自动控制原理9.2---线性系统的可控性与可观测性(下)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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2.线性系统的可控性与可观测性

2.7 线性定常系统的线性变换

1. 状态空间表达式的线性变换

   设系统动态方程为：
   $$\dot{x}=Ax+bu,y=cx\text{\hspace{1em}(42)}$$
   令$x=P\overline{x}$，其中$P$为非奇异线性变换矩阵，将$x$变换为$\overline{x}$，变换后动态方程为：
   $$\dot{\overline{x}}=\overline{A}\overline{x}+\overline{b}u,\overline{y}=\overline{c}\overline{x}=y\text{\hspace{1em}(43)}$$
   其中：
   $$\overline{A}=P^{-1}AP,\overline{b}=P^{-1}b,\overline{c}=cP$$
   称为对系统进行$P$变换，对系统进行线性变换的目的在于使$\overline{A}$阵规范化；

   1. 化$A$阵为对角型

      1. 设$A$阵为任意形式的方阵，且有$n$个互异实数特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则可由非奇异线性变换化为对角阵$\Lambda$：
         $$\Lambda =P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(44)}$$
         $P$阵由$A$的实数特征向量$p_i(i=1,2,\cdots ,n)$组成：
         $$P=\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(45)}$$
         特征向量满足：
         $$A{p}_i={\lambda }_i{p}_i,i=1,2,\cdots ,n\text{\hspace{1em}(46)}$$

      2. 若$A$阵为友矩阵，且有$n$个互异实数特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则下列的范德蒙特(Vandermode)矩阵$P$可使$A$对角化：
         $$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],P=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\\ {\lambda }_1^2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\lambda }_1^{n-1}& {\lambda }_2^{n-1}& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(47)}$$

   2. 化$A$阵为约当型

      设$A$阵具有$m$重实特征值${\lambda }_1$，其余为$n-m$个互异实特征值，在求解$A{p}_i={\lambda }_1{p}_i$时，只有一个独立实特征向量$p_1$，则只能使$A$化为约当阵$J$.
      $$J=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccccccc}{\lambda }_1& 1& & & & & \\ & {\lambda }_1& \ddots & & & & \\ & & \ddots & 1& & & \\ & & & {\lambda }_1& & & \\ & & & & {\lambda }_{m+1}& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(48)}$$

      $$P=\left[\begin{array}{cccccccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m& |& p_{m+1}& \cdots & p_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(49)}$$

      式中，$p_2,p_3,\cdots ,p_m$是广义实特征向量，满足：
      $$\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 1& & \\ & {\lambda }_1& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_1\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(50)}$$
      $p_{m+1},\cdots ,p_n$是互异特征值对应的实特征向量；

   3. 化可控系统为可控标准型

      单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：
      $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]u\text{\hspace{1em}(51)}$$
      一个可控系统，当$A,b$不具有可控标准型时，一定可以选择适当的变换化为可控标准型；

      设状态方程为：
      $$\dot{x}=Ax+bu\text{\hspace{1em}(52)}$$
      进行$P^{-1}$变换，即令：
      $$x=P^{-1}z\text{\hspace{1em}(53)}$$
      变换为：
      $$\dot{z}=PA{P}^{-1}z+Pbu\text{\hspace{1em}(54)}$$
      要求：
      $$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],Pb=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(55)}$$
      变换矩阵$P^{-1}$的求法：

      1. 计算可控性矩阵$S=\left[\begin{array}{cccc}b& Ab& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right]$；

      2. 计算可控性矩阵的逆阵$S^{-1}$，设一般形式为：
         $$S^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{11}& S_{12}& \cdots & S_{1n}\\ S_{21}& S_{22}& \cdots & S_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ S_{n1}& S_{n2}& \cdots & S_{nn}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(56)}$$

      3. 取出$S^{-1}$的最后一行(即第$n$行)构成$p_1$行向量，
         $$p_1=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{n1}& S_{n2}& \cdots & S_{nn}\end{array}\right]$$

      4. 构造$P$阵
         $$P=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_{1}A\\ ⋮\\ p_1{A}^{n-1}\end{array}\right]$$

      5. $P^{-1}$是将非标准可控系统化为可控标准型的变换矩阵。

2. 对偶原理

   设系统为${\Sigma }_1(A,B,C)$，则系统${\Sigma }_2(A^T,C^T,B^T)$为系统${\Sigma }_1$的对偶系统；

   其动态方程分别为：
   $$\begin{array}{rl}& {\Sigma }_1：\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx\\ & {\Sigma }_2：\dot{z}=A^{T}z+C^{T}v,w=B^{T}z\end{array}\text{\hspace{1em}(57)}$$
   式中：$x、z$均为$n$维状态向量，$u、w$均为$p$维向量，$y、v$均为$q$维向量；

