参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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2.线性系统的可控性与可观测性
2.5 线性定常连续系统的可观测性判据
考虑输入 u = 0 u=0 u=0时系统的状态方程和输出方程：
x ˙ = A x , x ( 0 ) = x 0 , t ≥ 0 , y = C x (20) \dot{x}=Ax,x(0)=x_0,t≥0,y=Cx\tag{20} x˙=Ax,x(0)=x0,t≥0,y=Cx(20)
其中：
- x x x为 n n n维状态向量；
- y y y为 q q q维输出向量；
- A 、 C A、C A、C分别为 n × n n\times{n} n×n和 q × n q\times{n} q×n的常值矩阵；
格拉姆矩阵判据：线性定常系统(20)完全可观测的充分必要条件：存在有限时刻 t 1 > 0 t_1>0 t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异：
M ( 0 , t ) ≜ ∫ 0 t 1 e A T t C T C e A t d t (21) M(0,t)\triangleq\int_0^{t_1}e^{A^Tt}C^TCe^{At}dt\tag{21} M(0,t)≜∫0t1eATtCTCeAtdt(21)
秩判据：线性定常连续系统(20)完全可观测的充分必要条件：
r a n k V = r a n k [ C C A ⋮ C A n − 1 ] = n (22) rankV=rank \begin{bmatrix} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{bmatrix}=n\tag{22} rankV=rank⎣
⎡CCA⋮CAn−1⎦
⎤=n(22)
或
r a n k V = r a n k [ C T A T C T ( A T ) 2 C T ⋯ ( A T ) n − 1 C T ] = n (23) rankV=rank\begin{bmatrix}C^T & A^TC^T & (A^T)^2C^T & \cdots & (A^T)^{n-1}C^T\end{bmatrix}=n\tag{23} rankV=rank[CTATCT(AT)2CT⋯(AT)n−1CT]=n(23)
矩阵(22)和矩阵(23)称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵.
实例分析：
Example5： 系统状态方程和输出方程如下，判断系统的可观测性.
x ˙ = A x + B u , y = C x \dot{x}=Ax+Bu,y=Cx x˙=Ax+Bu,y=Cx
A = [ 1 − 1 1 1 ] , B = [ 2 − 1 1 0 ] , C = [ 1 0 − 1 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, C= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix} A=[11−11],B=[21−10],C=[1−101]
解：
r a n k V = r a n k [ C T A T C T ] = r a n k [ 1 − 1 1 0 0 1 − 1 2 ] = 2 = n rankV=rank\begin{bmatrix}C^T & A^TC^T\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & -1 & 2\end{bmatrix}=2=n rankV=rank[CTATCT]=rank[10−111−102]=2=n
故系统可观测.
PBH秩判据：线性定常连续系统(20)完全可观测的充分必要条件：对矩阵 A A A的所有特征根 λ i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \lambda_i(i=1,2,\cdots,n) λi(i=1,2,⋯,n)，均有：
r a n k [ C λ i I − A ] = n , i = 1 , 2 , 3 , ⋯ , n (24) rank\begin{bmatrix} C\\ \lambda_iI-A \end{bmatrix}=n,i=1,2,3,\cdots,n\tag{24} rank[CλiI−A]=n,i=1,2,3,⋯,n(24)
或等价表示为：
r a n k [ C s I − A ] = n ； ∀ s ∈ C (25) rank\begin{bmatrix} C\\ sI-A \end{bmatrix}=n；\forall{s}\in{C}\tag{25} rank[CsI−A]=n；∀s∈C(25)
对角线规范型判据：线性定常连续系统(20)完全可观测的充分必要条件：当矩阵 A A A的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn两两相异时，对角线规范型为：
x ‾ ˙ = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] x ‾ , y = C ‾ x ‾ (26) \dot{\overline{x}}= \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2\\ && \ddots\\ &&& \lambda_n \end{bmatrix}\overline{x},y=\overline{C}\overline{x}\tag{26} x˙=⎣
⎡λ1λ2⋱λn⎦
⎤x,y=Cx(26)
式中， C ‾ \overline{C} C不包含元素全为零的列；
实例说明： 已知线性定常连续系统的对角线规范型为：
x ‾ ˙ = [ 8 0 0 0 − 1 0 0 0 2 ] x ‾ , y = [ 1 0 0 0 2 3 ] x ‾ \dot{\overline{x}}= \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\overline{x},y= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\overline{x} x˙=⎣
⎡8000−10002⎦
⎤x,y=[100203]x
此规范型中 C ‾ \overline{C} C不包含元素全为零的列，故系统完全可观测.
