自动控制原理(考研)理论篇--第三章(线性系统的时域分析法)

导语

本博文基于自动控制原理(胡寿松第六版)全书，将知识点总结，便于同学们的复习，该篇属于自动控制原理的理论篇，理论性东西较多，阅读起来难免有点枯燥，但既然坚持了，那就把它读完吧，因作者也是在复习考研，也是刚毕业的大学生，总结的东西难免会有所纰漏，如发现，请在评论区提醒，望共同进步，考研成功上岸！

3.1 系统时间响应的性能指标

1. 典型输入信号
   典型输入信号：指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。
   常用的典型输入信号：单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数、正弦函数。
   
2. 动态过程与稳态过程
   a.动态过程
   动态过程(过渡过程、瞬态过程)：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。
   动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。动态过程提供系统稳定性，响应速度及阻尼情况等信息。
   b.稳态过程
   稳态过程(稳态响应)：指系统在典型输入信号作用下，当时间$t$趋于无穷时，系统输出量的表现方式。
   稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述。
3. 动态性能与稳态性能
   a.动态性能
   描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间$t$的变化状况的指标，称为动态性能指标。
   
   上升时间$t_r$：指响应从终值$10\%$上升到终值$90\%$所需的时间；对于有振荡的系统，定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。
   峰值时间$t_p$：指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
   调节时间$t_s$：指响应到达并保持在终值$\pm 5\%或\pm 2\%$内所需的最短时间。
   超调量$\sigma \%$：指响应的最大偏离量$c(t_p)与终值c(\infty )的差与终值c(\infty )比的百分数$，即
   $$\sigma \%=\frac{c(t_p)-c(\infty )}{c(\infty )}\times 100\%$$
   $若c(t_p)<c(\infty )$，则响应无超调。
   注：常用动态性能指标：上升时间、调节时间、超调量。
   用$t_r或t_p$评价系统的响应速度；
   用$\sigma \%$评价系统的阻尼程度；
   $t_s$是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
   b.稳态性能
   稳态误差是描述系统稳定性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数、加速度函数作用下进行测定或计算；稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

3.2 一阶系统的时域分析

一阶系统对典型输入信号的输出响应如下：

由上表得出：
a.单位脉冲函数与单位阶跃函数的一阶导数及单位斜坡函数的二阶导数的等价关系，对应有单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数及单位斜坡响应的二阶导数的等价关系；
b.系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数；
c.系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。

3.3 二阶系统的时域分析

1. 二阶系统的数学模型
   标准形式：
   $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   标准形式二阶系统结构图：
   
   二阶系统的特征方程及特征根：
   $$特征方程：s^2+2\zeta {\omega }_n+{\omega }_n^2=0$$
   $$特征根：s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$
   二阶系统的响应时间取决于$\zeta 和{\omega }_n$两个参数。
2. 二阶系统的单位阶跃响应
   二阶系统的闭环极点分布图：
   
   根据二阶系统的闭环极点分布图说明如下：
   a.$\zeta <0$的二阶系统是不稳定的；
   b.$\zeta =0$，特征方程有一对纯虚根，$s_{1,2}=\pm j{\omega }_n$，对应与$s$平面虚轴上一对共轭极点，系统的阶跃响应为等幅振荡，系统处于无阻尼情况；
   c.$0<\zeta <1$，特征方程有一对具有负实部的共轭复根，$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$，对应于$s$平面左半部的共轭复数极点，阶跃响应为衰减振荡过程，系统处于欠阻尼情况；
   d.$\zeta =1$，特征方程具有两个相等的负实根，$s_{1,2}=-{\omega }_n$，对应于$s$平面负实轴上的两个相等实极点，阶跃响应非周期地趋于稳态输出，系统处于临界阻尼情况；
   e.$\zeta >1$，特征方程有两个不相等的负实根，$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$，对应于$s$平面负实轴上的两个不等实极点，阶跃响应也是非周期趋于稳态输出，但响应速度比临界阻尼情况缓慢，系统处于过阻尼情况。
3. 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应$(0<\zeta <1)$
   $令\sigma =\zeta {\omega }_n，{\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}，则有：$
   $$s_{1,2}=-\sigma \pm j{\omega }_d$$
   $式中：\sigma 称为衰减系数，{\omega }_d称为阻尼振荡频率$。
   单位阶跃响应为：
   $$c(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_{d}t+\beta )，t\ge 0$$
   $式中：\beta =\arctan (\sqrt{1-{\zeta }^2}/\zeta )，或\beta =\arccos \zeta$。
   二阶系统单位阶跃响应曲线如下图所示：
   
