自动控制原理_卢京潮_线性系统的时域分析与校正_学习笔记

总目录：

第一章自动控制的一般概念+第二章控制系统的数学模型学习笔记：https://blog.csdn.net/mahoon411/article/details/112555468
第三章线性系统的时域分析与校正学习笔记：https://blog.csdn.net/mahoon411/article/details/112757589
第四章根轨迹法学习笔记：
第五章线性系统的频域分析与校正学习笔记：
第六章线性离散系统的分析与校正学习笔记：
第七章非线性控制系统分析学习笔记：
第八章控制系统的状态空间分析与综合学习笔记：

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本章节的第一、二、三小节主要讲了控制系统基本要求中的“快”，第四小节讲了“稳”，第五小节讲了“准”，前五小节总体讲了线性系统的时域分析。
第六小节讲了线性系统的时域校正。

0. 概述

时域法是最基本的分析方法,是学习复域法、频域法的基础。

时域法的特点：

1. 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；
2. 可以提供系统时间响应的全部信息；
3. 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。

对控制系统的基本要求：

• 稳：( 基本要求 ) 系统受扰动影响后能回到原来的平衡位置
• 准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小
• 快: ( 动态要求 ) 阶跃响应的过渡过程要平稳，迅速

线性系统时域动态性能指标：
系统的动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。因为，一般认为阶跃输入对于系统而言是比较严峻的工作状态，若系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的输入作用下，其动态性能也应是令人满意的。



上述五个动态性能指标中，最常用的是调节时间t_s(反应过渡时间的长短，用来描述“快”)，超调量σ%(反应过渡过程的波动程度，反应系统跟踪信号的平稳性，描述“匀”),峰值时间t_p。

1. 一阶系统的时间响应及动态性能

1.1 一阶系统传递函数标准形式及单位阶跃响应

一阶系统：闭环传递函数中分母中变量的最高阶数是一阶的系统。

一阶系统的动态性能指标只重点考虑调节时间t_s，没有超调量σ%。

一阶系统的特征参数只有时间常数T。把一阶系统的传递函数化为尾1标准型，则分母中s的系数就是时间常数T。

1.2 一阶系统动态性能指标计算

即，一阶系统的动态性能指标中的调节时间t_s，为t_s=3T，其中，T为时间常数。

1.3 典型输入下，一阶系统的响应

由图表可知，系统对某一信号的积分(微分)的响应，等于系统对某一信号的响应的积分(微分)。任意有限阶线性定常系统均符合此结论。因此，对于研究一个系统的动态性能指标来说，知道它的其中一个信号的响应(如阶跃响应)，其余信号的系统响应均可推出，不必另外求解。

2. 二阶系统的时间响应及动态性能

需要注意的是，讨论一阶系统时，使用的尾1标准型，讨论二阶系统时，通常使用首1标准型。

2.1 传递函数标准形式及分类

二阶系统的特征参数有阻尼比和无阻尼自然频率。

二阶系统的特征方程：即二阶系统传递函数的分母，令其等于零。
特征方程的解即特征根，就是系统的极点。

系统阻尼比的取值范围不同，其特征根形式不同，系统响应特性也不同，据此将二阶系统进行分类：

2.2 临界阻尼/过阻尼二阶系统动态性能指标计算

计算过阻尼和临界阻尼系统的动态性能指标时，由于不存在超调，因此不需要计算超调量σ%，只需要计算调节时间t_s。
系统结构图如下图所示，其中K=0.09。

求得传递函数如下所示：

此二阶系统的结构图可化为下图：

极点图如下图所示：

因此，过阻尼二阶系统从结构上看，相当于两个惯性环节(即一阶系统)的串联。

将极点图与化成两个惯性环节的系统结构图结合来看。离虚轴距离最远的极点，对应的惯性环节是1/(1.11s+1)，由一阶系统的动态性能指标可知，其调节时间t_s为3.33秒。离虚轴距离最近的极点，对应的惯性环节是1/(10s+1)，其调节时间t_s为30秒。