2.6 线性离散时间系统的可控性和可观测性
-
线性离散系统的可控性和可达性
设线性时变离散时间系统的状态方程为：
x ( k + 1 ) = G ( k ) x ( k ) + H ( k ) u ( k ) , k ∈ T k (27) x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),k\in{T_k}\tag{27} x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),k∈Tk(27)
其中： T k T_k Tk为离散时间定义区间；如果对初始时刻 l ∈ T k l\in{T_k} l∈Tk和状态空间中的所有非零状态 x ( l ) x(l) x(l)，都存在时刻 m ∈ T k , m > l m\in{T_k},m>l m∈Tk,m>l和对应的控制 u ( k ) u(k) u(k)，使得 x ( m ) = 0 x(m)=0 x(m)=0，则称系统在时刻 l l l为完全可控；如果对初始时刻 l ∈ T k l\in{T_k} l∈Tk和初始状态 x ( l ) = 0 x(l)=0 x(l)=0，存在时刻 m ∈ T k , m > l m\in{T_k},m>l m∈Tk,m>l和相应的控制 u ( k ) u(k) u(k)，使得 x ( m ) x(m) x(m)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻 l l l为完全可达；
对于离散时间系统，不管是时变还是定常的，可控性和可达性只有在一定条件下才是等价的，其等价条件分别如下：
-
线性离散时间系统(27)的可控性和可达性为等价的充分必要条件：系统矩阵 G ( k ) G(k) G(k)对所有 k ∈ [ l , m − 1 ] k\in[l,m-1] k∈[l,m−1]为非奇异；
-
线性定常离散时间系统：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) ； k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , (28) x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)；k=0,1,2,\cdots,\tag{28} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)；k=0,1,2,⋯,(28)
可控性和可达性等价的充分必要条件：系统矩阵 G G G为非奇异； -
如果线性离散时间系统(27)或(28)是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的；
线性定常离散系统的可控性判据：设单输入线性定常离散系统的状态方程为：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + h u ( k ) (29) x(k+1)=Gx(k)+hu(k)\tag{29} x(k+1)=Gx(k)+hu(k)(29)
式中： x x x为 n n n维状态向量， u u u为标量输入， G G G为 n × n n\times{n} n×n非奇异矩阵；状态方程(29)的解为：
x ( k ) = G k x ( 0 ) + ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i h u ( i ) (30) x(k)=G^kx(0)+\sum_{i=0}^{k-1}G^{k-1-i}hu(i)\tag{30} x(k)=Gkx(0)+i=0∑k−1Gk−1−ihu(i)(30)
可控性矩阵为：
S 1 ′ = [ G − 1 h G − 2 h ⋯ G − n h ] (31) S'_1=\begin{bmatrix} G^{-1}h & G^{-2}h & \cdots & G^{-n}h \end{bmatrix}\tag{31} S1′=[G−1hG−2h⋯G−nh](31)
亦或：
r a n k S 1 = r a n k [ h G h ⋯ G n − 1 h ] = n (32) rankS_1=rank \begin{bmatrix} h & Gh & \cdots & G^{n-1}h \end{bmatrix}=n\tag{32} rankS1=rank[hGh⋯Gn−1h]=n(32)
当 r a n k S 1 < n rankS_1<n rankS1<n时，系统不可控，表示不存在使任意 x ( 0 ) x(0) x(0)转移至 x ( n ) = 0 x(n)=0 x(n)=0的控制。多输入系统：设系统的状态方程为：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) (33) x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\tag{33} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)(33)
可控性问题：能否求出无约束控制向量序列 u ( 0 ) , u ( 1 ) , u ( 2 ) , ⋯ , u ( n − 1 ) u(0),u(1),u(2),\cdots,u(n-1) u(0),u(1),u(2),⋯,u(n−1)，使系统能从任意初态 x ( 0 ) x(0) x(0)转移至 x ( n ) = 0 x(n)=0 x(n)=0；状态方程(33)的解：
