Chapter9.2：线性系统状态可控性与可观测性

该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
自动控制理论基础相关链接：https://blog.csdn.net/qq_39032096/category_10287468.html?spm=1001.2014.3001.5482
博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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2.线性系统状态可控性与可观测性

2.1 线性定常连续系统的可控性判据

线性定常连续系统的状态方程为：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x_0,t\ge 0$$
其中：

• $x$为$n$维状态变量；
• $u$为$p$维输入向量；
• $A、B$分别为$n\times n$和$n\times p$常值矩阵；

格拉姆矩阵判据：线性定常连续系统完全可控的充分必要条件：存在时刻$t_1>0$，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异：
$$W(0,t_1)\triangleq {\int }_0^{t_1}{\mathrm{e}}^{-At}B{B}^T{\mathrm{e}}^{-A^{T}t}\mathrm{d}t$$
凯莱-哈密顿定理：设$n$阶矩阵$A$的特征多项式为：
$$f(\lambda )=|\lambda I-A|={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$$
则$A$满足其特征方程，即：
$$f(A)=A^n+a_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I=0$$
推论1：矩阵$A$的$k(k\ge n)$次幂可表示为$A$的$n-1$阶多项式：
$$A^k=\sum _{m=0}^{n-1}{\alpha }_m{A}^m,k\ge n$$
推论2：矩阵指数${\mathrm{e}}^{At}$可表示为$A$的$n-1$阶多项式：
$${\mathrm{e}}^{At}=\sum _{m=0}^{n-1}{\alpha }_m(t)A^m$$
线性定常连续系统如下：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x_0,t\ge 0$$
秩判据：线性定常系统完全可控的充分必要条件是：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]=n$$
其中：$n$为矩阵$A$的维数；$S=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]$称为系统的可控性判别阵；

PBH秩判据：线性定常连续系统完全可控的充分必要条件：对矩阵$A$的所有特征值${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{i}I-A& B\end{array}\right]=n，(i=1,2,\cdots ,n)$$
均成立，或等价表示为：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=n，(\forall s\in C)$$
实例分析：

Example1： 已知线性定常连续系统状态方程为：
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 5& 0\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ -2& 0\end{array}\right]u,n=4$$
判别系统的可控性.

解：

根据状态方程写出：
$$\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}s& -1& 0& 0& 0& 1\\ 0& s& -1& 0& 1& 0\\ 0& 0& s& -1& 0& 1\\ 0& 0& -5& s& -2& 0\end{array}\right]$$
$A$的特征值为：${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3=\sqrt{5},{\lambda }_4=-\sqrt{5}$.

当$s={\lambda }_1={\lambda }_2=0$，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& -5& 0& -2\end{array}\right]=4$$
当$s={\lambda }_3=\sqrt{5}$时，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}\sqrt{5}& -1& 0& 0\\ 0& \sqrt{5}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -2& 0\end{array}\right]=4$$
当$s={\lambda }_4=-\sqrt{5}$时，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}-\sqrt{5}& -1& 0& 0\\ 0& -\sqrt{5}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -2& 0\end{array}\right]=4$$
因此，系统完全可控.

对角线规范型判据：若线性定常连续系统矩阵$A$的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$两两相异，可知对角线规范型为：
$$\dot{\overline{x}}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\overline{x}+\overline{B}u$$
系统完全可控的充分必要条件是：$\overline{B}$不包含元素全为零的行；

2.2 输出可控性

输出可控性：若在有限时间间隔$[t_0,t_1]$内，存在无约束分段连续控制函数$u(t),t\in [t_0,t_1]$，能使任意初始输出$y(t_0)$转移到任意最终输出$y(t_1)$，则称此系统输出完全可控，简称输出可控；

输出可控性判据：设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为：
$$\begin{array}{rl}& \dot{x}=Ax+Bu,x(0)=x_0,t\in [0,t_1]\\ & y=Cx+Du\end{array}$$
式中：$u$为$p$维输入向量，$y$为$q$维输出向量，$x$为$n$维状态向量；

