Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（6）—二次曲线的其他性质&不动点与直线

          二次曲线的其他性质&不动点与直线

  现在先介绍点、线和二次曲线之间的一种被称为配极的重要几何关系。

1.极点 一 极线关系

  点$x$和二次曲线$C$定义一条直线$l= Cx$，$l$称为$x$关于$C$ 的极线 ，而点$x$ 称为$l$ 关于$C$ 的极点。

• 点$x$关于二次曲线$C$的极线$l =Cx$与$C$交于两点。$C$的过这两点的两条切线相交于$x$。其关系如下图：
          

$$图1极点—极线关系图$$

• 如果点$x$在$C$上 ， 则它的极线就是二次曲线过$x$点的切线。

定义 1  对射是$IP^2$点到$IP^2$线的可逆映射并用一个 3X3 非奇异矩阵 $A$表示为$l = Ax$。

• 共轭点  如果点$y$在极线$l = Cx$上，则$y^Tl=y^TCx=0$。满足$y^TCx=0$的任何两点$x$，$y$称关于二次曲线$C$共轭。
• 如果$x$在$y$的极线上 ， 那么$y$也在$x$的极线上。

2.二次曲线的分类

二次曲线的射影标准形式

  任何二次曲线都射影等价于一个由对角矩阵表示的二次曲线。二次曲线$D$最终被变为具有矩阵$diag(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3})$的二次曲线，其中$\varepsilon _{i}=\pm 1$或$0$。

对角线	方程	二次曲线类型
$(1,1,1)$	$x^2+y^2+w^2=0$	假二次曲线——无实点
$(1,1,-1)$	$x^2+y^2-w^2=0$	圆
$(1,1,0)$	$x^2+y^2=0$	单个实点$(0,0,1)^T$
$(1,-1,0)$	$x^2-y^2=0$	两条直线$x=\pm y$
$(1,0,0)$	$x^2=0$	单条直线$x=0$计两次

二次曲线的仿射分类

  在欧氏几何中， (非退化或真)二次曲线可以分为双曲线、椭圆和抛物线。在射影几何中三种类型的二次曲线与$l_{\infty }$的关系如下图所示：
           

$$图2点二次曲线的仿射分类$$

  图2中，二次曲线是$(a)$椭圆，$(b)$抛物线，$(c)$双曲线。它们与$l_{\infty }$的关系 :$(a)$无实交点、$(b)$相切(2 点接触)、$(c)$有 2 个实交点。

3.不动点与直线

  变换的一个特征矢量对应一个不动点 ，因为对于特征值 $\lambda$ 及其对应的特征矢量$e$有：

$$He=\lambda e$$

  而$e$ 和 $λe$表示同一点。类似的推导可以用于不动直线，它对应于$H^T$的特征矢量。

欧氏矩阵

  两个不动理想点是虚圆点$I$，$J$组成的复共轭对，相对应的特征值是：$\begin{Bmatrix} e^{i\theta } ,& e^{-i\theta }\end{Bmatrix}$,这里$\theta$是旋转角。对应予特征值$l$ 的第三个特征矢量，称为极点。欧氏变换等价与绕该点转$\theta$角的纯旋转并且没有平移。
  一种特殊的情况是纯平移(即$θ=0$) 。 这时特征值三重退化，穷远线点点不动，且有一束过点$(t_x ， t_ y , 0)^T$的不动直线，该点对应于平移方向。

相似矩阵

  两个不动理想点仍是虚圆点，特征值是：$\begin{Bmatrix} 1&se^{i\theta } & se^{-i\theta }\end{Bmatrix}$。相似变换的作用可以理解为绕它的有限不动点的旋转和取 $s$ 为因子的均匀缩放。注意虚圆点的特征值仍然表征旋转角。

仿射矩阵

  两个不动理想点可以是实或复共轭的，但在任何一种情况下，过这些点的不动直线$l_{\infty }=（0,0,1）^T$是实的。