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前言
汇总版在这篇文章：自动控制原理上课笔记
线性系统的时域分析
一阶系统的时域分析
线性定常系统在任意输入信号作用下的时间响应，均可分解为零输入响应与零状态响应之和：
y ( t ) = y z i + y z s y(t)=y_{zi}+y_{zs} y(t)=yzi+yzs
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y z i y_{zi} yzi：零输入响应
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只与系统的极点类型和分布有关，与系统的零点无关，与系统的初始条件有关。
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反映系统的稳定性。
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y z s y_{zs} yzs：零状态响应
- 在时域：表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的卷积。
- 在复数域：表示为传递函数与输入信号拉氏变换的乘积。
- 与系统的零极点都有关，还与输入信号的性质有关。
- 反映系统的稳定性、暂态（快速及平稳性）及稳态（准确）特性。
数学模型
- 微分方程： T d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t) Tdtdc(t)+c(t)=r(t)
- 开环传函： G k ( s ) = 1 T s G_k(s)=\frac{1}{Ts} Gk(s)=Ts1
- 闭环传函： Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 1 T s + 1 \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1} Φ(s)=R(s)C(s)=Ts+11
- 特征方程： T s + 1 = 0 Ts+1=0 Ts+1=0
输入响应
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单位阶跃响应
t = 3 T , c ( t ) = 0.95 t=3T,c(t)=0.95 t=3T,c(t)=0.95 —— 5% 误差带
t = 4 T , c ( t ) = 0.98 t=4T,c(t)=0.98 t=4T,c(t)=0.98 —— 2% 误差带
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可以用时间常数 T 去度量系统的输出量的数值
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初始斜率为 1/T
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无超调
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稳态误差 e s s = 0 e_{ss}=0 ess=0
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单位脉冲响应
- 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值
- 初始斜率为 − 1 / T 2 -1/T^2 −1/T2
- 无超调
- 稳态误差 e s s = 0 e_{ss}=0 ess=0
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单位斜坡响应
出现稳态误差（ e s s = T e_{ss}=T ess=T ）
一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
- 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数。
- 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。
二阶系统的时域分析
- 微分方程
T 2 d 2 c ( t ) d t 2 + 2 ζ T d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) d 2 c ( t ) d t 2 + 2 ζ w n d c ( t ) d t + w n 2 c ( t ) = w n 2 r ( t ) T^2\frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{T}\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)\\ \frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{w_n}\frac{dc(t)}{dt}+w^2_nc(t)=w^2_nr(t) T2dt2d2c(t)+2ζTdtdc(t)+c(t)=r(t)dt2d2c(t)+2ζwndtdc(t)+wn2c(t)=wn2r(t)
- 开环传函
G k ( s ) = 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s G_k(s)=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s}=\frac{w^2_n}{s^2+2\zeta{w_n}s} Gk(s)=T2s2+2ζTs1=s2+2ζwnswn2
- 闭环传函
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s + w n 2 = 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{ {w_n}^2}{s^2+2\zeta{w_n}s+{w_n}^2 }=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s+1} Φ(s)=R(s)C(s)=s2+2ζwns+wn2wn2=T2s2+2ζTs+11
- 特征方程的根
s 1 , 2 = − ζ w n ∓ j w n 1 − ζ 2 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}} s1,2=−ζwn∓jwn1−ζ2
阻尼比
| 阻尼比 | 所属情况 |
|---|---|
| ζ = 0 \zeta=0 ζ=0 | 无（零）阻尼 |
| 0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1 | 欠阻尼 |
| ζ ＝ 1 \zeta＝1 ζ＝1 | 临界阻尼（重极点） |
| ζ > 1 \zeta>1 ζ>1 | 过阻尼 |
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由于阻尼比 ζ \zeta ζ 为负，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式，从而表明 ζ < 0 \zeta<0 ζ<0 的二阶系统是不稳定的。
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如果 ζ ＝ 0 \zeta＝0 ζ＝0，则特征方程有一对纯虚根， s 1 , 2 = ± j w n s_{1,2}=\pm{jw_n} s1,2=±jwn，对应于 s 平面虚轴上一对共轭极点，可以算出系统的阶跃响应为等幅振荡，此时系统相当于无阻尼情况。
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如果 0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1，则特征方程有一对具有负实部的共轭复根， s 1 , 2 = − ζ w n ∓ j w n 1 − ζ 2 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}} s1,2=−ζwn∓jwn1−ζ2 ，对应于 s 平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为衰减振荡过程，此时系统处于欠阻尼情况。
- 系统特征方程既有实部也有虚部，其单位阶跃响应既有振荡成分也有衰减成分，是一个随时间 t 的增长，振幅按指数规律衰减的周期函数（衰减振荡曲线）。
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如果 ζ ＝ 1 \zeta＝1 ζ＝1，则特征方程具有两个相等的负实根， s 1 , 2 = − w n s_{1,2}=-w_n s1,2=−wn，对应于s平面负实轴上的两个相等实极点，相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出，此时系统处于临界阻尼情况。
