Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（23）—射影摄像机对二次曲面的作用&摄像机中心的重要性

      射影摄像机对二次曲面的作用&摄像机中心的重要性

1.光滑曲面的图像

定义1: 轮廓生成元$\Gamma$定义为影像射线与光滑曲面$S$的所有切点$X$的集合。在图像上，与它对应的视在轮廓线$γ$是$X$的图像点$x$ 的集合，即$γ$是$\Gamma$的图像。

• 轮廓生成元$\Gamma$仅取决于摄像机中心与曲面的相对位置，而与图像平面无关。
• 视在轮廓线$γ$由图像平面与轮廓生成元的射线的相交确定，因此与图像平丽的位置有关。

2.射影摄像机对二次曲面的作用

二次曲面的正向投影

结论1  在摄像机矩阵$P$的作用下， 二次曲面$Q$的外形线是下式给定的一条二次曲线$C$:

$$C^*=PQ^*P^T$$

• 与二次曲面$Q$和中心为$C$的摄像机相对应的轮廓生成元$\Gamma$的平面是$\pi _{\Gamma }=QC$

结论2 顶点为$V$并与二次曲面$Q$相切的锥面是一个退化的二次曲面

$$Q_{CO}=(V^TQV)Q-(QV)(QV)^T$$

3.摄像机中心的重要性

  3 维空间的物体和摄像机中心确定了一个射线集合，而这些射线与一张平面的交就产生该物体的图像，这个集合通常称为射线锥。
  假如射线锥与两张平面相交，那么所得两幅图像$I$和$I'$显然以一个透视映射相关联。因为摄像机有共同的中心，从而由这两个摄像机产生的3维空间点$X$ 的图像点之问的关系如下:

$$x'=P'X=(K'R')(KR)^{-1}x$$
  对应的图像点以一个形如 $x ' = H x$的平面单应(3 x 3矩阵)相关联，其中 $H=(K'R')(KR)^{-1}$

3.1移动图像平面

  考虑焦距增加的情况，在一阶近似的精度下，它相当于图像平面沿主轴移动。
  因子$k=f'/f$的变焦效果等于用$diag( k ,k , 1)$右乘摄像机标定矩阵$K$。

3.2摄像机旋转

  摄像机在不改变它的内部参数的情况下绕它的中心旋转。如果点$X$在纯旋转前和后的图像是$x$和$x'$，那么:

$$x'=K[R|0]X=KRK^{-1}K[I|0]X=KRK^{-1}x$$
  因此， $x'=Hx$,其中 $H=KRK^{-1}$这种单应是一个共轭旋转。

3.3应用与举例

3.3.1视图合成

  可以对现有的图像进行平面单应性的形变插补来产生新的图像，新的图像对应于不同的摄像机定向(但摄像机中心相同)。

• 计算把图像中的四边形映射回具有正确长宽比矩形的单应$H$。
• 用这个单应对原图像进行射影形变插补。

3.3.2平面全景拼图

  摄像机绕其中心旋转所得到的一组图像之间以一个平面单应相关联。这样的一组图像可以通过射影形变插补与其中一幅图像的平面配准。

• 选择图像集合中的一幅作为参考图像。
• 在其余的图像中选一幅图像，计算把它映射到参考图像的单应$H$。
• 用得到的单应对这幅图像进行射影形变插补，并且用插补图像与参考图像的非重叠部分来扩大参考图像。
• 对图像集合中余下的图像重复上述最后两步过程。

3.4(简化的)射影记号

  如果世界和图像点都选择规范的射影坐标那么摄像机矩阵：

$$P=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 &-d \\ 0 & b & 0 &-d \\ 0 &0 & c & -d \end{pmatrix}$$

  满足$x_i=PX_i$和$P(a^{-1},b^{-1},c^{-1},d^{-1})^T=0$,后者表示摄像机中心是$C=(a^{-1},b^{-1},c^{-1},d^{-1})^T$

3.5移动摄像机中心

在第一幅视图中重合的两个3维空间点.郎在同一射线上的点。如果摄像机中心被移动了(没有沿着这条射线) ，那么其图像就不再重合了。原来是重合的图像点之间的相对位移称为视差。