Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（22）—射影摄像机对平面、直线和二次曲线的作用

           射影摄像机对平面、直线和二次曲线的作用

1.对平面的作用

  假定选择$XY-$平面与景物中的平面$\pi$对应，使得平面上的点$Z$坐标为零。

$$\mathbf{x}=P\mathbf{X}=\begin{pmatrix} \mathbf{p_1} & \mathbf{p_2} &\mathbf{p_3} & \mathbf{p_4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{p_1} & \mathbf{p_2} & \mathbf{p_4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ 1 \end{pmatrix}$$

  即：$\mathbf{x} =H\mathbf{x_\pi}$。在透视影像下， 一张景物平面与一张图像平面之间最一般的变换是平面射影变换。

2.对直线的作用

正向投影

  $A$和$B$是3维空间的点，而$a$，$b$是它们在$P$作用下的图像。

$$x(\mu )=P(A+\mu B)=PA+\mu PB=a+\mu b$$

直线的反向投影

结论1： 经射像机矩阵$P$映射成一条直线$l$的空间的点集是平面$P^Tl$

Plücker 直线表示

结论2： 一条用Plücker矩阵$L$表示的3维空间直线，在摄像机映射$P$作用下被映射成满足

$$[l]_\times =PLP^T$$

的直线$l$。

  线投影矩阵$P$:

$$P=\begin{pmatrix} P^2\wedge P^3\\ P^3\wedge P^1\\ P^1\wedge P^2 \end{pmatrix}$$
  其中 $P^{iT}$是点摄像机矩阵 $P$的行，而 $P^i\wedge P^j$是平面 $P^i$与 $P^j$的交线的Plücker 坐标。

结论3： 在线投影矩阵$P$作用下，$IP^3$中用Plücker 坐标表示的直线$￡$被映射到图像直线:

$$l=P￡=\begin{pmatrix} (P^2\wedge P^3|￡)\\ (P^3\wedge P^1|￡)\\ (P^1\wedge P^2|￡) \end{pmatrix}$$

• $IP^3$中满足$P￡= 0$的直线$￡$必过摄像机中心。

3.对二次曲线的作用

结论4： 在摄像机$P$作用下， 二次曲线$C$反向投影成锥面

$$Q_{CO}=P^TCP$$