Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（7）—3D 射影几何之平面、直线和二次曲面的表示和变换

      3D 射影几何之点、平面、直线和二次曲面的表示和变换

1.点和射影变换

  3 维空间的一点 $X$用齐次坐标表示为一个 4 维矢量，其次矢量$X=(X_1,X_2,X_3,X_4)^T$当$X_4\neq 0$时表示$IR^3$中非齐次坐标为$(X,Y,Z)^T$的点，其中:

$$X=X_1/X_4,Y=X_2/X_4,Z=X_3/X_4$$

  当$X_4=0$的齐次点表示无穷远点.。

  $IR^3$ 上的射影变换是由非奇异 4 X 4 矩阵给出，它是关于齐 次 4 维矢盘的线性变换:$H'=XH$,该映射是保线变换(直线被映射到直线)。

2.平面

平面的齐次表示是 4 维矢量: $\pi =（\pi_{1}，\pi_{2}，\pi_{3}，\pi_{4}）^{T}$

点$X$ 在平面 $\pi$ 上则： $\pi^TX=0$

联合与关联关系

• 平面可由一般位置的三个点或一条直线与一个点的联合来唯一确定(一般位置指三点不共线或在后一种情形下指点不在直线上)。
• 两张不同的平面相交于唯一的直线。
• 三张不同的平面相交子唯一的点。

三点确定一张平面

  设确定平面的三个点是：

$$X_{1}=\binom{\tilde{X}_{1}}{1},X_{2}=\binom{\tilde{X}_{2}}{1},X_{3}=\binom{\tilde{X}_{3}}{1}$$

  则：

$$\pi =\binom{\left ( \tilde{X}_{1}-\tilde{X}_{3} \right )\times \left ( \tilde{X}_{2}-\tilde{X}_{3} \right )}{-\tilde{X}_{3}^T\left ( \tilde{X}_{1}\times \tilde{X}_{2} \right )}$$

三平面确定一点

  三张平面 $\pi_i$, 的交点$X$可通过求以三张平面为行的 3x4 矩阵的(右)零空间直接计算出来：

$$\begin{bmatrix} \pi_{1}^{T}\\ \pi_{2}^{T}\\ \pi_{3}^{T} \end{bmatrix}X=0$$

射影变换

  在点变换$X'=HX$下，平面变换为$\pi'=H^{-T}\pi$。

平面上的点的参数表示

  在平面 $\pi$上的点$X$可以写成:

$$X=Mx$$

  其中 4 X 3 矩阵$M$的列生成$\pi^T$的秩为 3 的零空间，即$\pi^TM=0^T$。

3.直线

  两点的连接或两平面的相交定义一条直线.在 3 维空间中，直线有 4 个自由度。

3.1零空间与生成子空间表示

  这种表示以直观的几何概念为基础。
  假定$A$、$B$是两（不重合）的空间点，那么连接这两点的直线由一个2X4矩阵$W$的行的生成子空间表示：

$$W=\begin{bmatrix} A^T\\ B^T \end{bmatrix}$$

  那么：

• $W^T$的生成子空间是在直线$\lambda A+\mu B$上的点束。
• $W$的2维右零空间的生成子空间是以直线为轴的平面束。

  类似的，一条直线的对偶表示是两平面的$P$，$Q$的交线。该直线表示为矩阵$W^*$：

$$W^*=\begin{bmatrix} P^T\\ Q^T \end{bmatrix}$$

  其具有以下性质：

• $W^{*T}$的生成子空间是以该直线为轴的平面束$\lambda’P+\mu’ Q$。
• $W^*$的2维零空间的生成子空间是该直线上的点束。

  这两种表示以$W^*W^T=WW^{*T}=0_{2\times2}$相联系。

补充

• 零空间

  一个算子$A$ 的零空间是方程$Av = 0$的所有解$v$的集合。它也叫做$A$的核，核空间。如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间。

• 生成子空间

  设$\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$是$R^n$中任一组向量。记 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$的所有线性组合的集合为$Span(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m})$，即:

$$Span(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m})=\left \{ k_1\alpha _{1}+k_2\alpha _{2}+...+k_m\alpha _{m} |k_{i}\epsilon R,i=1,2,...,m\right \}$$

  称$Span(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m})$为向量组$\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$生成的子空间。

3. 2 Plücker 矩阵

  这里一条直线由 4X4 反对称齐次矩阵表示。连接两点$A，B$的直线由矩阵$L$表示，其元素为:

$$l_{ij}=A_iB_j-B_iA_j$$

  或用矢量记号等价地表示为：

$$L=AB^T-BA^T$$

  若干主要的性质如下:

