Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（9）—无穷远平面&绝对二次曲线

            无穷远平面&绝对二次曲线

1.无穷远平面

  在3维空间的射影几何中，与$l_{\infty }$和虚圆点对应的几何实体是无穷远平面$\pi _{\infty }$和绝对二次曲线$\Omega _{\infty }$。
  在3维仿射空间中,无穷远平面的标准位置是$\pi _{\infty }=(0,0,0,1)^T$，$\pi _{\infty }$包含所有方向$D=(X_1，X_2，X_3，0)^T$并且可以用来识别仿射性质。

• 两张平面相平行的充要条件是它们的交线在$\pi _{\infty }$上。
• 如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在$\pi _{\infty }$上，则它们相平行。

结论 1  在射影变换$H$下，无穷远平面$\pi _{\infty }$是不动平面的充要条件是$H$是一个仿射变换。

• 一般地说，在仿射变换下平面$\pi _{\infty }$是整个集合不动，而不是点点不动。
• 仅有$\pi _{\infty }$在任何仿射变换下保持不动。

2.绝对二次曲线

  绝对二次曲线$\Omega _{\infty }$是在$\pi _{\infty }$上一条(点)二次曲线。在度量坐标系中$\pi _{\infty }=（0,0,0,1）^T$，而在$\Omega _{\infty }$上的点满足：

$$\left.\begin{matrix} X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\ X_{4}^{2} \end{matrix}\right\}=0$$

结论 2  在射影变换$H$下， 绝对二次曲线$\Omega _{\infty }$是不动二次曲线的充要条件是$H$是相似变换。

• $\Omega _{\infty }$在一般相似变换下是集合不动，而不是点点不动的。
• 所有的圆交$\Omega _{\infty }$ 于两点，这两点是虚圆点。
• 所有球面交$\pi _{\infty }$于$\Omega _{\infty }$ 。

度量性质

  一旦$\Omega _{\infty }$在 3 维射影空间被辨认，那么诸如夹角和相对长度等度最性质可以被测定。
  设两条直线的方向为 $d_1$和 $d_2$(3 维矢量)，则：

$$cos\theta =\frac{d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}}{\sqrt{(d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{1})(d_{2}^{T}\Omega _{\infty }d_{2})}}$$

正交与配极

  如果$d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}=0$，则$d_1$和$d_2$相垂直。因而垂直性可由关于$\Omega _{\infty }$的共轭性来表征。

3.绝对对偶二次曲面

  绝对二次曲线$\Omega _{\infty }$的对偶是 3 维空间中一种退化的对偶二次曲面，称为绝对对偶二次曲面并记为$Q _{\infty }^*$。从几何上说，$Q _{\infty }^*$由$\Omega _{\infty }$的切平面组成，它被称为边二次曲面。它在 3 维度量空间的标准形式是：

$$Q _{\infty }^*=\begin{bmatrix} I & 0\\ 0^{T}&0 \end{bmatrix}$$

  绝对对偶二次曲面$Q _{\infty }^*$是退化的二次曲面 ， 有 8 个自由度。

结论 3 在射影变换$H$下，绝对二次曲面$Q _{\infty }^*$不动的充要条件是$H$是相似变换。

结论 4  无穷远平面$\pi _{\infty }$是$Q _{\infty }^*$的零矢量。

结论 5  两张平面$\pi_1$和$\pi_2$之间的夹角由下式给出：

$$cos\theta =\frac{\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2}}{\sqrt{(\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{1})(\pi_{2}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2})}}$$