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如果 ζ > 1 \zeta>1 ζ>1，则特征方程有两个不相等的负实根 s 1 , 2 = − ζ w n ± w n ζ 2 − 1 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{w_n\sqrt{\zeta^2-1}} s1,2=−ζwn±wnζ2−1 ，对应于 s 平面负实轴上的两个不等实极点，相应的单位阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出，但响应速度比 1 临界阻尼情况缓慢，因此称为过阻尼情况。
二阶控制系统的设计，一般取 ζ = 0.4 ∼ 0.8 \zeta=0.4\sim0.8 ζ=0.4∼0.8
二阶系统的单位阶跃响应
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根的实部反应在响应的指数部分（模态形状:是否衰减）
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根的虚部反应在响应的正弦部分（模态形状:是否振荡）
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ζ = 0 \zeta=0 ζ=0 时为临界稳定状态
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ζ ≈ 0.707 \zeta ≈ 0.707 ζ≈0.707 时调节时间最短（称为最佳阻尼比）
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s 1 , 2 = − ζ w n ± j w n 1 − ζ 2 = − σ ± j w d s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}}=-\sigma\pm{jw_d} s1,2=−ζwn±jwn1−ζ2=−σ±jwd
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衰减系数 σ \sigma σ （实部）是闭环极点到虚轴之间的距离
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阻尼振荡频率 w d w_d wd (虚部)是闭环极点到实轴之间的距离： w d = w n ( 1 − ζ 2 ) w_d=w_n(\sqrt{1-\zeta^2}) wd=wn(1−ζ2)
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自然频率 w n w_n wn 是闭环极点到坐标原点之间的距离
w n w_n wn 与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比 ζ \zeta ζ，即 cos φ = ζ \cos\varphi=\zeta cosφ=ζ
结论：调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而加大自然频率值，则可在不改变超调量的情况下缩短调节时间。
欠阻尼二阶系统阶跃响应
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峰值时间： t p = π w d = π w n 1 − ζ 2 t_p=\frac{\pi}{w_d}=\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}} tp=wdπ=wn1−ζ2π 与根（极点）的虚部成反比
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超调量： σ p = e − π ζ 1 − ζ 2 × 100 % \sigma_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\% σp=e−1−ζ2πζ×100%
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上升时间： t r = π − φ w n 1 − ζ 2 t_r=\frac{\pi-\varphi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}} tr=wn1−ζ2π−φ 为第一次达到稳态值时的时间
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调节时间： t s = 3.5 ζ w n ( Δ = 5 % ) t_s=\frac{3.5}{\zeta{w_n}}(\Delta=5\%) ts=ζwn3.5(Δ=5%) t s = 4.4 ζ w n ( Δ = 2 % ) t_s=\frac{4.4}{\zeta{w_n}}(\Delta=2\%) ts=ζwn4.4(Δ=2%) 与闭环极点的实部数值成反比
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延迟时间： t d ≈ 1 + 0.7 ζ w n t_d\approx\frac{1+0.7\zeta}{w_n} td≈wn1+0.7ζ 或 t d ≈ 1 + 0.6 ζ + 0.2 ζ 2 w n t_d\approx\frac{1+0.6\zeta+0.2\zeta^2}{w_n} td≈wn1+0.6ζ+0.2ζ2 为第一次达到稳态值一半的时间，与震荡频率成反比，与 ξ 成正比
由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然频率决定。
对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻尼角）一定时，极点与虚轴的距离（ ζ w n \zeta{w_n} ζwn）决定响应的快速性。
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应稳态误差为零。
添加零点对典型二阶系统暂态响应特性影响
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添加闭环零点
- 输出响应的变化率越大微分作用便越强，零点的影响就越大；闭环零点离虚轴越近，影响就越显著，若零点离虚轴越远则影响就越弱。
- 一般而言，添加闭环零点，使响应加快，震荡加剧，超调增大。零点越靠近虚轴，作用越明显。
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添加开环零点
增大阻尼比，不影响系统的稳定性，系统的动态性能可以得到改善，不改变系统的稳态精度。
- 比例微分控制（在前向通道中添加零点）不影响系统的稳定性。
- 比例微分控制（添加开环零点）可以增大系统的阻尼比，从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强；可以使闭环增加同样的零点，从而使系统响应加快；比例微分控制（添加开环零点）可以全面改善系统的动态响应特性。
- 比例（ k p = 1 k_p=1 kp=1）微分控制（添加开环零点）不影响系统的稳态精度。
- 比例微分控制（添加开环零点）主要用于改善系统的暂态响应（动态）性能。
速度反馈（微分负反馈）
输出量的导数同样可以用来改善系统的性能。通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例一微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统动态性能。
- 微分负反馈控制器不影响系统的稳定性。
- 微分负反馈控制器可以增大系统的阻尼比，从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强、使系统调节时间加快；微分负反馈控制器可以改善系统的动态响应特性。
- 微分负反馈控制器降低系统的稳态精度。
- 微分负反馈控制器主要用于改善系统的暂态响应（动态）性能，但会增大稳态误差。
- 为了减小稳态误差，必须加大原系统的开环增益，而使 K t K_t Kt 单纯用来增大系统阻尼。
比例-微分控制与测速反馈控制的比较
- 附加阻尼来源：比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。
- 使用环境：比例-微分控制对噪声有明显放大作用，当系统输入端噪声严重时，不宜选用比例-微分控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。
- 对开环增益和自然频率的影响：比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。
- 对动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。