Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（14）—变换不变性和归一化

               变换不变性和归一化

关于图像坐标变换的不变性

  假定一幅图像的坐标$x$被$\tilde{x}=Tx$替代，而另一幅图像的坐标$x’$被$\tilde{x'}=T'x'$替代。因此$x_i$映射到$x'_i$的变化有另一种方法：

1. 由$\tilde{x}=Tx$和$\tilde{x'}=T'x'$变换图像坐标。
2. 由对应$\tilde{x}\leftrightarrow \tilde{x'_i}$,求$\tilde{H}$
3. 令$H=T^{'-1}\tilde{H}T$

DLT 算法的非不变性

结论1 令$T'$为具有缩放因子$s$的相似变换。$T$为任意的射影变换。此外 ， 假设$H$是任何2D 单应并定义$\tilde{H}=T^{'}HT^{-1}$。那么$\left \|\tilde{ A} \tilde{ \mathbf{h}}\right \|=s\left \| A\mathbf{h} \right \|$。

  虽然这样定义的$H$和$\tilde{H}$给出同样的误差$\varepsilon$，.但是对解施加的约束条件$\left \|H \right \|=1$不等价子条件$\left \|\tilde{H} \right \|=1$，它们并不以任何简单的方式相关联。

几何误差的不变性

$$d(\tilde{x'},\tilde{H}\tilde{x})=d(T'x',T'HT^{-1}Tx)=d(T'x',T'Hx)=d(x',Hx)$$

  在相似变换下，几何误差被乘以变换的缩放因子，从而最小化变换的对应方式与欧氏变换相同。所以最小化几何误差在相似变换下不变。

归一化交换

  数据归一化不仅提高了结果的精度，它还提供第二个好处， 即对初始数据归一化的算法将对任何尺度缩放和坐标原点的选择不变。因而使 DLT 算法实际上关于相似变换不变。

各向同性缩放

1. 对点进行平移使点集形心位于原点。
2. 对点进行缩放使它们到原点的平均距离等于$\sqrt{2}$
3. 对两幅图像独立进行上述变换。

数据归一化在 DLT 算法中是实质性的 ，一定不要视它为可有可无的。

归一化与条件数

  归一化的影响与 DLT 方程组的条件数或准确地说与方程组矩阵 A 的第一个和倒数第二个奇异值的比率$d_1/d_{n-1}$有关。但是，在有噪声存在时解将偏离其正确结果。大条件数会放大这种偏向。

非各向同性缩放

  在非各向同性缩放中，点的形心和前面一样平移到原点，经平移后点在原点附近形成云。然后进行坐标尺度缩放使该点集的两主矩都等于1。这样使该点集形成以原‘点为中心，半径为 1 的近似的对称圆云。

无穷远附近的点的缩放

  当点位于或接近平面的无穷远时，各向同性(或非各向同性) 的缩放方式来归一化坐标是既无道理又不可行的，因为形心坐标和缩放因子为无穷大或接近无穷大。一个似乎会给出好结果的方法是归 一 化点集$\mathbf{x_i}=(x_i,y_i,w_i)^T$使得：

$$\sum _ix_i=\sum _iy_i=0;\sum _ix_i^2+y_i^2=2\sum _iw_i^2;x_i^2+y_i^2+w_i^2=1,\forall i;$$