0
t
x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t}
x ( t ) = k = − ∞ ∑ + ∞ a k e j k ω 0 t
现在到了离散时间的周期信号，我们也希望用一系列复指数信号的加权和来表示。但是，大家还记得吗，对于离散时间信号的复指数而言，每隔
2
π
2π
2 π 即对于离散时间的复指数而言，周期就是
N
N
N ，那么基波频率就是
2
π
N
\frac{2π}{N}
N 2 π
所以求和的话我们也只需要对 N 项进行求和即可。因此得到离散周期信号的傅里叶级数表示：
x
[
n
]
=
∑
k
=
<
N
>
a
k
e
j
k
2
π
N
n
x[n] = \sum_{k = <N>}a_ke^{jk\frac{2π}{N}n}
x [ n ] = k = < N > ∑ a k e j k N 2 π n
基本上，连续时间傅里叶级数有的性质，DFS 都会有。下面我们列一个表格记录一下常用的性质：
性质
序列表示
DFS
线性
M
x
[
n
]
+
N
y
[
n
]
Mx[n] + Ny[n]
M x [ n ] + N y [ n ]
M
a
k
+
N
b
k
Ma_k + Nb_k
M a k + N b k
时移
x
[
n
−
n
0
]
x[n-n_0]
x [ n − n 0 ]
a
k
e
−
j
k
2
π
N
n
0
a_ke^{-jk\frac{2π}{N}n_0}
a k e − j k N 2 π n 0
频移
e
j
M
2
π
N
n
x
[
n
]
e^{jM\frac{2π}{N}n}x[n]
e j M N 2 π n x [ n ]
a
k
−
M
a_{k-M}
a k − M
反转
x
[
−
n
]
x[-n]
x [ − n ]
a
−
k
a_{-k}
a − k
共轭
a
∗
[
n
]
a^*[n]
a ∗ [ n ]
a
−
k
∗
a_{-k}^*
a − k ∗
但是，还是需要重新强调的是，对于 DFS，其频谱
a
k
a_k
a k
a
k
=
a
k
+
N
a_k = a_{k+N}
a k = a k + N
离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
1
N
∑
n
=
<
N
>
∣
x
[
n
]
∣
2
=
∑
k
=
<
N
>
a
k
2
\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}|x[n]|^2 = \sum_{k=<N>}a_k^2
N 1 n = < N > ∑ ∣ x [ n ] ∣ 2 = k = < N > ∑ a k 2
这是考试的重点：给一个信号，系统的单位冲激响应，如何计算求得系统的输出。
还记得我们当初为什么使用复指数信号来表示其他信号吗？就是因为一个
e
j
ω
t
e^{jωt}
e j ω t
H
(
j
ω
)
e
j
ω
t
H(jω)e^{jωt}
H ( j ω ) e j ω t
H
(
j
ω
)
H(jω)
H ( j ω )
H
(
j
ω
)
=
Y
(
j
ω
)
X
(
j
ω
)
H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)}
H ( j ω ) = X ( j ω ) Y ( j ω )
进一步讲，如果我们已知输入信号为：
x
[
n
]
=
∑
k
=
<
N
>
a
k
e
j
k
2
π
N
n
x[n] = \sum_{k = <N>}a_ke^{jk\frac{2π}{N}n}
x [ n ] = k = < N > ∑ a k e j k N 2 π n
h
[
n
]
h[n]
h [ n ]
y
[
n
]
=
∑
k
=
<
N
>
a
k
H
(
e
j
k
2
π
N
)
e
j
k
2
π
N
n
y[n] = \sum_{k = <N>}a_kH(e^{jk\frac{2π}{N}})e^{jk\frac{2π}{N}n}
y [ n ] = k = < N > ∑ a k H ( e j k N 2 π ) e j k N 2 π n
H
(
e
j
k
2
π
N
)
H(e^{jk\frac{2π}{N}})
H ( e j k N 2 π )
k
2
π
N
k\frac{2π}{N}
k N 2 π
OK,对于 DFS 差不多就是这些，下一篇
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