输出可控性矩阵为：
$$S_0=\left[\begin{array}{ccccc}CB& CAB& \cdots & C{A}^{n-1}B& D\end{array}\right]$$
其中：$S_0$为$q\times (n+1)p$矩阵；

输出可控的充分必要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出向量的维数$q$，即：
$$\mathrm{rank}{S}_0=q$$
实例分析：

Example2： 已知系统的状态方程和输出方程为：
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]u，y=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$
判断系统的状态可控性和输出可控性.

解：

系统的状态可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{cc}b& Ab\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$$
$|S|=0，\mathrm{rank}S<2$，故状态不完全可控.

输出可控性矩阵为：
$$S_0=\left[\begin{array}{ccc}cb& cAb& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\end{array}\right]$$
$\mathrm{rank}{S}_0=1=q$，故输出可控.

2.3 线性定常连续系统的可观测性判据

考虑输入$u=0$时系统的状态方程和输出方程：
$$\dot{x}=Ax,x(0)=x_0,t\ge 0,y=Cx$$
其中：

• $x$为$n$维状态向量；
• $y$为$q$维输出向量；
• $A、C$分别为$n\times n$和$q\times n$的常值矩阵；

格拉姆矩阵判据：线性定常系统完全可观测的充分必要条件：存在有限时刻$t_1>0$，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异：
$$M(0,t)\triangleq {\int }_0^{t_1}{\mathrm{e}}^{A^{T}t}{C}^{T}C{\mathrm{e}}^{At}\mathrm{d}t$$
秩判据：线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件：
$$\mathrm{rank}V=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]=n$$
或
$$\mathrm{rank}V=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{ccccc}{C}^T& A^T{C}^T& (A^T{)}^2{C}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]=n$$
矩阵$V$称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵.

实例分析：

Example3： 系统状态方程和输出方程如下，判断系统的可观测性.
$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$$

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$$

解：
$$\mathrm{rank}V=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}{C}^T& A^T{C}^T\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 2\end{array}\right]=2=n$$
故系统可观测.

PBH秩判据：线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件：对矩阵$A$的所有特征根${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$，均有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{c}C\\ {\lambda }_{i}I-A\end{array}\right]=n,i=1,2,3,\cdots ,n$$
或等价表示为：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{c}C\\ sI-A\end{array}\right]=n；\forall s\in C$$
对角线规范型判据：线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件：当矩阵$A$的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$两两相异时，对角线规范型为：
$$\dot{\overline{x}}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\overline{x},y=\overline{C}\overline{x}$$
式中，$\overline{C}$不包含元素全为零的列；

2.4 线性离散时间系统的可控性和可观测性

2.4.1 线性定常离散系统的可控性

线性定常离散系统的可控性判据：设单输入线性定常离散系统的状态方程为：
$$x(k+1)=Gx(k)+hu(k)$$
式中：$x$为$n$维状态向量，$u$为标量输入，$G$为$n\times n$非奇异矩阵；

线性定常离散系统状态方程的解为：
$$x(k)=G^{k}x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}hu(i)$$
可控性矩阵为：
$$S_1^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}{G}^{-1}h& G^{-2}h& \cdots & G^{-n}h\end{array}\right]$$
或：
$$\mathrm{rank}{S}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}h& Gh& \cdots & G^{n-1}h\end{array}\right]=n$$
当$\mathrm{rank}{S}_1<n$时，系统不可控，表示不存在使任意$x(0)$转移至$x(n)=0$的控制。

多输入系统：设系统的状态方程为：
$$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)$$
可控性问题：能否求出无约束控制向量序列$u(0),u(1),u(2),\cdots ,u(n-1)$，使系统能从任意初态$x(0)$转移至$x(n)=0$；