x ( k ) = G k x ( 0 ) + ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i H u ( i ) (34) x(k)=G^kx(0)+\sum_{i=0}^{k-1}G^{k-1-i}Hu(i)\tag{34} x(k)=Gkx(0)+i=0∑k−1Gk−1−iHu(i)(34)
多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件：
r a n k S 2 ′ = r a n k [ G − 1 H G − 2 H ⋯ G − n H ] = n (35) rankS'_2=rank \begin{bmatrix} G^{-1}H & G^{-2}H & \cdots & G^{-n}H \end{bmatrix}=n\tag{35} rankS2′=rank[G−1HG−2H⋯G−nH]=n(35)
亦或：
r a n k S 2 = r a n k [ H G H ⋯ G n − 1 H ] = n (36) rankS_2=rank \begin{bmatrix} H & GH & \cdots & G^{n-1}H \end{bmatrix}=n\tag{36} rankS2=rank[HGH⋯Gn−1H]=n(36)
实例分析：Example6： 设单输入线性定常离散系统状态方程为：
x ( k + 1 ) = [ 1 0 0 0 2 − 2 − 1 1 0 ] x ( k ) + [ 1 0 1 ] u ( k ) x(k+1)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -2\\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}x(k)+ \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u(k) x(k+1)=⎣ ⎡10−10210−20⎦ ⎤x(k)+⎣ ⎡101⎦ ⎤u(k)
判断其可控性；如初始状态 x ( 0 ) = [ 2 1 0 ] T x(0)=\begin{bmatrix}2 & 1 & 0\end{bmatrix}^T x(0)=[210]T，确定使 x ( 3 ) = 0 x(3)=0 x(3)=0的控制序列 u ( 0 ) , u ( 1 ) , u ( 2 ) u(0),u(1),u(2) u(0),u(1),u(2)；研究使 x ( 2 ) = 0 x(2)=0 x(2)=0的可能性；
解：
依题意可知：
G = [ 1 0 0 0 2 − 2 − 1 1 0 ] , h = [ 1 0 1 ] G=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -2\\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix},h= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} G=⎣ ⎡10−10210−20⎦ ⎤,h=⎣ ⎡101⎦ ⎤r a n k S 1 = r a n k [ h G h G 2 h ] = r a n k [ 1 1 1 0 − 2 − 2 1 − 1 − 3 ] = 3 = n rankS_1=rank\begin{bmatrix}h & Gh & G^2h\end{bmatrix}=rank \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -2\\ 1 & -1 & -3 \end{bmatrix}=3=n rankS1=rank[hGhG2h]=rank⎣ ⎡1011−2−11−2−3⎦ ⎤=3=n
故系统可控。
令 k = 0 , 1 , 2 k=0,1,2 k=0,1,2，可达状态序列：
x ( 1 ) = G x ( 0 ) + h u ( 0 ) = [ 1 0 0 0 2 − 2 − 1 1 0 ] [ 2 1 0 ] + [ 1 0 1 ] u ( 0 ) = [ 2 2 − 1 ] + [ 1 0 1 ] u ( 0 ) x ( 2 ) = G x ( 1 ) + h u ( 1 ) = [ 2 6 0 ] + [ 1 − 2 − 1 ] u ( 0 ) + [ 1 0 1 ] u ( 1 ) x ( 3 ) = G x ( 2 ) + h u ( 2 ) = [ 2 12 4 ] + [ 1 − 2 − 3 ] u ( 0 ) + [ 1 − 2 − 1 ] u ( 1 ) + [ 1 0 1 ] \begin{aligned} &x(1)=Gx(0)+hu(0)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -2\\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}u(0)=\begin{bmatrix}2\\2\\-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}u(0)\\ &x(2)=Gx(1)+hu(1)=\begin{bmatrix}2\\6\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\-2\\-1\end{bmatrix}u(0)+\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}u(1)\\ &x(3)=Gx(2)+hu(2)=\begin{bmatrix}2\\12\\4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\-2\\-3\end{bmatrix}u(0)+\begin{bmatrix}1\\-2\\-1\end{bmatrix}u(1)+\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \end{aligned} x(1)=Gx(0)+hu(0)=⎣ ⎡10−10210−20⎦ ⎤⎣ ⎡210⎦ ⎤+⎣ ⎡101⎦ ⎤u(0)=⎣ ⎡22−1⎦ ⎤+⎣ ⎡101⎦ ⎤u(0)x(2)=Gx(1)+hu(1)=⎣ ⎡260⎦ ⎤+⎣ ⎡1−2−1⎦ ⎤u(0)+⎣ ⎡101⎦ ⎤u(1)x(3)=Gx(2)+hu(2)=⎣ ⎡2124⎦ ⎤+⎣ ⎡1−2−3⎦ ⎤u(0)+⎣ ⎡1−2−1⎦ ⎤u(1)+⎣ ⎡101⎦ ⎤
令 x ( 3 ) = 0 x(3)=0 x(3)=0，则有：
[ 1 1 1 − 2 − 2 0 − 3 − 1 1 ] [ u ( 0 ) u ( 1 ) u ( 2 ) ] = [ − 2 − 12 − 4 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & 0\\ -3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u(0)\\ u(1)\\ u(2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -2\\ -12\\ -4 \end{bmatrix} ⎣ ⎡1−2−31−2−1101⎦ ⎤⎣ ⎡u(0)u(1)u(2)⎦ ⎤=⎣ ⎡−2−12−4⎦ ⎤
其系数矩阵即可控性矩阵 S 1 S_1 S1是非奇异的，因而可得：
[ u ( 0 ) u ( 1 ) u ( 2 ) ] = [ 1 1 1 − 2 − 2 0 − 3 − 1 1 ] − 1 [ − 2 − 12 − 4 ] = [ 1 2 1 2 1 2 − 1 2 − 1 1 2 1 1 2 0 ] [ − 2 − 12 − 4 ] = [ − 5 11 − 8 ] \begin{bmatrix} u(0)\\ u(1)\\ u(2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & 0\\ -3 & -1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -2\\ -12\\ -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}\\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -1 & \displaystyle\frac{1}{2} \\ 1 & \displaystyle\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2\\ -12\\ -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -5\\11\\-8 \end{bmatrix} ⎣ ⎡u(0)u(1)u(2)⎦ ⎤=⎣ ⎡1−2−31−2−1101⎦ ⎤−1⎣ ⎡−2−12−4⎦ ⎤=⎣ ⎡21−21121−12121210⎦ ⎤⎣ ⎡−2−12−4⎦ ⎤=⎣ ⎡−511−8⎦ ⎤
若令 x ( 2 ) = 0 x(2)=0 x(2)=0，即解方程组：
[ 1 1 − 2 0 − 1 1 ] [ u ( 0 ) u ( 1 ) ] = [ − 2 − 6 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u(0)\\u(1) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -2\\-6\\0 \end{bmatrix} ⎣ ⎡1−2−1101⎦ ⎤[u(0)u(1)]=⎣ ⎡−2−60⎦ ⎤
其系数矩阵的秩为2，增广矩阵：
[ 1 1 ∣ − 2 − 2 0 ∣ − 6 − 1 1 ∣ 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 &| & -2\\ -2 & 0 & | & -6\\ -1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} ⎣ ⎡1−2−1101∣∣∣−2−60⎦ ⎤
秩为3，两个秩不等，方程无解，意味着不能在两个采样周期内使系统由初始状态转移至原点；若该两个秩相等，则可用两步完成状态转移。 -
-
线性离散系统的可观测性
设离散系统为：
x ( k + 1 ) = G ( k ) x ( k ) + H ( k ) u ( k ) , k ∈ T k y ( k ) = C ( k ) x ( k ) + D ( k ) u ( k ) (37) \begin{aligned} &x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),k\in{T_k}\\ &y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k) \end{aligned}\tag{37} x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),k∈Tky(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)(37)
