Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（8）—三次绕线&变换的层次

             三次绕线&变换的层次

1.三次绕线

  三次绕线可以看成 2D 二次曲线的 3 维类推。一条三次绕线定义为$IP^3$中的一条曲线，它的参数形式如下:

$$\begin{pmatrix} X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\\ X_{4} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 1\\ \theta \\ \theta ^{2}\\ \theta ^{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}+a_{12}\theta +a_{13}\theta ^{2}+a_{14}\theta ^{3}\\ a_{21}+a_{22}\theta +a_{23}\theta ^{2}+a_{24}\theta ^{3}\\ a_{31}+a_{32}\theta +a_{33}\theta ^{2}+a_{34}\theta ^{3}\\ a_{41}+a_{12}\theta +a_{43}\theta ^{2}+a_{44}\theta ^{3} \end{pmatrix}$$

三次绕线的性质

• 令$c$为一条非奇异三次绕线。那么$c$ 不整个地包含在$IP^3$的任何一张平面
  中 ;而是与一般平面有三个不同的交点。
• 三次绕线有12个自由度。
• 所有非退化的三次绕线都是射影等价的。

2.变换的层次

  3 维空间变换同样具有相应的 2 维空间变换。

群	矩阵	不变性质
射影 15dof	$$\begin{bmatrix} A & t\\ V^{T} & v \end{bmatrix}$$	接触表面的相交和相切，高斯曲率的符号
仿射 12dof	$$\begin{bmatrix} A & t\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}$$	平面的平行性，体积比，形心，无穷远平面$\pi _{\infty }$
相似 7dof	$$\begin{bmatrix} sR & t\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}$$	绝对二次曲线$\Omega _{\infty }$
欧氏 6dof	$$\begin{bmatrix} R & t\\ 0^{T} &1 \end{bmatrix}$$	体积

补充

• 高斯曲率

  微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率$κ_1$和$κ_2$的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。

转动分解

结论1 任何具体的平移加旋转运动都等价子绕一根转动轴的旋转加沿该转动轴的平移。该转动轴平行于原来的旋转轴。
  平移加绕正交轴的旋转运动(称平面运动)等价于仅仅绕某转动轴的旋转。