多输入系统状态方程的解：
$$x(k)=G^{k}x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}Hu(i)$$
多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件：
$$\mathrm{rank}{S}_2^{\prime }=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}{G}^{-1}H& G^{-2}H& \cdots & G^{-n}H\end{array}\right]=n$$
或：
$$\mathrm{rank}{S}_2=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}H& GH& \cdots & G^{n-1}H\end{array}\right]=n$$

2.4.2 线性离散系统的可观测性

线性定常离散系统的可观测判据：设线性定常离散系统的动态方程为：
$$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),y(k)=Cx(k)+Du(k)$$
式中：$x(k)$为$n$维状态向量，$y(k)$为$q$维输出向量；

线性定常离散系统的可观测矩阵($nq\times n$)：
$$V_1^T=\left[\begin{array}{c}C\\ CG\\ ⋮\\ C{G}^{n-1}\end{array}\right]$$
系统可观测的充分必要条件：
$$\mathrm{rank}{V}_1^T=n$$
线性定常离散系统的可观测性判据常表示为：
$$\mathrm{rank}{V}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& G^T{C}^T& \cdots & (G^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]=n$$
实例分析：

Example4： 已知线性定常离散系统的动态方程为：
$$x(k+1)=Gx(k)+hu(k),y(k)=C_{i}x(k),i=1,2$$
其中：
$$G=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& -2& 1\\ 3& 0& 2\end{array}\right],h=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right],c_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right],C_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$
判断系统的可观测性，讨论可观测性的物理解释。

解：

当观测矩阵为$c_1$时，
$$c_1^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],G^T{c}_1^T=\left[\begin{array}{c}0\\ -2\\ 1\end{array}\right],(G^T{)}^2{c}_1^T=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right]$$

$$\mathrm{rank}{V}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 3\\ 1& -2& 4\\ 0& 1& 0\end{array}\right]=3=n$$

故系统可观测.

由输出方程$y(k)=c_{1}x(k)=x_2(k)$可见，在第$k$步便可由输出确定状态变量$x_2(k)$；

由于
$$y(k+1)=x_2(k+1)=-2x_2(k)+x_3(k)$$
故在第$k+1$步便可确定$x_3(k)$，由于：
$$\begin{array}{rl}y(k+2)& =x_2(k+2)=-2x_2(k+1)+x_3(k+1)\\ & =-2[-2x_2(k)+x_3(k)]+3x_1(k)+2x_3(k)\\ & =4x_2(k)+3x_1(k)\end{array}$$
故在第$k+2$步便可确定$x_1(k)$.

该系统为三阶系统，可观测意味着至多三步便可由输出$y(k),y(k+1),y(k+2)$的测量值来确定三个状态变量；

当观测矩阵为$C_2$时，
$$C_2^T=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]，G^T{C}_2^T=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 0\\ 2& -1\end{array}\right]，(G^T{)}^2{C}_2^T=\left[\begin{array}{cc}9& -2\\ 0& 0\\ 1& -3\end{array}\right]$$

$$\mathrm{rank}{V}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 3& 1& 9& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 2& -1& 1& -3\end{array}\right]=2\ne n=3$$

故系统不可观测.

根据动态方程可导出：
$$\begin{array}{rl}& y(k)=\left[\begin{array}{c}{x}_3(k)\\ x_1(k)\end{array}\right]\\ & \\ & y(k+1)=\left[\begin{array}{c}{x}_3(k+1)\\ x_1(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1(k)+2x_3(k)\\ x_1(k)-x_3(k)\end{array}\right]\\ & \\ & y(k+2)=\left[\begin{array}{c}{x}_3(k+2)\\ x_1(k+2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1(k+1)+2x_{3}x(k+1)\\ x_1(k+1)-x_3(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9x_1(k)+x_3(k)\\ -2x_1(k)-3x_3(k)\end{array}\right]\end{array}$$
三步的输出测量值中始终不含$x_2(k)$，故$x_2(k)$是不可观测状态变量，只要有一个状态变量不可观测，则称系统不完全可观测，简称不可观测.