若对初始时刻 l ∈ T k l\in{T_k} l∈Tk的任一非零初始状态 x ( l ) = x 0 x(l)=x_0 x(l)=x0，都存在有限时刻 m ∈ T k , m > l m\in{T_k},m>l m∈Tk,m>l，且可由 [ l , m ] [l,m] [l,m]上的输出 y ( k ) y(k) y(k)唯一地确定 x 0 x_0 x0，则称系统在时刻 l l l是完全可观测的。线性定常离散系统的可观测判据：设线性定常离散系统的动态方程为：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) , y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) (38) x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),y(k)=Cx(k)+Du(k)\tag{38} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),y(k)=Cx(k)+Du(k)(38)
式中： x ( k ) x(k) x(k)为 n n n维状态向量， y ( k ) y(k) y(k)为 q q q维输出向量；线性定常离散系统的可观测矩阵( n q × n nq\times{n} nq×n)：
V 1 T = [ C C G ⋮ C G n − 1 ] (39) V^T_1= \begin{bmatrix} C\\ CG\\ \vdots\\ CG^{n-1} \end{bmatrix}\tag{39} V1T=⎣ ⎡CCG⋮CGn−1⎦ ⎤(39)
系统可观测的充分必要条件：
r a n k V 1 T = n (40) rankV^T_1=n\tag{40} rankV1T=n(40)
线性定常离散系统的可观测性判据常表示为：
r a n k V 1 = r a n k [ C T G T C T ⋯ ( G T ) n − 1 C T ] = n (41) rankV_1=rank\begin{bmatrix}C^T & G^TC^T & \cdots & (G^T)^{n-1}C^T\end{bmatrix}=n\tag{41} rankV1=rank[CTGTCT⋯(GT)n−1CT]=n(41)
实例分析：Example7： 已知线性定常离散系统的动态方程为：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + h u ( k ) , y ( k ) = C i x ( k ) , i = 1 , 2 x(k+1)=Gx(k)+hu(k),y(k)=C_ix(k),i=1,2 x(k+1)=Gx(k)+hu(k),y(k)=Cix(k),i=1,2其中： G = [ 1 0 − 1 0 − 2 1 3 0 2 ] , h = [ 2 − 1 1 ] , c 1 = [ 0 1 0 ] , C 2 = [ 0 0 1 1 0 0 ] 其中：G= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & -2 & 1\\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix},h= \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 1 \end{bmatrix},c_1= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},C_2= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} 其中：G=⎣ ⎡1030−20−112⎦ ⎤,h=⎣ ⎡2−11⎦ ⎤,c1=[010],C2=[010010]
判断系统的可观测性，讨论可观测性的物理解释。
解：
当观测矩阵为 c 1 c_1 c1时，
c 1 T = [ 0 1 0 ] , G T c 1 T = [ 0 − 2 1 ] , ( G T ) 2 c 1 T = [ 3 4 0 ] c_1^T= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, G^Tc_1^T= \begin{bmatrix} 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix},(G^T)^2c_1^T= \begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 0 \end{bmatrix} c1T=⎣ ⎡010⎦ ⎤,GTc1T=⎣ ⎡0−21⎦ ⎤,(GT)2c1T=⎣ ⎡340⎦ ⎤r a n k V 1 = r a n k [ 0 0 3 1 − 2 4 0 1 0 ] = 3 = n rankV_1=rank \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3\\ 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}=3=n rankV1=rank⎣ ⎡0100−21340⎦ ⎤=3=n
故系统可观测.
