Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（24）— 摄像机标定与绝对二次曲线的图像

            摄像机标定与绝对二次曲线的图像

结论1：  摄像机标定矩阵$K$是$x$与在摄像机的欧氏坐标系下测量的射线方向$d = K^{-1}x$之间的一个{仿射)变换。
结论2：  一条图像直线$l$确定一张过摄像机中心的平面， 在摄像机的欧氏坐标系下，该平面的法线方向为$n= K^Tl$。

绝对二次曲线的图像

  $\pi_\infty$与图像平面之间的映射图平面单应$x=Hd$ 给出，其中:

$$H=KR$$
结论3：  绝对二次曲线的图像(简称IAC) 是二次曲线 $\omega =(KK^T)^{-1}=K^{-T}K^{-1}$

• 绝对二次曲线的对偶图像(简称DIAC) 为$\omega ^*=\omega^{-1}=KK^T$

简单的标定

  装置有三个正方形(它们所在平面是不平行的，但也不必正交)的图像提供计算$K$的足够约束。

• 对每个正方形，计算把它的角点$(0,0)^T$、$(1,0)^T$、$(0,1)^T$、$(1,1)^T$映射到相应的图像点的单应$H$。
• 计算该正方形所在平面虚圆点的图像，即$H(1,\pm i,0)^T$。
• 由这六个虚圆点的图像拟合出一条二次曲线$\omega$。
• 用Cholesky 分解由$\omega=(KK^T)^{-1}$计算标定$K$ 。

图像中的正变性

• 如果图像点关于$\omega$共轭，即如果$x_1^T \omega x_2=0$,，那么这两个图像点对应于正交的方向。
• 假定直线$l$反向投影到法线方向为$n$的平面$\pi$,那么法线的影像为点$Kn$， 而且直线$l$是该点的极线， 因此$l=\omega Kn=(KK^T)^{-1}Kn=K^{-T}n$。简言之，$\pi$的法线是$n=K^Tl$。
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标定二次曲线

  绝对二次曲线的图像(IAC)是图像中一条虚二次曲线。为了可视化的目的，考虑与摄像机标定紧密相关的另外一种曲线，这样的二次曲线称为标定二次曲线，它是一个顶角为$45^{\circ}$而轴为摄像机主轴的圆锥面的图像。该圆锥面的点映射为二次曲线：

$$C=K^{-T}\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & -1 \end{pmatrix}K^{-1}$$

正交性和标定二次曲线

结论4：  如果图像平面上的一条直线对应于垂直于图像点$x$的射线的一个平面， 那么，这条直线是$x$关于标定二次曲线的反射点$\dot{x}$的极线$C\dot{x}$。