2.5 线性定常系统的线性变换

2.5.1 线性定常系统线性变换概述

设系统动态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu,y=cx$$
令$x=P\overline{x}$，其中$P$为非奇异线性变换矩阵，将$x$变换为$\overline{x}$，变换后动态方程为：
$$\dot{\overline{x}}=\overline{A}\overline{x}+\overline{b}u,\overline{y}=\overline{c}\overline{x}=y$$
其中：
$$\overline{A}=P^{-1}AP,\overline{b}=P^{-1}b,\overline{c}=cP$$
称为对系统进行$P$变换，对系统进行线性变换的目的在于使$\overline{A}$阵规范化；

2.5.2 化A阵为对角型

1. 设$A$阵为任意形式的方阵，且有$n$个互异实数特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则可由非奇异线性变换化为对角阵$\Lambda$：
   $$\Lambda =P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$
   $P$阵由$A$的实数特征向量$p_i(i=1,2,\cdots ,n)$组成：
   $$P=\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right]$$
   特征向量满足：
   $$A{p}_i={\lambda }_i{p}_i,i=1,2,\cdots ,n$$

2. 若$A$阵为友矩阵，且有$n$个互异实数特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则下列的范德蒙特$(\mathrm{Vandermode})$矩阵$P$可使$A$对角化：
   $$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],P=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\\ {\lambda }_1^2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\lambda }_1^{n-1}& {\lambda }_2^{n-1}& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right]$$

2.5.3 化A​阵为约当型

设$A$阵具有$m$重实特征值${\lambda }_1$，其余为$n-m$个互异实特征值，在求解$A{p}_i={\lambda }_1{p}_i$时，只有一个独立实特征向量$p_1$,则只能使$A$化为约当阵$J$.
$$J=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccccccc}{\lambda }_1& 1& & & & & \\ & {\lambda }_1& \ddots & & & & \\ & & \ddots & 1& & & \\ & & & {\lambda }_1& & & \\ & & & & {\lambda }_{m+1}& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

$$P=\left[\begin{array}{cccccccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m& |& p_{m+1}& \cdots & p_n\end{array}\right]$$

式中，$p_2,p_3,\cdots ,p_m$是广义实特征向量，满足：
$$\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 1& & \\ & {\lambda }_1& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_1\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m\end{array}\right]$$
$p_{m+1},\cdots ,p_n$是互异特征值对应的实特征向量；

2.5.4 化可控系统为可控标准型

单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]u$$
一个可控系统，当$A,b$不具有可控标准型时，一定可以选择适当的变换化为可控标准型；

设状态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu$$
进行$P^{-1}$变换，即令：
$$x=P^{-1}z$$
变换为：
$$\dot{z}=PA{P}^{-1}z+Pbu$$
要求：
$$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],Pb=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$
变换矩阵$P^{-1}$的求法：

1. 计算可控性矩阵$S=\left[\begin{array}{cccc}b& Ab& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right]$；

2. 计算可控性矩阵的逆阵$S^{-1}$，设一般形式为：
   $$S^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{11}& S_{12}& \cdots & S_{1n}\\ S_{21}& S_{22}& \cdots & S_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ S_{n1}& S_{n2}& \cdots & S_{nn}\end{array}\right]$$

3. 取出$S^{-1}$的最后一行(即第$n$行)构成$p_1$行向量，
   $$p_1=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{n1}& S_{n2}& \cdots & S_{nn}\end{array}\right]$$

4. 构造$P$阵
   $$P=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_{1}A\\ ⋮\\ p_1{A}^{n-1}\end{array}\right]$$