   由上图得出下列结论：
   a.在过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快；
   b.在欠阻尼$(0<\zeta <1)$响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，通常取$\zeta =0.4～0.8$为宜，此时超调量适度，调节时间较短；
   c.若二阶系统具有相同的$\zeta$和不同的${\omega }_n$，则其振荡特性相同但响应速度不同，${\omega }_n$越大，响应速度越快。
4. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
   欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系如下图所示：
   
   由上图得到：
   a.衰减系数$\sigma$是闭环极点到虚轴之间的距离；
   b.阻尼振荡频率${\omega }_d$是闭环极点到实轴之间的距离；
   c.自然频率${\omega }_n$是闭环极点到坐标原点之间的距离；
   d.${\omega }_n$与负实轴夹角的余弦是阻尼比，即$\zeta =\cos \beta$。
   下面二阶系统标准形式描述的无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式：
   $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   a.上升时间$t_r$计算：
   $$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}$$
   结论：
   ① 当阻尼比$\zeta$一定时，阻尼角$\beta$不变，系统的响应速度与${\omega }_n$成正比；
   ② 当阻尼振荡频率${\omega }_d$一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
   b.峰值时间$t_p$的计算：
   $$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$$
   结论：
   ① 峰值时间等于阻尼振荡周期的一半；
   ② 峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比，当阻尼比一定时，闭环极点离负实轴的距离越远，系统的峰值时间越短。
   c.超调量$\sigma \%$的计算
   $$\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%$$
   结论：
   ① 超调量$\sigma \%$仅是阻尼比$\zeta$的函数，与自然频率${\omega }_n$无关；
   ② 阻尼比越大，超调量越小；
   ③ $\zeta =0.4～0.8$时，$\sigma \%$介于$1.5\%～25.4\%$。
   d.调节时间$t_s$的计算
   $$误差带\Delta =0.05，t_s=\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}=\frac{3.5}{\sigma }$$
   $$误差带\Delta =0.02，t_s=\frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}=\frac{4.4}{\sigma }$$
   结论：
   ① 调节时间与闭环极点的实部数值成反比，闭环极点离虚轴越远，系统的调节时间越短；
   ② 保持阻尼比值不变而加大自然频率值，可以在不改变超调量情况下缩短调节时间。
   e.小结
   
