Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（18）—摄像机模型之有限摄像机

             摄像机模型之有限摄像机

基本针孔模型 令投影中心位于一个欧氏坐标系的原点，而平面$z = f$被称为图像平面或聚焦平面。在针孔摄像机模型下， 空间坐标为$\mathbf{X}=(X,Y,Z)^T$，从世界坐标到图像坐标的中心投影是:

$$(X,Y,Z)^T\rightarrow (fX/Z,fY/Z)^T$$
         
  投影中心称为 摄像机中心，也称为 光心。摄像机中心到图像平面的垂线称为摄像机的 主轴或 主射线，而主轴与图像平面的交点称为 主点。过摄像机中心平行于图像平面的平面称为摄像机的 主平面。

  用齐次坐标表示中心投影:

$$\begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} fX\\ fY\\ Z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f & & & 0\\ & f & & 0\\ & & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{pmatrix}$$

  上式也可以表达成：

$$x=PX$$

  其中：

$$P=diag(f,f,1)[I|0]$$

  上面讨论的图像平面的坐标原点在主点上，现在讨论一般情况下的映射：

$$x=K[I|0]K_{cam}$$

  其中$X_{cam}$为摄像机坐标系，摄像机标定矩阵$K$：

$$K=\begin{pmatrix} f& & p_x\\ & f &p_y \\ & & 1 \end{pmatrix}$$

摄像机旋转与位移

$$X_{cam}=\begin{pmatrix} R & -R\tilde{C}\\ 0^T & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} R & -R\tilde{C}\\ 0^T & 1 \end{pmatrix}\mathbf{X}$$

  其中$\mathbf{X}$表示世界坐标系，$\tilde{C}$表示摄像机中心在世界坐标系中的坐标，$R$表示摄像机坐标系的方位。

  综合前面的公式有：

$$\mathbf{x}=KR[I|-\tilde{C}]\mathbf{X}$$

  一般的针孔摄像机$P=KR[I|-\tilde{C}]$有9 个自由度: 3 个来自$K$,3 个来自$R$ ， 3 个来自$\tilde{C}$。$K$中的参数称为摄像机内部参数或摄像机的内部校准。$R$和$\tilde{C}$并称为外部参数或外部位准。摄像机矩阵可简化成：

$$P=K[R|t]$$

  其中$t= -R\tilde{C}$。

CCD摄像机

$$K=\begin{pmatrix} \alpha _x& & x_0 \\ & \alpha _y& y_0\\ & & 1 \end{pmatrix}$$

  其中$\alpha _x=fm_x$,$\alpha _y=fm_y$,$x_0=m_xp_x$,$y_0=m_yp_y$。$m_x$和$m_y$分别是在x 和y 方向上图像坐标单位距离的像素数。因此， 一个CCD摄像机有10个自由度。

有限射影摄像机

$$K=\begin{pmatrix} \alpha _x& s & x_0 \\ & \alpha _y& y_0\\ & & 1 \end{pmatrix}$$

  其中增加的参数s 称为扭曲参数。对大多数标准的摄像机来说，其扭曲参数为零。一个有限射影摄像机有11 个自由度。