5. $P^{-1}$是将非标准可控系统化为可控标准型的变换矩阵。

2.5.5 对偶原理

设系统为${\Sigma }_1(A,B,C)$，则系统${\Sigma }_2(A^T,C^T,B^T)$为系统${\Sigma }_1$的对偶系统；

其动态方程分别为：
$$\begin{array}{rl}& {\Sigma }_1：\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx\\ & {\Sigma }_2：\dot{z}=A^{T}z+C^{T}v,w=B^{T}z\end{array}$$
式中：$x、z$均为$n$维状态向量，$u、w$均为$p$维向量，$y、v$均为$q$维向量；

系统${\Sigma }_1$的可控性判别矩阵与对偶系统${\Sigma }_2$的可观测性矩阵完全相同；系统${\Sigma }_1$的可观测性矩阵与对偶系统${\Sigma }_2$的可控性判别矩阵完全相同；

应用对偶原理，能把可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题；

设单输入-单输出系统动态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu,y=cx$$
系统可观测，但$A、c$不是可观测标准型；其对偶系统动态方程为：
$$\dot{z}=A^{T}z+c^{T}v,w=b^{T}z$$
对偶系统一定可控，但不是可控标准型；

化可控系统为可控标准型的原理和步骤：

先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，即可获得原系统的可观测标准型；

计算步骤：

1. 列出对偶系统的可控性矩阵(即原系统的可观测性矩阵$V_1$)
   $${\overline{S}}_2=V_1=\left[\begin{array}{cccc}{c}^T& A^T{c}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{c}^T\end{array}\right]$$

2. 求$V_1$的逆阵$V_1^{-1}$，且记为行向量组：
   $$V_1^{-1}=\left[\begin{array}{c}{v}_1^T\\ v_2^T\\ ⋮\\ v_n^T\end{array}\right]$$

3. 取$V_1^{-1}$的第$n$行$v_n^T$，并按下列规则构造变换矩阵$P$：
   $$P=\left[\begin{array}{c}{v}_n^T\\ v_n^T{A}^T\\ ⋮\\ v_n^T(A^T{)}^{n-1}\end{array}\right]$$

4. 求$P$的逆阵$P^{-1}$，并引入$P^{-1}$变换，即$z=P^{-1}\overline{z}$，变换后动态方程为：
   $$\dot{\overline{z}}=P{A}^T{P}^{-1}\overline{z}+P{c}^{T}v,\overline{w}=b^T{P}^{-1}\overline{z}$$

5. 对对偶系统再应用对偶原理，即可获得原系统的可观测标准型，结果为：
   $$\begin{array}{rl}& \dot{\overline{x}}=(P{A}^T{P}^{-1}{)}^T\overline{x}+(b^T{P}^{-1}{)}^{T}u=P^{-T}A{P}^T\overline{x}+P^{-T}u\\ & \\ & \overline{y}=(P{c}^T{)}^T\overline{x}=c{P}^T\overline{x}\end{array}$$

将原系统化为可观测标准型需要进行$P^T$变换，即令：
$$x=P^T\overline{x}$$
其中：
$$P^T=\left[\begin{array}{cccc}{v}_n& A{v}_n& \cdots & A^{n-1}{v}_n\end{array}\right]$$
$v_n$为原系统可观测性矩阵的逆阵中第$n$行的转置；

2.5.6 非奇异线性变换的不变特性

• 将$A$阵对角化或约当化，需要进行$P$变换；
• 将$A,b$化为可控标准型，需要进行$P^{-1}$变换；
• 将$A,c$化为可观测标准型，需要进行$P^T$变换；
• 系统经过非奇异线性变换，其特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等均保持不变；

设系统动态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu,y=Cx+Du$$
令$x=P\overline{x}$，变换后动态方程为：
$$\dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}Bu,y=\overline{y}=CP\overline{x}+Du$$

