自动控制原理(考研)理论篇--第五章(线性系统的频域分析法)

导语

本博文基于自动控制原理(胡寿松第六版)全书，将知识点总结，便于同学们的复习，该篇属于自动控制原理的理论篇，理论性东西较多，阅读起来难免有点枯燥，但既然坚持了，那就把它读完吧，因作者也是在复习考研，也是刚毕业的大学生，总结的东西难免会有所纰漏，如发现，请在评论区提醒，望共同进步，考研成功上岸！

5.0 频域分析法

应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法的特点：
a.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行；
b.频率特性物理意义明确；
c.控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求；
d.频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性控制系统。

5.1 频率特性

1. 频率特性的基本概念
   设
   $$G(j\omega )=\frac{a(\omega )+jb(\omega )}{c(\omega )+jd(\omega )}=|G(j\omega )|e^{j\angle G(j\omega )}$$
   其中：
   $$|G(j\omega )|=\sqrt{\frac{b^2(\omega )+a^2(\omega )}{c^2(\omega )+d^2(\omega )}}$$
   $$\angle G(j\omega )=\arctan \frac{b(\omega )c(\omega )-a(\omega )d(\omega )}{a(\omega )c(\omega )+d(\omega )b(\omega )}$$
   设输入为：
   $$r(t)=A\sin (\omega t)$$
   则输出为：
   $$c(t)=A|G(j\omega )|\sin (\omega t+\angle G(j\omega ))$$
   有如下关系：
   $$A(\omega )=|G(j\omega )|，\phi (\omega )=\angle G(j\omega )$$
   对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，而幅值和相位的变化是频率$\omega$的函数，且与系统数学模型相关。
   定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比$A(\omega )$为幅频特性，相位之差$\phi (\omega )$为相频特性，称其指数表达形式
   $$G(j\omega )=A(\omega )e^{j\phi (\omega )}$$
   为系统的频率特性。
2. 频率特性的几何表示法
   a.幅相频率特性曲线(极坐标图)
   幅相频率特性曲线以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复平面。
   若将频率特性表示为实数和虚数和的形式，则实部为实轴坐标值，虚部为虚轴坐标值；
   若将频率特性表示为复指数形式，则为复平面上的向量，而向量的长度为频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相位；
   在幅相曲线中，频率$\omega$为参变量，一般用小箭头表示$\omega$增大时幅相曲线的变化方向。
   b.对数频率特性曲线(伯德图)
   对数频率特性曲线的横坐标按$lg\omega$分度，单位为弧度/秒$(rad/s)$，对数幅频曲线的纵坐标按
   $$L(\omega )=20lg|G(j\omega )|=20lgA(\omega )$$
   的线性分度，单位是分贝$(dB)$；对数相频曲线的纵坐标按$\phi (\omega )$线性分度，单位为度(°)。
   c.对数幅相曲线(尼科尔斯曲线)
   对数幅相曲线纵坐标为$L(\omega )$，单位为分贝$(dB)$，横坐标为$\phi (\omega )$，单位为度(°)，均为线性分度，频率$\omega$为参变量。

5.2 典型环节与开环系统的频率特性

1. 典型环节
   典型环节分为两大类：最小相位环节和非最小相位环节。
   
   开环传递函数的典型环节分解将开环系统表示为若干个典型环节的串联形式：
   $$G(s)H(s)=\prod _{i=1}^N{G}_i(s)$$
   设典型环节的频率特性为：
   $$G_i(j\omega )=A_i(\omega )e^{j{\phi }_i(\omega )}$$
   则系统开环频率特性为：
   $$G(j\omega )H(j\omega )=[\prod _{i=1}^N{A}_i(\omega )]e^{j[{\sum }_{i=1}^N{\phi }_i(\omega )]}$$
   系统开环幅频特性和开环相频特性：
   $$A(\omega )=\prod _{i=1}^N{A}_i(\omega )，\phi (\omega )=\sum _{i=1}^N{\phi }_i(\omega )$$
   系统开环对数幅频特性：
   $$L(\omega )=20lgA(\omega )=\sum _{i=1}^{N}20lg{A}_i(\omega )=\sum _{i=1}^N{L}_i(\omega )$$
2. 典型环节的频率特性
   