   系统${\Sigma }_1$的可控性判别矩阵$\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]$与对偶系统${\Sigma }_2$的可观测性矩阵$\left[\begin{array}{cccc}(B^T{)}^T& (A^T{)}^T(B^T{)}^T& \cdots & ((A^T{)}^T{)}^{n-1}(B^T{)}^T\end{array}\right]$完全相同；系统${\Sigma }_1$的可观测性矩阵$\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& A^T{C}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]$与对偶系统${\Sigma }_2$的可控性判别矩阵$\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& A^T{C}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]$完全相同；

   应用对偶原理，能把可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题；

   设单输入-单输出系统动态方程为：
   $$\dot{x}=Ax+bu,y=cx\text{\hspace{1em}(58)}$$
   系统可观测，但$A、c$不是可观测标准型；其对偶系统动态方程为：
   $$\dot{z}=A^{T}z+c^{T}v,w=b^{T}z\text{\hspace{1em}(59)}$$
   对偶系统一定可控，但不是可控标准型；

   利用已知的化为可控标准型的原理和步骤：

   先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，即可获得原系统的可观测标准型；

   计算步骤：

   1. 列出对偶系统的可控性矩阵(即原系统的可观测性矩阵$V_1$)
      $${\overline{S}}_2=V_1=\left[\begin{array}{cccc}{c}^T& A^T{c}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{c}^T\end{array}\right]$$

   2. 求$V_1$的逆阵$V_1^{-1}$，且记为行向量组：
      $$V_1^{-1}=\left[\begin{array}{c}{v}_1^T\\ v_2^T\\ ⋮\\ v_n^T\end{array}\right]$$

   3. 取$V_1^{-1}$的第$n$行$v_n^T$，并按下列规则构造变换矩阵$P$：
      $$P=\left[\begin{array}{c}{v}_n^T\\ v_n^T{A}^T\\ ⋮\\ v_n^T(A^T{)}^{n-1}\end{array}\right]$$

   4. 求$P$的逆阵$P^{-1}$，并引入$P^{-1}$变换，即$z=P^{-1}\overline{z}$，变换后动态方程为：
      $$\dot{\overline{z}}=P{A}^T{P}^{-1}\overline{z}+P{c}^{T}v,\overline{w}=b^T{P}^{-1}\overline{z}$$

   5. 对对偶系统再利用对偶原理，即可获得原系统的可观测标准型，结果为：
      $$\begin{array}{rl}& \dot{\overline{x}}=(P{A}^T{P}^{-1}{)}^T\overline{x}+(b^T{P}^{-1}{)}^{T}u=P^{-T}A{P}^T\overline{x}+P^{-T}u\\ & \overline{y}=(P{c}^T{)}^T\overline{x}=c{P}^T\overline{x}\end{array}$$

   将原系统化为可观测标准型需要进行$P^T$变换，即令：
   $$x=P^T\overline{x}\text{\hspace{1em}(60)}$$
   其中：
   $$P^T=\left[\begin{array}{cccc}{v}_n& A{v}_n& \cdots & A^{n-1}{v}_n\end{array}\right]$$
   $v_n$为原系统可观测性矩阵的逆阵中第$n$行的转置；

3. 非奇异线性变换的不变特性

   • 将$A$阵对角化或约当化，需要进行$P$变换；
   • 将$A,b$化为可控标准型，需要进行$P^{-1}$变换；
   • 将$A,c$化为可观测标准型，需要进行$P^T$变换；
   • 系统经过非奇异线性变换，其特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等均保持不变；

   设系统动态方程为：
   $$\dot{x}=Ax+bu,y=Cx+Du\text{\hspace{1em}(61)}$$
   令$x=P\overline{x}$，变换后动态方程为：
   $$\dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}Bu,y=\overline{y}=CP\overline{x}+Du\text{\hspace{1em}(62)}$$

   1. 变换后系统特征值不变；
   2. 变换后系统传递矩阵不变；
   3. 变换后系统可控性不变；
   4. 变换后系统可观测性不变；

4. 线性定常系统的结构分解

   系统中有一个状态变量不可控便称系统不可控，因而不可控系统含有可控和不可控两种状态变量；系统中有一个状态变量不可观测称系统不可观测，不可观测系统含有可观测和不可观测两种状态变量；状态变量可分为：可控可观测$x_{co}$、可控不可观测$x_{c\overline{o}}$、不可控可观测$x_{\overline{c}o}$、不可控不可观测$x_{\overline{c}\overline{o}}$四类；