• 变换后系统特征值不变；
• 变换后系统传递矩阵不变；
• 变换后系统可控性不变；
• 变换后系统可观测性不变；

2.6 MATLAB/SIMULINK在可控和可观标准型中的应用

2.6.1 MATLAB中标准型相关函数

# 1.函数ctrb()
# 函数作用：求取控制系统可控判别矩阵；
# 语法格式：
M=ctrb(A,B)		# A,B为模型的A,B矩阵
rank(M)			# 判断M矩阵的秩

# 2.函数obsv()
# 函数作用：求取控制系统可观测判别矩阵；
# 语法格式：
N=obsv(A,C)		# A,C为模型的A,C矩阵
rank(N)			# 判断N矩阵的秩

# 3.函数ctrbf()
# 函数作用：对控制系统进行可控性分解；
# 语法格式：
[Ac,Bc,Cc]=ctrbf(A,B,C)		# A,B,C为模型的A,B,C矩阵
							# Ac,Bc,CC为可控性分解后的矩阵
					
# 4.函数obsvf()
# 函数作用：对控制系统进行可观测性分解；
# 语法格式：
[Ao,Bo,Co]=obsvf(A,B,C)		# A,B,C为模型的A,B,C矩阵
							# Ao,Bo,Co为可观测性分解后的矩阵

2.6.2 实战

【实战1】 ：已知控制系统$\sum (A,B,C)$相应系统矩阵为：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& -2& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 0& 2\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$$
判断控制系统是否可控？是否可观测？

解：

% 实例Chapter9.2.6.2 实战1
clc;clear;

% 系统的系数矩阵
A=[1,0,-1;-1,-2,0;3,0,1];
B=[1,0;2,1;0,2];C=[1,0,0;0,-1,0];

% 可控性判断
M=ctrb(A,B)
RM=rank(M)

% 可观测性判断
N=obsv(A,C)
RN=rank(N)

% 结果：
% 可控性判别矩阵
M =
     1     0     1    -2    -2    -4
     2     1    -5    -2     9     6
     0     2     3     2     6    -4
RM =
     3

% 可观测性判别矩阵
N =
     1     0     0
     0    -1     0
     1     0    -1
     1     2     0
    -2     0    -2
    -1    -4    -1
RN =
     3

• 此控制系统完全可控和完全可观测；

【实战2】 ：已知控制系统$\sum (A,B,C,D)$相应的系统矩阵为：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right],D=0$$
判断控制系统的可控性，如果完全可控，将其转化为可控Ⅱ型；

解：

% 实例Chapter9.2.6.2 实战2
clc;clear;

% 系统的系数矩阵
A=[1,2,0;3,-1,1;0,2,0];
B=[2;1;1];C=[0,0,1];D=0;

% 可控性判别
T=ctrb(A,B)
R=rank(T)

% 结果：
% 可控性判别矩阵
T =
     2     4    16
     1     6     8
     1     2    12

% 判别矩阵的秩，满秩，可将系统化为可控Ⅱ型
R =
     3

% 线性变换
[Ac2,Bc2,Cc2,Dc2]=ss2ss(A,B,C,D,inv(T))
sys=ss(Ac2,Bc2,Cc2,Dc2)

% 线性变换结果：
% 可控Ⅱ型系统的各矩阵
Ac2 =
         0         0   -2.0000
    1.0000    0.0000    9.0000
         0    1.0000         0
Bc2 =
     1
     0
     0
Cc2 =
    1.0000    2.0000   12.0000
Dc2 =
     0

% 可控Ⅱ型状态空间模型
sys =
 
  A = 
              x1         x2         x3
   x1          0          0         -2
   x2          1  1.388e-16          9
   x3          0          1          0
 
  B = 
       u1
   x1   1
   x2   0
   x3   0
 
  C = 
       x1  x2  x3
   y1   1   2  12 
   
  D = 
       u1
   y1   0

• 原系统经线性变换后，可得可控Ⅱ型状态空间表达式为：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{Z}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 0& 9\\ 0& 1& 0\end{array}\right]Z+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 12\end{array}\right]Z\end{array}$$

