Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（11）—直接线性变换(DLT)算法

             直接线性变换(DLT)算法

  首先讨论由给定$2D$到$2D$的四组点对应$x_{i}\leftrightarrow x'_i$确定$H$的一种简单的线性算法。变换由方程$x'_i = Hx_i$ 给出。但因为这是一个齐次矢量方程; 因此 3 维矢量$x'_i$和$Hx_i$不相等。可以用矢量叉乘:$x'_i\times Hx_i=0$表示。
  如果将矩阵$H$的第$j$行记为$h^{jT}$，$\boldsymbol{x'_i}=(x'_i,y'_i,w'_i)^T$,则$x'_i\times Hx_i=0$可以转换成：

$$\begin{bmatrix} \boldsymbol{0^{T}}&-w_{i}^{'}\boldsymbol{x_{i}^{T}} &y_{i}^{'}\boldsymbol{x_{i}^{T}} \\ w_{i}^{'}\boldsymbol{x_{i}^{T}}&\boldsymbol{0^{T}}& - x_{i}^{'}\boldsymbol{x_{i}^{T}}\\ -y_{i}^{'}\boldsymbol{x_{i}^{T}} & x_{i}^{'}\boldsymbol{x_{i}^{T}} & \boldsymbol{0^{T}} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} \boldsymbol{h^{1}}\\ \boldsymbol{h^{2}}\\ \boldsymbol{h^{3}} \end{pmatrix}=\boldsymbol{0}$$

$h$是由矩阵$H$的元素组成的 9 维矢量:

$$\boldsymbol{h}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{h^{1}}\\ \boldsymbol{h^{2}}\\ \boldsymbol{h^{3}} \end{pmatrix},H=\begin{bmatrix} h_{1} & h_{2} &h_{3} \\ h_{4} & h_{5} & h_{6}\\ h_{7}&h_{8} & h_{9} \end{bmatrix}$$

• $A_i\boldsymbol{h} =\boldsymbol{0}$是未知矢量$\boldsymbol{h}$ 的线性方程.。矩阵$A_i$的元素是已知点的坐标的二次多项式。
• 虽然式中有三个方程，但仅有两个是线性独立的。在解$H$时常省去第三个等式。
• 该方程组对$\boldsymbol{x'_i}$的任何齐次坐标$( x'_i，y'_i， w'_i )^ T$成立。

求解$H$

  每组点对应给出关于$H$元素的两个独立的方程。给定四组这样的点对应，便获得方程组 $A\boldsymbol{h} =\boldsymbol{0}$。

超定解

  如果给出的点对应$x_{i}\leftrightarrow x'_i$多于四组，方程组 $A\boldsymbol{h} =\boldsymbol{0}$是超定的。如果点的位置是精确的，那么$A$的秩仍然为 8 并有一维零空间，并且存在精确解$\boldsymbol{h}$。如果图像坐标的测量是不精确的，方程组将不存在精确解。我们需要求一个适当的代价函数取最小值的矢量$\boldsymbol{h}$。通常附加范数条件，既然不存在$A\boldsymbol{h} =\boldsymbol{0}$的精确解，很自然会在通常约束$\left \| \boldsymbol{h} \right \|=1$下最小化范数$\left \| A\boldsymbol{h} \right \|$。这等价于求商$\left \| A\boldsymbol{h} \right \|/\left \| \boldsymbol{h} \right \|$的最小值问题。该解是$A^TA$的最小特征值的(单位)特征矢量。由此所得到的算法称为基本 DLT 算法。

非齐次解

  另 一种方法是把等式转成非齐次线性方程组，即给矢量$\boldsymbol{h}$中的某个元素强加上$h_i=1$的条件。

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0& -x_iw'_i & -y_iw'_i & -w_iw'_i &x_iy'_i & y_iy'_i\\ x_iw'_i& y_iw'_i&w_iw'_i & 0 & 0 & 0 &-x_ix'_i &-y_ix'_i \end{bmatrix}\tilde{\boldsymbol{h}}=\begin{bmatrix} -w_iy'_i\\ -w_ix'_i \end{bmatrix}$$

  其中$\tilde{\boldsymbol{h}}$是由$\boldsymbol{h}$的前 8 个元素组成的 8 维矢量。

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  但是，如果事实上真正的解是$h_i = 0$，那么不存在一个因子$k$使$kh_i = 1$.。这意味着令$h_i = 1$得不到真解。

退化配置

  出现某种配置不能确定唯一解的情形称为退化。注意退化的定义既涉及配置也涉及变换类型。而且退化问题不仅限于最小配置解。如果多出来的( 精确的，即无误差的)点对应也共线，那么退化问题仍没有解决。

由线和其他，实体求解

  到目前为止以及本文的其余部分，都只讨论由点对应采计算单应。然而线对应和二次曲线的对应也可以来计算单应。于是就产生计算一个单应(或任何其他关系)需要多少组对应的问题。一般的原则是约束数必须等于或大于变换的自由度数。
  但采用混合类型的对应来计算$H$时必须谨慎。例如一个$2D$单应不能由两组点对应和两组线对应唯一确定，但能由三级点和一组线或一组点和三组线来唯一确定，即使每种配置都有 8 个自由度也是如此。