离散线型系统
状态方程:
xt+1=Axt+But
输出方程:
yt+1=Cxt+1+Dut
A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Ro×n,D∈Ro×m,
x∈Rn,u∈Rm,y∈Ro.
能控性
能控性:可以通过控制输入
u,使得系统状态从任意初始状态
x0到达任意终止状态
xt.
x1x2xt=Ax0+Bu0,=Ax1+Bu1=A(Ax0+Bu0)+Bu1=A2x0+ABu0+Bu1,…=Atx0+[At−1B⋯ABB]⎣⎢⎡u0⋮ut−1⎦⎥⎤
要使
xt 到达任意状态,必须有
C≜[At−1B⋯ABB]行满秩.
有哈密顿凯莱定理可知
rank([At−1B⋯ABB])=rank([An−1B⋯ABB])
所以能控性充要条件为:
rank([An−1B⋯ABB])=n
能观性
能观性:系统的当前状态
x0 可以由有限时间[t_0, t]内的输入输出完全确定.
y0yt=Cx0+Du0,⋮=Cxt+Dut=C⎝⎜⎛Atx0+[At−1B⋯ABB]⎣⎢⎡u0⋮ut−1⎦⎥⎤⎠⎟⎞+Dut
即
y0−Du0yt−[CAt−1B⋯CABCB]⎣⎢⎡u0⋮ut−1⎦⎥⎤−Dut=Cx0,⋮=CAtx0
即
⎣⎢⎡y0−Du0⋮yt−CAt−1Bu0−⋯−CABut−2−CBut−1−Dut⎦⎥⎤=⎣⎢⎡C⋮CAt⎦⎥⎤x0
上式的左端已知,为唯一确定出
x0,必须有
⎣⎢⎡C⋮CAt⎦⎥⎤ 列满秩.
由哈密顿凯莱定理,
t≥n−1时,
rank(⎣⎢⎡C⋮CAt⎦⎥⎤)=rank(⎣⎢⎡C⋮CAn−1⎦⎥⎤)
所以系统能观的充要条件为:
rank(⎣⎢⎡C⋮CAn−1⎦⎥⎤)=n