5. 二阶系统性能的改善
   a.比例-微分控制
   比例微分控制的二阶系统如下图所示：
   
   由上面结构图得到比例-微分控制系统的开环传递函数为：
   $$G(s)=\frac{C(s)}{E(s)}=\frac{K(T_{d}s+1)}{s(s/2\zeta {\omega }_n+1)}$$
   $式中：K={\omega }_n/2\zeta ，称为开环增益$。
   $令z=1/T_d，则闭环传递函数为$
   $$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{z}(\frac{s+z}{s^2+2{\zeta }_d{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2})$$
   $式中：{\zeta }_d=\zeta +\frac{{\omega }_n}{2z}$
   结论：
   ① 比例-微分控制不改变系统的自然频率，但可以增大系统的阻尼比；
   ② PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，$-z=-1/T_d$，比例-微分控制的二阶系统称为有零点二阶系统，比例控制的二阶系统称为无零点的二阶系统。
   输入为单位阶跃函数时，且${\zeta }_d<1$，单位阶跃响应为：
   $$c(t)=1+r{e}^{-{\zeta }_d{\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}t+\phi )$$
   $式中：r=\sqrt{z^2-2{\zeta }_d{\omega }_{n}z+{\omega }_n^2}/z\sqrt{1-{\zeta }_d^2}$
   $\phi =-\pi +\arctan [{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}/(z-{\zeta }_d{\omega }_n)]+\arctan (\sqrt{1-{\zeta }_d^2}/{\zeta }_d)$
   几个重要性能指标计算公式如下：
   ① 峰值时间$t_p$
   $$\begin{gathered} t_p=\frac{{\beta }_d-\phi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}} \\ 式中：{\beta }_d=\arctan (\sqrt{1-{\zeta }_d^2}/{\zeta }_d) \end{gathered}$$
   ② 超调量$\sigma \%$
   $$\sigma \%=r\sqrt{1-{\zeta }_d^2}{e}^{-{\zeta }_d{\omega }_n{t}_p}\times 100\%$$
   ③ 调节时间$t_s$
   $$t_s=\frac{3+\ln r}{{\zeta }_d{\omega }_n}，(\Delta =0.05)；$$
   $$t_s=\frac{4+\ln r}{{\zeta }_d{\omega }_n}，(\Delta =0.02)；$$
   比例-微分控制对系统性能影响小结：
   ① 比例-微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差及系统的自然频率；
   ② 微分器对于噪声，特别是对于高频噪声的放大作用，远大于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此，在系统输入端噪声较强的情况下，不宜采用比例-微分控制方式。
   b.测速反馈控制
   测速反馈控制的二阶系统如下图所示：
   
   由上面结构图得到测速反馈控制系统的开环传递函数为：
   $$G(s)=\frac{{\omega }_n}{2\zeta +K_t{\omega }_n}\bullet \frac{1}{s[s/(2\zeta {\omega }_n+K_t{\omega }_n^2)+1]}$$
   式中开环增益为：
   $$K=\frac{{\omega }_n}{2\zeta +K_t{\omega }_n}$$
   相应闭环传递函数为：
   $$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2{\zeta }_t{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   式中：
   $${\zeta }_t=\zeta +\frac{1}{2}{K}_t{\omega }_n$$
   结论：
   ① 测速反馈与比例-微分控制不同的是，测速反馈会降低系统的开环增益，从而加大系统在斜坡输入时的稳态误差；
   ② 相同的是，同样不影响系统的自然频率，并且可以增大系统的阻尼比。
   c.比例-微分控制与测速反馈控制的比较
   ① 附加阻尼来源：比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度；(从结构框图中看)
   ② 使用环境：比例-微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例-微分控制。微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量放大器；测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，测速发电机的输入信号能量较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求；
   ③ 对开环增益和自然频率的影响：比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制不影响自然频率，但会降低开环增益；
   ④ 对动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比条件下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。

3.4 高阶系统的时域分析

1. 高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析
   如果在所有闭环极点中，距离虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距离虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点称为闭环极点。
2. 用二阶系统性能对高阶系统进行近似时非主导闭环极点对系统动态性能的影响
   a.闭环零点的影响
   减小峰值时间，使系统响应速度加快，超调量$\sigma \%$增大；闭环零点会减小系统阻尼，并且这种作用随闭环零点接近虚轴而加剧；
   b.闭环非主导极点影响
   增大峰值时间，使系统响应速度变缓，但可以使超调量$\sigma \%$减小；闭环非主导极点可以增大系统阻尼，并且这种作用随闭环极点接近虚轴而加剧；
   c.若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响会相互削弱。

3.5 线性系统的稳定性分析

1. 稳定性的基本概念
   稳定性：系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
   大范围稳定系统：假设系统具有一个平衡工作状态，如果系统受到有界扰动作用偏离了原平衡状态，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，这种系统称为大范围稳定系统。
   小范围稳定系统：假设系统具有一个平衡工作状态，如果系统受到有界扰动作用后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，这样的系统称为小范围稳定系统。
   线性控制系统的稳定性：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐近稳定；若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
2. 线性系统稳定的充分必要条件
   线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者，闭环传递函数的极点均位于s左半平面。
3. 劳斯-赫尔维茨稳定判据
   a.赫尔维茨稳定判据
   设线性系统特征方程为：
   $$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0，a_0>0$$
   则使线性系统稳定的必要条件：在上特征方程中各项系数为正数。
   对于$n\le 4$的线性系统，其稳定的充分必要条件可以表示为：
   $n=2：特征方程各项系数为正$；
   $n=3：特征方程各项系数为正，且a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$；
   $n=4：特征方程各项系数为正，且{\Delta }_2=a_1{a}_2-a_0{a}_2>0，以及{\Delta }_2>a_1^2{a}_4/a_3$。
   b.劳斯稳定判据
   设线性系统特征方程为：
   $$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0，a_0>0$$
   根据特征方程，列出劳斯表：
   