3. 开环幅相曲线
   概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：
   a.开环幅相曲线的起点($\omega =0_{+}$)和终点($\omega =\infty$)；
   b.开环幅相曲线与实轴的交点。设$\omega ={\omega }_x$时，$G(j\omega )H(j\omega )$的虚部为：
   $$Im[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=0$$
   或
   $$\phi ({\omega }_x)=\angle G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)=k\pi ；k=0，\pm 1，\pm 2，\dots$$
   称${\omega }_x$为穿越频率，开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为：
   $$Re[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)$$
   c.开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性)。
   绘制开环概略幅相曲线的规律如下：
   a.开环幅相曲线的起点，取决于比例环节$K$和系统积分或微分环节的个数$\nu$(系统型别)；
   $\nu <0$，起点为原点；
   $\nu =0$，起点为实轴上的点$K$处($K$为系统开环增益，$K$有正负之分)；
   $\nu >0$，设$\nu =4k+i(k=0,1,2,\dots ;i=1,2,3,4)$，则$K>0$时为$i\times (-90°)$的无穷远处，$K<0$时为$i\times (-90°)-180°$的无穷远处。
   b.开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。
   设系统开环传递函数的分子、分母多项式的阶次分别为$m和n$，记除$K$外，分子多项式中最小相位环节的阶次和为$m_1$，非最小相位环节的阶次和为$m_2$，分母多项式中最小相位环节的阶次和为$n_1$，非最小相位环节的阶次和为$n_2$，则有：
   $$m=m_1+m_2，n=n_1+n_2$$
   $$\phi (\infty )=[(m_1-m_2)-(n_1-n_2)]\times 90°，K>0$$
   $$\phi (\infty )=[(m_1-m_2)-(n_1-n_2)]\times 90°-180°，K<0$$
   当开环系统为最小相位系统时，
   $$n=m，G(j\infty )H(j\infty )=K^{\ast }$$
   $$n>m，G(j\infty )H(j\infty )=0\angle (n-m)\times (-90°)$$
   $其中，K^{\ast }为系统开环根轨迹增益$
   c.若开环系统存在等幅振荡环节，重数$l$为正整数，即开环传递函数具有如下形式：
   $$G(s)H(s)=\frac{1}{(\frac{s^2}{{\omega }_n^2}+1{)}^l}{G}_1(s)H_1(s)$$
   $G_1(s)H_1(s)不含\pm j{\omega }_n的极点，则当\omega 趋于{\omega }_n时，A(\omega )趋于无穷$，而
   $$\phi ({\omega }_{n^{-}})\approx {\phi }_1({\omega }_n)=\angle G_1(j{\omega }_n)H_1(j{\omega }_n)$$
   $$\phi ({\omega }_{n^{+}})\approx {\phi }_1({\omega }_n)-l\times 180°$$
   $即\phi (\omega )在\omega ={\omega }_n附近，相角突变-l\times 180°$
4. 开环对数频率特性曲线
   系统开环对数幅频渐进特性：
   $$L_a(\omega )=\sum _{i=1}^N{L}_{a_i}(\omega )$$
   对于任意开环传递函数，可按典型环节分解，将组成系统的各典型环节分为三部分：
   a.$\frac{K}{s^{\nu }}或\frac{-K}{s^{\nu }}(K>0)$；
   b.一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为$\frac{1}{T}$；
   c.二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节及对应的非最小相位环节，交接频率为${\omega }_n$。
   记${\omega }_{min}$为最小交接频率，称$\omega <{\omega }_{min}$的频率范围为低频段。
   开环对数幅频渐进特性曲线的绘制步骤：
   a.开环传递函数典型环节分解；
   b.确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的$\omega$轴上；
   c.绘制低频段渐进特性线：由于一阶环节或二阶环节的对数幅频渐进特性曲线在交接频率前斜率为$0dB/dec$，在交接频率处斜率发生变化，故在$\omega <{\omega }_{min}$频段内，开环系统幅频渐进特性的斜率取决于$\frac{K}{{\omega }^{\nu }}$，因而直线斜率为$-20\nu dB/dec$，为获得低频渐进线，还需要确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：
   方法一：在$\omega <{\omega }_{min}$范围内，任选一点${\omega }_0$，计算
   $$L_a({\omega }_0)=20lgK-20\nu lg{\omega }_0$$
   方法二：取频率为特定值${\omega }_0=1$，则
   $$L_a(1)=20lgK$$
   方法三：取$L_a({\omega }_0)$为特殊值0，有$\frac{K}{{\omega }_o^{\nu }=1}$，则
   $${\omega }_0=K^{\frac{1}{\nu }}$$
   于是，过点$({\omega }_0,L_a({\omega }_0))$在$\omega <{\omega }_{min}$范围内可作斜率为$-20\nu dB/dec$的直线，若${\omega }_0>{\omega }_{min}$，则点$({\omega }_0,L_a({\omega }_0))$位于低频渐进特性曲线的延长线上。
   d.作$\omega \ge {\omega }_{min}$频段渐进特性线。
   