经过MATLAB绘图后可知，阶跃信号只经过后一个惯性环节所产生的响应与阶跃信号先经过前一个惯性环节再经过后一个惯性环节所产生的的响应相比，差别不大。并且当T₁/T₂，即λ₂/λ₁的值越大(也就是远离虚轴的那个极点离虚轴越远)，二阶系统的响应越接近于靠近虚轴的那个极点的惯性环节的响应。

从下图中也可看出，当T₁/T₂的值越大时，纵坐标t_s/T₁的值越接近于3，当T₁/T₂的值很大时，特征根λ₂=-1/T₂比λ₁=-1/T₁远离虚轴，λ₂对应的模态e^-t/T2很快衰减为零，系统调节时间主要由λ₁=-1/T₁对应的模态e^-t/T1决定，t_s/T₁近似等于3，意味着t_s=3T₁。就是说，此时可将过阻尼二阶系统近似看作由λ₁=-1/T₁确定的一阶系统，估算其动态性能指标。

注：上面提到的距离虚轴最近的特征根λ₁，或者极点λ₁称为闭环主导极点，它对整个系统的调节时间的影响特别大。

2.3 零阻尼/欠阻尼二阶系统动态性能指标计算(非常重要)

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应：

欠阻尼二阶系统动态性能指标：

• 峰值时间t_p：
  
  记忆公式方法：π除以特征根(极点)的虚部(正值)。

• 超调量σ%：
  
  记忆公式方法：π乘以特征根(极点)的实部除以虚部(正值)。
  可以看出，超调量只和阻尼比有关，与无阻尼自然频率无关。
  又已知，极角β由阻尼比唯一确定。因此，不同二阶系统的极点分布，只要分布在同一条射线上(即极角β相同)，那么它们的阻尼比一定相同，进而推知，它们的超调量一定相同。
  阻尼比与超调量的图形如下图所示：
  
  下图是三种β角与超调量的对应图，要记下这三种β角对应的阻尼比与超调量的对应关系：
  β=60°→ξ=cos(60°)=0.5→σ%=16.3%；
  β=45°→ξ=cos(45°)=0.707→σ%=4.33%；
  β=30°→ξ=cos(30°)=0.866→σ%=0.43%。
  

• 调节时间t_s：先说明一下，如果依旧以系统响应曲线最后一次进入5%误差带的时间作为调节时间的话，那么此时，随着阻尼比的连续变化，系统的调节时间并非连续变化。
  因此，为了有一个随着阻尼比连续变化而连续变化的调节时间，与此同时也是为了计算方便，通常按照阶跃响应的包络线进入5%误差带的时间来近似计算调节时间。
  
  记忆公式方法：3.5除以特征根(极点)的实部的绝对值。

上述三个公式非常重要！！！ 搞控制会经常用到上述三个动态性能指标的公式。
做控制这一行，会经常用到上述三个公式。

“最佳阻尼比”ξ=0.707：
首先规定-ξω_n=-1/T这个乘积为一个常数，设阻尼比ξ为变量，即在零极点分布图中，极点随着阻尼比ξ的变化，沿着一条平行于虚轴的线上下移动，但极点到虚轴的距离是固定不变的。

绘制出调节时间t_s(真正意义上的调节时间)随阻尼比ξ变化的曲线如下图所示。

从图中可以看出ξ=0.707(β=45°)时，t_s≈2T(T=1/ξω_n)，实际调节时间最短，σ%=4.32%，超调量又不大，所以一般称ξ=0.707(cos(45°)=√2/2≈0.707)为“最佳阻尼比”。

理论上讲，0.707是最佳阻尼比。但实际上来说，根据需求不同，最佳阻尼比的值也会不同。例如对于民航客机的升高度来说，此时乘客需要的是舒适平稳的升高，即没有超调，因此，阻尼比越大越好，不必太在意调节时间。又例如对于战斗机来说，此时飞行员需要的是更加灵活机动的操作，即调节时间越短越好，因此，阻尼比的选择要使得调节时间最短，而不必太在意超调量。