   劳斯判据：劳斯表中第一列各值为正，线性系统稳定；如果劳斯表第一列出现小于零的数值，系统不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。
4. 劳斯稳定判据的特殊情况
   a.劳斯表中某行的第一列项为零，其它各项不为零，或不全为零
   解决方案：用因子(s+a)乘以原特征方程，其中a为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯稳定判据。
   b.劳斯表中出现全零行
   解决方案：劳斯表出现全零行时，可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程$F(s)=0$，并将辅助方程对复变量s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，然后按劳斯稳定判据的要求继续运算，直到得出完整的劳斯表。
5. 劳斯稳定判据的应用
   a.用来判断系统的稳定性；
   b.确定使系统稳定的参数范围；
   c.判断系统是否在给定的稳定度中
   叙述：在$s$左半平面上作一条$s=-a$的垂线，$a$是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定距离，称为给定稳定度，然后用新变量$s_1=s+a$代入原系统特征方程，得到一个以$s_1$为变量的新特征方程，对新特征方程应用劳斯稳定判据，可以判别系统的特征根是否全部位于$s=-a$垂线之左。

3.6 线性系统的稳态误差计算

控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(控制精度)的一种度量，称为稳态性能；
在阶跃函数作用下，没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统。

1. 误差与稳态误差
   设控制系统结构图如下图所示：
   
   当输入信号$R(s)$与主反馈信号$B(s)$不相等时，比较装置的输出为：
   $$E(s)=R(s)-H(s)C(s)$$
   通常称$E(s)$为误差信号(误差)；
   误差定义方法：
   ① 如上式，即在系统输入端定义误差；
   ② 从系统输出端定义，定义为系统输出量的希望值与实际值之差。
   误差时域表达式为：
   $$e(t)=L^{-1}[E(s)]=L^{-1}[{\Phi }_e(s)R(s)]$$
   $式中：{\Phi }_e(s)为系统误差传递函数$
   $${\Phi }_e(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)}$$
   $误差信号e(t)中，包含瞬态分量e_{ts}和稳态分量e_{ss}两部分；控制系统的稳态误差定义为误差信号e(t)的稳态分量e_{ss}(\infty )，常以e_{ss}简单标志$。
   如果有理函数$sE(s)$除在原点处有唯一极点外，在$s$右半平面及虚轴上解析，即$sE(s)$的极点均位于$s$左半平面(包括坐标原点)，可根据拉氏变换的终值定理，求稳态误差：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}$$
2. 系统类型
   一般情况下，分子阶次为$m$，分母阶次为$n$的开环传递函数表示为：
   $$G(s)H(s)=\frac{K{\prod }_{i=1}^m({\tau }_{i}s+1)}{s^{\nu }{\prod }_{j=1}^{n-\nu }(T_{j}s+1)}$$
   $$\begin{gathered} 式中： \\ K为开环增益；{\tau }_i和T_j为时间常数； \\ \nu 为开环系统在s平面坐标原点上的极点重数 \end{gathered}$$。
   $$\begin{gathered} 按\nu 的数值划分系统类型，如下： \\ \nu =0称为0型系统； \\ \nu =1称为Ⅰ型系统； \\ \nu =2称为Ⅱ型系统。 \end{gathered}$$
   系统稳态误差计算通式可表示为：
   $$e_{ss}(\infty )=\frac{{\lim }_{s\to 0}[s^{\nu +1}R(s)]}{K+{\lim }_{s\to 0}{s}^{\nu }}$$
   结论：影响稳态误差的因素有系统型别，开环增益，输入信号的形式和幅值。
3. 典型输入作用下的稳态误差与静态误差系数
   