   结构分解过程可先从整个系统的可控性分解开始，将可控与不可控的状态变量分离开，然后分别对可控和不可控子系统进行可观测性分解，即可分解成四类；

   1. 系统按可控性的结构分解

      设不可控系统的动态方程为：
      $$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx\text{\hspace{1em}(63)}$$
      式中：$x$为$n$维状态向量，$u$为$p$维输入向量，$y$维q维输出向量，$A、B、C$为具有相应维数的矩阵；

      若系统可控性矩阵的秩为$r(r<n)$，则可从可控性矩阵中选出$r$个线性无关的列向量$s_1,s_2,\cdots ,s_r$，另外再任意选取尽可能简单的$n-r$个$n$维列向量$s_{r+1},s_{r+2},\cdots ,s_n$，使它们与 { s 1 , s 2 , ⋯   , s r } \{s_1,s_2,\cdots,s_r\} { s1​,s2​,⋯,sr​}线性无关，这样就构成$n\times n$非奇异变换矩阵：
      $$P^{-1}=\left[\begin{array}{cccccccc}{s}_1& s_2& \cdots & s_r& |& s_{r+1}& \cdots & s_n\end{array}\right]$$
      对式(63)进行非奇异线性变换：
      $$x=P^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ x_{\overline{c}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(64)}$$
      式(63)变换为下列的规范形式：
      $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_c\\ {\dot{x}}_{\overline{c}}\end{array}\right]=PA{P}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ x_{\overline{c}}\end{array}\right]+PBu,y=C{P}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ x_{\overline{c}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(65)}$$
      式中：$x_c$为$r$维可控状态子向量，$x_{\overline{c}}$维$n-r$维不可控状态子向量，且：
      $$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\overline{A}}_{11}& {\overline{A}}_{12}\\ 0& {\overline{A}}_{22}\end{array}\right]\begin{array}{c}r行\\ n-r行\end{array},PB=\left[\begin{array}{c}{\overline{B}}_1\\ 0\end{array}\right]\begin{array}{c}r行\\ n-r行\end{array}，C{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{\overline{C}}_1& |& {\overline{C}}_2\end{array}\right]\begin{array}{c}q行\end{array}\text{\hspace{1em}(66)}$$
      即有：
      $$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_c={\overline{A}}_{11}{x}_c+{\overline{A}}_{12}{x}_{\overline{c}}+{\overline{B}}_{1}u\\ & {\dot{x}}_{\overline{c}}={\overline{A}}_{22}{x}_{\overline{c}}\\ & y={\overline{C}}_1{x}_c+{\overline{C}}_2{x}_{\overline{c}}\end{array}\text{\hspace{1em}(67)}$$
      可控子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_c={\overline{A}}_{11}{x}_c+{\overline{A}}_{12}{x}_{\overline{c}}+{\overline{B}}_{1}u,y_1={\overline{C}}_1{x}_c\text{\hspace{1em}(68)}$$
      不可控子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_{\overline{c}}={\overline{A}}_{22}{x}_{\overline{c}},y_2={\overline{C}}_2{x}_{\overline{c}}\text{\hspace{1em}(69)}$$
      系统可控性规范分解的系统方块图如下图所示：
      
      系统结构的可控性规范分解的特点：

      1. 不可控系统与其可控子系统具有相同的传递函数矩阵；如果从传递特性的角度分析系统$(A,B,C)$，可以等价地用分析子系统$({\overline{A}}_{11},{\overline{B}}_1,{\overline{C}}_1)$来代替；

      2. 不可控子系统的特性与整个系统的稳定性及输出响应有关；

         输入$u$只能通过可控子系统传递到输出，与不可控子系统无关，故$u$到$y$之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特性；

      3. 不可控系统的可控性规范分解是不唯一的。

      4. 不可控系统的可控性规范分解将整个系统的特征值分解为可控因子与不可控因子两类；

         $x_c$的稳定性完全由${\overline{A}}_{11}$的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$决定；$x_{\overline{c}}$的稳定性完全由${\overline{A}}_{22}$的特征值${\lambda }_{r+1},\cdots ,{\lambda }_n$决定，而${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$都是$A$的特征值，${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$称为系统$(A,B,C)$的可控因子或可控振型，${\lambda }_{r+1},\cdots ,{\lambda }_n$称为不可控因子或不可控振型；

      实例分析：

      Example8： 已知系统$(A,b,c)$，其中：
      $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& -4& 3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]$$
      按可控性分解为规范形式.