接下来，描述一下二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律：

• D→B：实轴的绝对值ξω_n不变，故调节时间t_s不变；虚轴√(1-ξ²)ω_n变为原来的两倍，故峰值时间t_p变短；β角变大，故阻尼比变小，超调量σ%变大。
• D→A：实轴的绝对值ξω_n变为原来两倍，故调节时间t_s变短；虚轴√(1-ξ²)ω_n变为原来的两倍，故峰值时间t_p变短；β角不变，故阻尼比不变，超调量σ%不变。
• D→C：实轴的绝对值ξω_n变为原来两倍，故调节时间t_s变短；虚轴√(1-ξ²)ω_n不变，故峰值时间t_p不变；β角变小，故阻尼比变大，超调量σ%变小。
• C→B：实轴的绝对值ξω_n变为原来二分之一，故调节时间t_s变长；虚轴√(1-ξ²)ω_n变为原来的两倍，故峰值时间t_p变短；β角变大，故阻尼比变小，超调量σ%变大。
  
  上述规律的理解对于第四章根轨迹的学习非常重要。

综上所述，二阶系统的极点放在45°线上，并且远离虚轴，这样是最有利的。因为当系统极点配置在45°线上时，阻尼比ξ=0.707，是最佳阻尼比，此时系统的实际调节时间最短，超调量也比较小(不超过5%)；并且极点沿45°线离虚轴越远，ω_n越大(|λ|=ω_n，即极点的模等于ω_n)，因此ξ=0.707时对应的调节时间t_s≈2T(T=1/ξω_n)越来越短。

调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限，此时可以通过调整系统结构来进一步改善系统性能。接下来总结一下改善二阶系统动态性能的措施。

2.4 改善二阶系统动态性能的措施

采用测速反馈和比例加微分的控制方式，可以有效改善二阶系统动态性能。

• 原系统结构：
  

• 测速反馈——增加阻尼：
  结构作用：
  能够有效降低系统的超调量与调节时间。
  改善机理：
  当输出的超调量太大，意味着输出的波动太大，即输出变化的速度太大，此时把输出的速度负反馈回去，这样就增加了系统的阻尼，就能降低系统的超调量。
  测速反馈系统结构：
  如下图所示，相当于把原系统的输出C(s)求了一次导数(复域乘s相当于时域求导)，再乘上系数K_t，反馈回去。即反馈了系统输出的速度，因此称为测速反馈。

• 比例加微分(PD)——提前控制：
  结构作用：
  能够降低系统的超调量与调节时间。
  改善机理：
  微分信号的相位超前于比例信号的相位，因此系统可以提前进行调整。
  比例加微分系统结构：
  如下图所示，与原系统相比，此系统在误差信号后面，又引入了第二个支路，在此支路上，对误差信号(输出信号减输出信号)求了一次导数，并乘上系数K_t，此支路相当于对误差信号做了微分。并在后面将误差的微分信号与误差的比例信号(比例系数为1)相加，因此称为比例加微分。
  

具体的比较见下表：

2.5 附加闭环零极点对系统动态性能的影响

• 附加闭环零点会使系统的峰值时间提前，超调量增加。附加的闭环零点靠虚轴越近(K_t越大)，这种影响越强烈。
• 附加闭环极点的作用于附加闭环零点的作用相反。附加闭环极点会使系统的峰值时间滞后，超调量减少。附加的闭环极点离虚轴越近，影响越强烈。
• 同时附加闭环零点和极点时，距离虚轴近的零点或极点对系统影响较大。

3. 高阶系统的阶跃响应及动态性能

3.1 几个概念

• 闭环主导极点：距离虚轴最近而且附近又没有闭环零点的闭环极点。
• “偶极子”：若两相邻零、极点间的距离比它们本身的模值小一个数量级时，称该零、极点对为“偶极子”，其作用近似抵消，可以忽略相应分量的影响。