5. 延迟环节和延迟系统
   输出量经恒定延时后不失真地复现输入量变化的环节称为延迟环节，含有延迟环节的系统称为延迟系统。
   延迟环节的输入输出的时域表达式：
   $$c(t)=1(t-\tau )r(t-\tau )$$
   $式中，\tau 为延时时间$。
   延迟环节的传递函数：
   $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s}$$
   延迟环节频率特性：
   $$G(j\omega )=e^{-j\omega }=1\cdot \angle -57.3\tau \omega$$

5.3 频率域稳定判据

1. 奈奎斯特稳定判据
   a.奈氏判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线${\Gamma }_{GH}$不穿过$(-1,j0)$点，且逆时针包围临界点$(-1,j0)$点的圈数$R$等于开环传递函数的正实部极点数$P$。
   闭环曲线$\Gamma$包围函数$F(s)=1+G(s)H(s)$的零点数即反馈控制系统正实部极点数为：
   $$Z=P-R=P-2N$$
   $当P\ne R时，Z\ne 0，系统闭环不稳定$。
   b.$R$的计算：设$N$为${\Gamma }_{GH}$穿越$(-1,j0)$点左侧负实轴的次数，$N_{+}$表示正穿越的次数和(从上向下穿越)，$N_{-}$表示负穿越的次数和(从下向上穿越)，则
   $$R=2N=2(N_{+}-N_{-})$$
2. 对数频率稳定判据
   a.对数频率稳定判据：设$P$为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是$\phi ({\omega }_c)\ne (2k+1)\pi (k=0,1,2,\dots )和L(\omega )>0时，{\Gamma }_{\phi }曲线穿越(2k+1)\pi 线的次数$
   $$N=N_{+}-N_{-}$$
   满足
   $$Z=P-2N=0$$
   b.${\Gamma }_{\phi }的确定$
   ① 开环系统无虚轴上极点时，${\Gamma }_{\phi }$等于$\phi (\omega )$曲线；
   ② 开环系统存在积分环节$\frac{1}{s^{\nu }}(\nu >0)$时，复数平面的${\Gamma }_{GH}$曲线，需要从$\omega =0_{+}$的开环幅相曲线的对应点$G(j{0}_{+})H(j{0}_{+})$起，逆时针补作$\nu \times 90°$半径为无穷大的虚圆弧；对应的，需要从对数相频特性曲线$\omega$较小且$L(\omega )>0$的点处向上补作$\nu \times 90°$的虚直线，$\phi (\omega )$曲线和补作的虚直线构成${\Gamma }_{\phi }$。
   c.穿越次数的计算
   $正穿越一次：T_{GH}由上向下穿越(-1,j0)点左侧的负实轴一次，等价于在L(\omega )>0时，{\Gamma }_{\phi }由下向上穿越(2k+1)\pi 线一次$；
   $负穿越一次：T_{GH}由下向上穿越(-1,j0)点左侧的负实轴一次，等价于在L(\omega )>0时，{\Gamma }_{\phi }由上向下穿越(2k+1)\pi 线一次$；
   $正穿越半次：T_{GH}由上向下止于或由上向下起于(-1,j0)点左侧的负实轴，等价于在L(\omega )>0时，{\Gamma }_{\phi }由下向上止于或由下向上起于(2k+1)\pi 线$；
   $负穿越半次：T_{GH}由下向上止于或由下向上起于(-1,j0)点左侧的负实轴，等价于在L(\omega )>0时，{\Gamma }_{\phi }由上向下止于或由上向下起于(2k+1)\pi 线$；
   注意：补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越。