由输出方程 y ( k ) = c 1 x ( k ) = x 2 ( k ) y(k)=c_1x(k)=x_2(k) y(k)=c1x(k)=x2(k)可见，在第 k k k步便可由输出确定状态变量 x 2 ( k ) x_2(k) x2(k)；
由于
y ( k + 1 ) = x 2 ( k + 1 ) = − 2 x 2 ( k ) + x 3 ( k ) y(k+1)=x_2(k+1)=-2x_2(k)+x_3(k) y(k+1)=x2(k+1)=−2x2(k)+x3(k)
故在第 k + 1 k+1 k+1步便可确定 x 3 ( k ) x_3(k) x3(k)，由于：
y ( k + 2 ) = x 2 ( k + 2 ) = − 2 x 2 ( k + 1 ) + x 3 ( k + 1 ) = − 2 [ − 2 x 2 ( k ) + x 3 ( k ) ] + 3 x 1 ( k ) + 2 x 3 ( k ) = 4 x 2 ( k ) + 3 x 1 ( k ) \begin{aligned} y(k+2)&=x_2(k+2)=-2x_2(k+1)+x_3(k+1)\\ &=-2[-2x_2(k)+x_3(k)]+3x_1(k)+2x_3(k)\\ &=4x_2(k)+3x_1(k) \end{aligned} y(k+2)=x2(k+2)=−2x2(k+1)+x3(k+1)=−2[−2x2(k)+x3(k)]+3x1(k)+2x3(k)=4x2(k)+3x1(k)
故在第 k + 2 k+2 k+2步便可确定 x 1 ( k ) x_1(k) x1(k).该系统为三阶系统，可观测意味着至多三步便可由输出 y ( k ) , y ( k + 1 ) , y ( k + 2 ) y(k),y(k+1),y(k+2) y(k),y(k+1),y(k+2)的测量值来确定三个状态变量；
当观测矩阵为 C 2 C_2 C2时，
C 2 T = [ 0 1 0 0 1 0 ] ， G T C 2 T = [ 3 1 0 0 2 − 1 ] ， ( G T ) 2 C 2 T = [ 9 − 2 0 0 1 − 3 ] C_2^T= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix}，G^TC_2^T= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 0\\ 2 & -1 \end{bmatrix}， (G^T)^2C_2^T= \begin{bmatrix} 9 & -2 \\ 0 & 0 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} C2T=⎣ ⎡001100⎦ ⎤，GTC2T=⎣ ⎡30210−1⎦ ⎤，(GT)2C2T=⎣ ⎡901−20−3⎦ ⎤r a n k V 1 = r a n k [ 0 1 3 1 9 − 2 0 0 0 0 0 0 1 0 2 − 1 1 − 3 ] = 2 ≠ n = 3 rankV_1=rank \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 & 1 & 9 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & -1 & 1 & -3 \end{bmatrix}=2≠n=3 rankV1=rank⎣ ⎡00110030210−1901−20−3⎦ ⎤=2=n=3
故系统不可观测.
根据动态方程可导出：
y ( k ) = [ x 3 ( k ) x 1 ( k ) ] y ( k + 1 ) = [ x 3 ( k + 1 ) x 1 ( k + 1 ) ] = [ 3 x 1 ( k ) + 2 x 3 ( k ) x 1 ( k ) − x 3 ( k ) ] y ( k + 2 ) = [ x 3 ( k + 2 ) x 1 ( k + 2 ) ] = [ 3 x 1 ( k + 1 ) + 2 x 3 x ( k + 1 ) x 1 ( k + 1 ) − x 3 ( k + 1 ) ] = [ 9 x 1 ( k ) + x 3 ( k ) − 2 x 1 ( k ) − 3 x 3 ( k ) ] \begin{aligned} &y(k)= \begin{bmatrix} x_3(k)\\ x_1(k) \end{bmatrix}\\ &y(k+1)= \begin{bmatrix} x_3(k+1)\\ x_1(k+1) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x_1(k)+2x_3(k)\\ x_1(k)-x_3(k) \end{bmatrix}\\ &y(k+2)= \begin{bmatrix} x_3(k+2)\\ x_1(k+2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x_1(k+1)+2x_3x(k+1)\\ x_1(k+1)-x_3(k+1) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9x_1(k)+x_3(k)\\ -2x_1(k)-3x_3(k) \end{bmatrix} \end{aligned} y(k)=[x3(k)x1(k)]y(k+1)=[x3(k+1)x1(k+1)]=[3x1(k)+2x3(k)x1(k)−x3(k)]y(k+2)=[x3(k+2)x1(k+2)]=[3x1(k+1)+2x3x(k+1)x1(k+1)−x3(k+1)]=[9x1(k)+x3(k)−2x1(k)−3x3(k)]
三步的输出测量值中始终不含 x 2 ( k ) x_2(k) x2(k)，故 x 2 ( k ) x_2(k) x2(k)是不可观测状态变量，只要有一个状态变量不可观测，则称系统不完全可观测，简称不可观测. -
连续动态方程离散化后的可控性和可观测性
一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性，连续系统可控或可观测时，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测；若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的；