3.2 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法

1. 由高阶系统的传递函数画出闭环零极点图；
2. 略去非主导零极点(此零极点的实部大于主导极点实部的5~6倍以上)和不非常靠近虚轴的“偶极子”，保留主导极点；
3. 按下表中相应公式估算系统动态性能。

4. 线性系统的稳定性分析

4.1 稳定性的概念

稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。

稳定的定义：在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。

如下图中小球的三种情况所示，只有最左边的情况是稳定的。因为中间的小球在接收扰动后，虽然最终能够停止，但其停止的位置已经不是原来平衡的位置，因此在自动控制领域中不属于稳定状态。

4.2 稳定的充要条件

根据稳定的定义，我们将脉冲响应作为系统的扰动信号。脉冲信号在t>0时为零，若系统脉冲响应最终收敛为零，即

则称系统是稳定的。

系统稳定的充要条件：系统的所有闭环极点均具有负的实部，或所有闭环极点均严格位于左半s平面。

注：一个系统是否稳定，只取决于系统的闭环极点，与系统的闭环零点无关。

4.3 稳定判据

虽然一阶二阶系统的特征根(闭环极点)能够求出来，然后用稳定的充要条件去判断系统是否稳定。但高阶系统的特征根未必能够求得，因此就需要一种稳定判据，使得不用求出系统的特征根，也能判断出系统是否稳定。

首先给出系统的特征方程(系统闭环传递函数的分母等于零)：

由特征方程，系统稳定的必要条件为：

使用此必要条件时需注意，有的特征方程会缺项，比如2s³+3s¹+1=0，此时，看起来好像特征方程里s的系数都大于零，但实际上s²等于零，不满足必要条件，此系统一定不稳定

注：如果必要条件都没有满足的话，此系统一定不稳定。如果满足必要条件，只能说明此系统可能稳定，是否稳定还需进一步判断(使用劳斯判据)。

判断例题：

劳斯判据：
根据系统特征方程列劳斯表。劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定； 且第一列元素符号改变的次数等于特征方程中正实部根的个数。

上述例题中，劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。

劳斯判据特殊情况的处理：

系统开环稳定与系统闭环稳定之间没有直接关系。

劳斯稳定判据解决的是系统绝对稳定性的问题。在系统设计时，往往不仅需要知道系统是否绝对稳定，而且需要知道系统稳定的程度，即一个稳定的控制系统距临界稳定状态还有多大的裕度(或称稳定裕度)。
在时域分析中，稳定裕度常用实部最大的特征根和虚轴之间的距离来描述。

4.4 注意

1. 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。

2. 系统稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。
   

3. 闭环系统的稳定性与其开环是否稳定没有直接关系。

5. 线性系统的稳态误差

• 稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。
• 对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差以系统稳定为前提。
• 本节只讨论系统的原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的误差。
• 通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为“无差系统”，而把有原理性稳态误差的系统称为“有差系统” 。

5.1 误差与稳态误差

按输入端定义的误差：


误差通常有两种含义:

• 静态误差(终值误差)：指时间趋于无穷大时误差的值。
  

• 动态误差： 指误差e(t)信号中的稳态分量e_s(t)。

当误差随时间趋于无穷大时，静态误差(终值误差)不能反映稳态误差随时间的变化规律，具有一定的局限性。

5.2 计算稳态误差的一般方法(仅指静态误差)

这个一般方法的实质是利用终值定理，既可以用于求输入作用下的稳态误差，也可以用于求干扰作用下的稳态误差，具体分为三步：

1. 判定系统的稳定性。
   稳定是系统正常工作的前提，系统不稳定时，求稳态误差没有意义。另外，计算稳态误差要用终值定理，终值定理的应用条件是：除原点外，sE(s)在右半s平面及虚轴上解析。
2. 求误差传递函数
   