      解：

      系统可控性矩阵为：
      $$S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -4\\ 0& 0& 0\\ 1& 3& 8\end{array}\right]$$

      $$rankS=2<n=3$$

      故系统不可控.

      从可控性矩阵中选出两个线性无关的列向量${\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]}^T$和${\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 3\end{array}\right]}^T$.

      附加任意列向量${\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]}^T$，构成非奇异变换矩阵：
      $$P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 3& 0\end{array}\right]$$
      计算矩阵$P$和变换后的各矩阵：
      $$P=(P^{-1}{)}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

      $$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& -4& 2\\ 1& 4& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right],Pb=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],c{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\end{array}\right]$$

      可控子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_c=\left[\begin{array}{cc}0& -4\\ 1& 4\end{array}\right]x_c+\left[\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right]x_{\overline{c}}+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]u,y_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]x_c$$
      不可控子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_{\overline{c}}=x_{\overline{c}},y_2=-x_{\overline{c}}$$

   2. 系统按可观测性的结构分解

      设不可观测系统的动态方程为：
      $$\dot{x}=Ax+bu,y=Cx\text{\hspace{1em}(70)}$$
      式中：$x$为$n$维状态向量，$u$为$p$维输入向量，$y$为$q$维输出向量；

      系统的可观测性矩阵为：
      $$V=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(71)}$$
      $rankV=l(l<n)$，在$V$中任意选取$l$个线性无关的行向量$t_1,t_2,\cdots ,t_l$，此外再选择$n-l$个与之线性无关的行向量$t_{l+1},\cdots ,t_n$构成非奇异线性变换矩阵：
      $$T=\left[\begin{array}{c}{t}_1\\ ⋮\\ t_l\\ t_{l+1}\\ ⋮\\ t_n\end{array}\right]$$
      对式(70)不可观测系统进行非奇异线性变换：
      $$x=T^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_o\\ x_{\overline{o}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(72)}$$
      可得系统结构按可观测性分解的规范表达式：
      $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_o\\ {\dot{x}}_{\overline{o}}\end{array}\right]=TA{T}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_o\\ x_{\overline{o}}\end{array}\right]+TBu,y=C{T}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_o\\ x_{\overline{o}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(73)}$$
      式中：$x_o$为$l$维可观测状态子向量，$x_{\overline{o}}$维$n-l$维不可观测状态子向量，且：
      $$TA{T}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{A}}_{11}& 0\\ {\hat{A}}_{21}& {\hat{A}}_{22}\end{array}\right]，TB=\left[\begin{array}{c}{\hat{B}}_1\\ {\hat{B}}_2\end{array}\right],C{T}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{C}}_1& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(74)}$$
      式(73)展开：
      $$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_o={\hat{A}}_{11}{x}_o+{\hat{B}}_{1}u\\ & {\dot{x}}_{\overline{o}}={\hat{A}}_{21}{x}_o+{\hat{A}}_{22}{x}_{\overline{o}}+{\hat{B}}_{2}u\\ & y={\hat{C}}_1{x}_o\end{array}\text{\hspace{1em}(75)}$$
      可观测子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_o={\hat{A}}_{11}{x}_o+{\hat{B}}_{1}u,y_1=\hat{C}{x}_o=y\text{\hspace{1em}(76)}$$
      不可观测子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_{\overline{o}}={\hat{A}}_{21}{x}_o+{\hat{A}}_{22}{x}_{\overline{o}}+{\hat{B}}_{2}u,y_2=0\text{\hspace{1em}(77)}$$
      系统可观测性规范分解方块图如下图所示：
      
      实例分析：

      Example9： 已知系统$(A,b,c)$，其中：
      $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& -4& 3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]$$
      按可观测性分解为规范形式.

      解：

      系统的可观测性矩阵为：
      $$V=\left[\begin{array}{c}c\\ cA\\ c{A}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -3& 2\\ 4& -7& 4\end{array}\right]$$

      $$rankV=2<n=3$$

      故系统不可观测.

      从可观测性矩阵中选取两个线性无关行向量$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{ccc}2& -3& 2\end{array}\right]$.再选取一个与之线性无关的行向量$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$，构成非奇异变换矩阵：
      $$T=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -3& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
      计算变换后各矩阵：
      $$T^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ 2& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],TA{T}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -2& 3& 0\\ -5& 3& 2\end{array}\right],Tb=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right],c{T}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]$$
      可观测子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_o=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right]x_o+\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]u,y_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]x_o=y$$
      不可观测子系统动态方程为：
      $${\dot{x}}_{\overline{o}}=\left[\begin{array}{cc}-5& 3\end{array}\right]x_o+2x_{\overline{o}}+u,y_2=0$$