• $L$的秩为 2。
• 该表示具有描述一条直线所需要的 4 个自由度。
• 矩阵 $L$与用来确定它的点$A ， B$ 无关。
• 在点变换$X'= HX$下，该矩阵变换为$L' = HLH^T$时，即它是一个阶为 2 的张量。

  由两平面$P、Q$的交线确定的直线的对偶 Plücker 表示$L^*$为：

$$L^*=PQ^T-QP^T$$

  在点变换$X'= HX$下，该矩阵变换为$L^{*'} = H^{-T}L^*H^{-1}$时，即它是一个阶为 2 的张量。

• 由点X和直线L联合而确定的平面为：
  $$\pi=L^*X$$
  并且$L^*X=0$的充要条件是$X$在$L$上。
• 由直线$L$和平面$\pi$相交而确定的点为：
  $$X=L\pi$$
  并且$L\pi=0$的充要条件是$L$在$\pi$上。

3. 3 Plücker 直线坐标

  Plücker 直线坐标是4X4反对称Plücker 矩阵$L$的六个非零元素，即：

$$\mathcal{L} =\left \{ l_{12} , l_{13} , l_{14} , l_{23} , l_{42} , l_{34} \right \}$$

因为$detL=0$其坐标满足方程：

$$l_{12} l_{34}+ l_{13} l_{42}+ l_{14} l_{23}=0$$

结论1 两条直线$\mathcal{L}$和$\hat{\mathcal{L}}$共面(因而相交)的充要条件是$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=0$

• 如果$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=0$， 则 6 维矢量 $\mathcal{L}$ 仅表示 $IP^3$中一条直线。

• 假定两条直线$\mathcal{L}$和$\hat{\mathcal{L}}$分别是平面$P$,$Q$和$\hat{P}$,$\hat{Q}$的交线，那么：
  

  $$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=det[P,Q,\hat{P},\hat{Q}]$$
  同理两条直线的相交的充要条件是$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=0$。

• 如果 $\mathcal{L}$ 是两平面$P ， Q$ 的交线 ，而$\hat{\mathcal{L}}$是两点 $A， B$的连线，那么:
  

  $$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=(P^TA)(Q^TB)-(Q^TA)(P^TB)$$

补充

• 反对称矩阵 设$A$为$n$维方阵，若有$A^T=-A$，则称矩阵$A$为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。

4.二次曲面与对偶二次曲面

  $IP^3$中，二次曲面由下列方程定义:

$$X^TQX=0$$

  其中$Q$是一个 4X4 的对称矩阵。

• 一个二次曲面有 9 个自由度。
• 一般位置上的九个点确定一个二次曲面。
• 如果矩阵$Q$是奇异的，那么二次曲面是退化的 ，并可以由较少的点来确定。
• 二次曲面定义了点和平面之间的一种配极。平面$π = QX$称为是$X$ 关于$Q$的极平面。当$Q$为非奇异并且$X$在二次曲面之外时，极平面由过$X$且与$Q$相切的射线组成的锥与$Q$相接触的点来定义。如果$X$在$Q$上，那么$QX$ 是$Q$在点$X$ 的切平面。
• 平面$π$与二次曲面$Q$的交线是二次曲线$C$。
• 在点变化$X'=HX$,(点)二次曲面变化为：
  $$Q'=H^{-T}QH^{-1}$$

二次曲面的分类

  对角矩阵$D$的符号差，记为$\sigma (D)$,定义为$D$中+1的个数和-1的个数的差值。

秩	$\sigma$	对角线	方程	实现
4	4 2 0	(1,1,1,1) (1,1,1,-1) (1,1,-1,-1)	$X^2+Y^2+Z^2+1=0$ $X^2+Y^2+Z^2=1$ $X^2+Y^2=Z^2+1$	无实点 球面 单叶双曲面
3	3 1	（1,1,1,0） （1,1，-1,0）	$X^2+Y^2+Z^2=0$ $X^2+Y^2=Z^2$	一点$(0,0,0,1)^T$ 过原点的圆锥
2	2 0	（1,1,0,0） （1，-1,0,0）	$X^2+Y^2=0$ $X^2=Y^2$	单条直线（Z-轴） 两平面$X=\pm Y$
1	1	(1,0,0,0)	$X^2=0$	平面$X=0$