Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（17）—算法评价和误差分析

              算法评价和误差分析

1.性能的界定

记号的规定:

• $x$测量得到的量
• 被估计的量加帽子来表示如$\hat{x}$或$\hat{H}$
• 量的真值用加横杠表示，如$\bar{x}$或$\bar{H}$

单图像误差

  2D单应的估计问题在仅给第二幅图像的坐标加噪声的情形下，设有n 组这样的匹配点，RMS( 均方根)残差：

$$\varepsilon _{res}=(\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^nd(x'_i,\hat{x}'_i)^2)^{1/2}$$

双图像误差

对双图像误差情形，残差是:

$$\varepsilon _{res}=\frac{1}{\sqrt{4n}}(\sum _{i=1}^nd(x_i,\hat{x}_i)^2+\sum _{i=1}^nd(x'_i,\hat{x}'_i)^2)^{1/2}$$

最优估计算法(MLE)

结论1 $IR^N$上总方差为$N\delta ^2$的各向同性高斯分布向一个$s$维子空间的投影是总方差为$s\delta ^2$的各向同性高斯分布。

结论2  考虑一个估计问题， 其中$N$个测量由依赖于$d$个本质参数集的函数模型化。 假定每个测量变量有标准差$\delta$的独立高斯噪声。

  (1)ML 估计算法的 RMS 残差(测量值到估计值的距离)是:

$$\varepsilon _{res}=E[\left \| \hat{X}- X\right \|/N]^{1/2}=\delta (1-d/N)^{1/2}$$

  (2)ML 估计算法的 RMS估计误差 (估计值到真值的距离)是:

$$\varepsilon _{est}=E[\left \| \hat{X}- \bar{X}\right \|/N]^{1/2}=\delta (d/N)^{1/2}$$

2.变换估计的协方差

  求得的变换的不可靠性通常由变换的协方差矩阵获得。因为$H$
是 9 元素的矩阵，它的协方差矩阵是一个 9x9 矩阵。

协方差的前向传播

结论1 令$v$是$IR^M$中的一个具有均值$\bar{v}$和协方差矩阵$\sum$的随机矢量， 假定$f: IR^M→IR^N$是一个仿射映射:定义为$f(v)= f( \bar{v}) + A( v- \bar{v})$ 。那么$f(v)$是一个具有均值 $f( \bar{v})$和协方差矩阵$A\sum A^T$的随机变量。

结论2 令$v$是$IR^M$中一个具有均值$\bar{v}$和协方差矩阵$\sum$的随机矢量，令$f: IR^M→IR^N$ 在$\bar{v}$的邻域可微。那么在精确到一阶近似的程度下，$f(v)$是一个具均值$f( \bar{v})$和协方差矩阵$J\sum J^T$的随机变量，其中$J$是$f$的雅可比矩阵在$\bar{v}$的值。

协方差的反向传播

结论3 协方差的反向输送一仿射情形. 令$f: IR^M→IR^N$是形为$f( P ) = f( \bar{P} )+ J(P - \bar{P} )$的仿射映射， 其中$J$的秩等于$M$。 令$X$是$IR^N$中的一个具有均值$\bar{X} = f(\bar{P} )$和协方差矩阵$\sum$的随机变量。 令$f^{-1}o\eta :IR^N\rightarrow IR^M$是一个映射， 它把测量矢量$X$映射到对应于 ML 估计$\hat{X}$的参数矢量$P$。那么$\hat{P}=f^{-1}o\eta (X)$是一个具有均值$\bar{P}$ 的随机变量， 其协方差矩阵是:

$${\sum }_P=(J^T{\sum }_{x}^{-1}J)^{-1}$$

结论4 协方差的反向输送一非线性情形. 令$f: IR^M→IR^N$是一个可微映射，而$J$是它在点$\bar{P}$处的雅可比矩阵。假定$J$的秩为$M$，则$f$在$\bar{P}$的邻域是一一对应的 .。令$X$是$IR^N$中的一个具有均值$\bar{X} = f( \bar{P} )$和协方差矩阵与${\sum}_X$的随机变量。令映射$f^{-1}o\eta :IR^N\rightarrow IR^M$， 把测量矢量$X$映射到对应于 ML 估计$\hat{X}$的参数矢量$P$。那么在一阶精度下，$\hat{P}=f^{-1}o\eta (X)$是一个具有均值$\bar{P}$ 和协方差矩阵$(J^T{\sum }_{x}^{-1}J)^{-1}$的随机变量。

超参数化

结论5 协方差的反向输送一一超参数化情形.。令$f: IR^M→IR^N$是一个可微映射 ， 它把一组参数 $\bar{P}$映射到测量矢量$\bar{X}$。令$S_p$是嵌入$IR^M$中的过点$\bar{P}$的$d$维光滑流形并使得映射$f$在流形$S_p$上 $\bar{P}$ 的一个邻域内是一一对应的 ，$f$把$S_p$局域地映射到$IR^N$上的流形$f( S_p)$ 。 函数 $f$有一个局部逆函数，记为$f^{-1}$， 它限制在曲面$f( S_p)$ 上$\bar{X}$的一个邻域内。定义$IR^N$上的一个具有均值$\bar{X}$和协方差${\sum}_x$的高斯分布，并令$\eta :IR^N →f( S_p)$把$IR^N$上的点映射到$f( S_p)$ 上并在 Mahalanobis 范数$\left \| \cdot \right \|_{{\sum }_x}$意义下最近的点.。$IR^N$上具有协方差矩阵${\sum}_x$的概率分布通过$f^{-1}o\eta$诱导$IR^M$上的概率分布， 它在一阶精度下的协方差矩阵是：

$${\sum }_P=(J^T{\sum }_{X}^{-1}J)^{+A}=A(A^TJ^T{\sum }_{X}^{-1}JA)^{-1}A^T$$

其中$A$是任意 m X d 矩阵， 它的列矢量生成$S_p$的过点$\bar{P}$ 的切空间 。

结论6 令可微映射$f: IR^M→IR^N$ 把$\bar{P}$映射到$\bar{X}$， 并令$J$为$f$的雅可比矩阵。 设$IR^N$上一个具有协方差矩阵${\sum}_x$的高斯分布定义在$\bar{X}$， 令$f^{-1}o\eta :IR^N\rightarrow IR^M$是把一个测量$X$映到约束在局部正交于$J$的零空间的曲面$S_p$上的 MLE 参数矢量$P$的映射。那么 $f^{-1}o\eta$诱导$IR^M$上的一个分布 。它的协方差矩阵在一阶精度下是：

$${\sum }_P=(J^T{\sum }_{X}^{-1}J)^{+}$$