3. 用终值定理求稳态误差
   

影响系统稳态误差的因素：

• 系统自身的结构参数；
• 外作用的类型(控制量、扰动量及其作用点)；
• 外作用的形式(阶跃、斜坡或加速度)。

需要注意的是，之前研究系统动态性能时，限制输入信号必须是阶跃信号，但是研究系统稳态误差时，没有限制输入信号。

5.3 静态误差系数法

此方法主要是研究典型输入作用下引起的稳态误差与系统结构参数以及输入形式的关系。
此方法适用的条件为：

• 系统稳定
• 按输入端定义误差
• r(t)作用，且r(t)无其他前馈通道

给出一个系统结构图：

如下是这个系统的开环传递函数，将开环传递函数的分子与分母部分进行因式分解，将分子的开环增益K与分母的纯积分环节s^v提出来，剩下的分式记为G₀(s)。

其中：

• K是系统的开环增益。
• v是系统开环传递函数中纯积分环节的个数，称为系统型别，也称为系统的无差度。
  需要注意的是：系统型别是针对闭环系统而言的。但是计算系统型别时，需要写出系统的开环传递函数，开环传递函数中有几个纯积分环节，那么对应的闭环系统就称之为几型系统。
  当v=0时，相应闭环系统为0型系统，也称为“有差系统”。
  当v=1时，相应闭环系统为Ⅰ型系统，也称为“一阶无差系统”。
  当v=2时，相应闭环系统为Ⅱ型系统，也称为“二阶无差系统”。
• 

计算上述系统的误差传递函数：

计算稳态误差：

可知，系统的稳态误差与输入r(t)的形式以及系统结构参数(K,v)有关。

将阶跃输入、斜坡输入、加速度输入信号分别代入上述稳态误差公式中，得到结果：

将上述结果整理为表格：

表格体现的规律是：

• 当系统型别确定后，稳态误差随着输入信号阶数的增加而增加。
• 当输入信号确定后，稳态误差随着系统型别的增加而降低。
• 当系统型别与输入信号的阶数相等时(比如系统型别为1，输入信号为At¹=At)，稳态误差为非零常数(e_ss=A/K)。
• 当系统型别高于输入信号阶数时，稳态误差均为0。
• 当系统型别低于输入信号阶数时，稳态误差均为无穷大。

利用上述表格求解稳态误差的步骤为：

1. 写出系统的开环传递函数。
2. 由开环传递函数求得系统型别v，开环增益K。
3. 写出系统的闭环传递函数，由特征多项式(闭环传递函数的分母)建立特征方程，利用劳斯判据判断系统是否稳定，只有稳定的系统才有求稳态误差的意义。
4. 根据输入信号，对照上述表格对号入座，求得稳态误差。

由此可见，系统型别越高(纯积分环节越多)，其降低稳态误差的能力就越大，即跟踪输入信号的能力就越强。但是系统型别越高，想要使系统稳定就越难，因为纯积分环节越多，系统的特征方程中缺项的可能性就越大，一旦特征方程缺项，系统就不稳定，想要使系统不缺项，就需要对系统增加微分环节，但是由物理部件去实现微分环节是比较困难的。
因此，首先要保证系统稳定，在能够使系统稳定的前提下去增加系统型别。也因此，在实际控制系统中，0型系统与Ⅰ型系统都是比较常见的，但是Ⅱ型系统就比较少见了，Ⅱ型系统以上的系统，目前还没有。

例题：
下图的系统中有前馈通道，因此不能使用静态误差系数法，只能使用计算误差的一般方法。

说明：按前馈补偿的复合控制方案可以有效提高系统的稳态精度。

5.4 干扰作用引起的稳态误差分析

例题：

说明：在主反馈口到干扰作用点之间的前向通道中提高增益、设置积分环节，可以同时减小或消除控制输入和干扰作用下产生的稳态误差。

5.5 动态误差系数法

6. 线性系统时域校正

6.1 反馈校正

6.2 复合校正