【实战3】 ：已知控制系统$\sum (A,B,C,D)$相应的系统矩阵为：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right],D=0$$
判断控制系统的可观性，如果完全可观，将其转化为可观Ⅰ型；

解：

% 实例Chapter9.2.6.2 实战3
clc;clear;

% 系统的系数矩阵
A=[1,2,0;3,-1,1;0,2,0];
B=[2;1;1];C=[0,0,1];D=0;

% 可观测判别矩阵
T=obsv(A,C)
R=rank(T)

% 结果：
T =
     0     0     1
     0     2     0
     6    -2     2

% 完全可观
R =
     3

% 线性变换
[Ao1,Bo1,Co1,Do1]=ss2ss(A,B,C,D,T)
sys=ss(Ao1,Bo1,Co1,Do1)

% 结果：
% 可观Ⅰ型系统的各矩阵
Ao1 =
     0     1     0
     0     0     1
    -2     9     0
Bo1 =
     1
     2
    12
Co1 =
     1     0     0
Do1 =
     0

% 可观Ⅰ型状态空间模型
sys =
 
  A = 
       x1  x2  x3
   x1   0   1   0
   x2   0   0   1
   x3  -2   9   0
 
  B = 
       u1
   x1   1
   x2   2
   x3  12
 
  C = 
       x1  x2  x3
   y1   1   0   0
 
  D = 
       u1
   y1   0

• 原系统经线性变换后，可得可观Ⅰ型状态空间表达式为：
  $$\{\begin{array}{ll}& \dot{Z}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 9& 0\end{array}\right]Z+\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 12\end{array}\right]U\\ & \\ & Y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]Z\end{array}$$

【实战4】 ：已知控制系统$\sum (A,B,C)$相应的系统矩阵为：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 1& 0& -3\\ 0& 1& -3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -2\end{array}\right]$$
利用$\mathrm{MATLAB}$对系统进行可控性结构分解和可观测性结构分解。

解：

% 实例Chapter9.2.6.2 实战4
clc;clear;

% 系统的系数矩阵
A=[0,0,-1;1,0,-3;0,1,-3];
B=[1;1;0];C=[0,1,-2];D=0;

[Ac,Bc,Cc]=ctrbf(A,B,C)         % 可控性结构分解
[Ao,Bo,Co]=obsvf(A,B,C)         % 可观性结构分解

sysc=ss(Ac,Bc,Cc,D)             % 可控性分解后状态空间模型
syso=ss(Ao,Bo,Co,D)             % 可观性分解后状态空间模型

% 结果：
% 可控性结构分解结果
Ac =
   -1.0000   -0.0000   -0.0000
    2.1213   -2.5000    0.8660
    1.2247   -2.5981    0.5000
Bc =
    0.0000
    0.0000
    1.4142
Cc =
    1.7321   -1.2247    0.7071

% 可观测结构分解结果
Ao =
   -1.0000    1.3416    3.8341
         0   -0.4000   -0.7348
         0    0.4899   -1.6000
Bo =
    1.2247
    0.5477
    0.4472
Co =
         0   -0.0000    2.2361

% 可控性结构分解后模型
sysc =
 
  A = 
               x1          x2          x3
   x1          -1  -3.886e-16  -5.551e-17
   x2       2.121        -2.5       0.866
   x3       1.225      -2.598         0.5
 
  B = 
              u1
   x1   1.11e-16
   x2  5.551e-17
   x3      1.414
 
  C = 
           x1      x2      x3
   y1   1.732  -1.225  0.7071
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.

% 可观测结构分解模型
syso =
 
  A = 
            x1       x2       x3
   x1       -1    1.342    3.834
   x2        0     -0.4  -0.7348
   x3        0   0.4899     -1.6
 
  B = 
           u1
   x1   1.225
   x2  0.5477
   x3  0.4472
 
  C = 
               x1          x2          x3
   y1           0  -5.551e-17       2.236
 
  D = 
       u1
   y1   0