5.4 稳定裕度

1. 相角裕度
   设${\omega }_c$为系统的截止频率，则：
   $$A({\omega }_c)=|G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)|=1$$
   定义相角裕度为：
   $$\gamma =180°+\angle G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)$$
   $相角裕度\gamma 的含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性在滞后\gamma 度，则系统将处于临界稳定$。
2. 幅值裕度
   设${\omega }_x$为系统的穿越频率，则系统在${\omega }_x$处的相角：
   $$\phi ({\omega }_x)=\angle G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)=(2k+1)\pi ；k=0,\pm 1,\dots$$
   定义幅值裕度为：
   $$h=\frac{1}{|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|}$$
   $幅值裕度h的含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态$。
   对数坐标下，幅值裕度定义：
   $$h(dB)=-20lg|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|(dB)$$
   
3. 关于相角裕度和幅值裕度的几点说明
   a.控制系统的相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对$(-1,j0)$点靠近程度的度量；
   b.对于最小相位系统，只有当相角裕度和幅值裕度都是正值时，系统才是稳定的；
   c.最小相位系统相角裕度一般为$30°～60°$，幅值裕度一般大于$6dB$；
   d.最小相位系统在伯德图中，对数幅值曲线在截止频率处的斜率应大于$-40dB/dec$，大多数情况中，为了保证系统稳定，要求截止频率处的斜率为$-20dB/dec$。

5.5 闭环系统的频域性能指标

1. 控制系统的频带宽度
   设$\Phi (j\omega )$为系统闭环频率特性，当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3分贝，即$0.707|\Phi (j0)|(dB)$时，对应的频率称为带宽频率，记为${\omega }_b$。即当$\omega >{\omega }_b$时，
   $$20lg|\Phi (j\omega )|<20lg|\Phi (j0)|-3$$
   频率范围$(0,{\omega }_b)$称为系统的带宽。
   
   a.一阶系统
   设一阶系统的闭环传递函数为：
   $$\Phi (s)=\frac{1}{Ts+1}$$
   则带宽频率为：
   $${\omega }_b=\frac{1}{T}$$
   b.二阶系统
   设二阶系统闭环传递函数为：
   $$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   则带宽频率为：
   $${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{(1-2{\zeta }^2)+\sqrt{(1-2{\zeta }^2{)}^2+1}}$$
2. 闭环系统频域指标和时域指标的转换
   
   

5.6 控制系统频域设计

工程实例：
背景描述：在脑外科、眼外科等手术中，患者肌肉的无意识运动可能会导致灾难性的后果，为了保证合适的手术条件，可以采用控制系统实施自动麻醉，以保证稳定的用药量，使患者肌肉放松。
设计要求：下图为麻醉控制系统模型，试确定控制器增益$K$和时间常数$\tau$，使系统谐振峰值$M_r\le 1.5$，并确定相应的闭环带宽频率${\omega }_b$。

解：
选$\tau =0.5$，可使系统简化为二阶系统，其开环传递函数：
$$G_c(s)G_0(s)=\frac{K}{(0.1s+1)(0.5s+1)}$$
闭环特征方程：
$$D(s)=(0.1s+1)(0.5s+1)+K=0$$
整理：
$$D(s)=s^2+12s+20(1+K)=s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$$
则有：
$$\zeta {\omega }_n=6，K=\frac{{\omega }_n^2}{20}-1$$
取$M_r=1.5$，由
$$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}，\zeta \le 0.707$$
解得：$\zeta =0.36$，则有：
$${\omega }_n=\frac{6}{\zeta }=16.67，K=\frac{277.78}{20}-1=12.89$$
带宽频率为：
$${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2+\sqrt{2-4{\zeta }^2+4{\zeta }^4}}=23.49rad/s$$
麻醉控制系统闭环$Bode$图如下：

$附Matlab代码$：

%麻醉控制系统闭环Bode图代码
K=12.89;tau=0.5;
G1=tf(K*[tau,1],[0.1,1]);
G2=tf([1],conv([0.5,1],[0.5,1]));
G0=series(G1,G2);
G=feedback(G0,1);
W=1:0.01:1000;
bode(G);grid