   
4. 减小或消除稳态误差的措施
   a.增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益；
   b.在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节(提高型别)；
   c.采用串级控制抑制内回路扰动；
   d.采用复合控制方法。
   复合控制方法叙述：复合控制是在反馈控制回路中加入前馈通路，组成一个前馈控制与反馈相结合的系统，只要系统参数选择合适，不但可以保持系统稳定，极大地减小乃至消除稳态误差，而且可以抑制几乎所有的可量测扰动，其中包括低频强扰动。

3.7 控制系统时域设计

工程实例1：海底隧道钻机控制系统
背景叙述：连接法国和英国的英吉利海峡海底隧道于1987年12月开工建设，1990年11月，从两个国家分头开钻的隧道首次对接成功。隧道长37.82km，位于海底面以下61m。隧道于1992年完工，共耗资14亿美元，每天能通过50辆列车，从伦敦到巴黎的火车行车时间缩短为3h。钻机在推进过程中，为了保证必要的隧道对接精度，施工中使用了一个激光导引系统，以保持钻机的直线方向。
问题提出：钻机控制系统如下图(a)，图中，$C(s)$为钻机向前的实际角度，$R(s)$为预期角度，$N(s)$为负载对机器的影响。该系统设计目的是选择增益$K$，使系统对输入角度的响应满足工程要求，并且使扰动引起的稳态误差较小。

解：
该钻机控制系统采用了比例-微分(PD)控制。应用梅森增益公式，可得到系统在$R(s)$和$N(s)$同时作用下的输出为：
$$C(s)=\frac{K+11s}{s^2+12s+K}R(s)-\frac{1}{s^2+12s+K}N(s)$$
闭环系统特征方程为：
$$s^2+12s+K=0$$
因此，只要选择$K>0$，闭环系统一定稳定。
系统在扰动$N(s)$作用下的闭环传递函数为：
$${\Phi }_n(s)=\frac{C_n(s)}{N(s)}=-\frac{1}{s^2+12s+K}$$
$令N(s)=\frac{1}{s}，可得单位阶跃扰动作用下系统的稳态输出$：
$$c_n(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_n(s)N(s)=-\frac{1}{K}$$
$若选K>10，则|c_n(\infty )<0.1|，可以减小扰动的影响。因此，从系统稳态性能考虑，取K>10为宜$。
为了选择适当的$K$值，需要分析比例-微分控制的作用，如果仅选用比例控制，则系统的开环传递函数为：
$$G_c(s)G_0(s)=\frac{K}{s(s+1)}$$
相应的闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{K}{s^2+s+K}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
可得系统无阻尼自然频率与阻尼比分别为：
$${\omega }_n=\sqrt{K}，\zeta =\frac{1}{2\sqrt{K}}$$
如果选用PD控制，系统的开环传递函数为：
$$G_c(s)G_0(s)=\frac{K+11s}{s(s+1)}=\frac{K(T_{d}s+1)}{s(s/2{\zeta }_d{\omega }_n+1)}$$
$式中：T_d=\frac{11}{K}；2{\zeta }_d{\omega }_n=1$
相应闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{K+11s}{s^2+12s+K}=\frac{{\omega }_n^2}{z}(\frac{s+z}{s^2+2{\zeta }_d{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2})$$
$式中：z=\frac{1}{T_d}=\frac{K}{11}为闭环零点$
$${\omega }_n=\sqrt{K}，{\zeta }_d=\zeta +\frac{{\omega }_n}{2z}=\frac{12}{2\sqrt{K}}$$
上式表明引入微分控制可以增大系统阻尼，改善系统动态性能。
a.$取K=100，则{\omega }_n=10，e_{ssn}(\infty )=-0.01$
P控制时：
$$\zeta =\frac{1}{2{\omega }_n}=0.05$$
动态性能：
$$\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%=85.4\%$$
$$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}=\frac{\pi -\arccos \zeta }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}=0.162s$$
$$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=0.314s，t_s=\frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}=8.8s(\Delta =2\%)$$
PD控制时：
$${\zeta }_d=0.6，z=\frac{K}{11}=9.09$$
$$r=\frac{\sqrt{z^2-2{\zeta }_d{\omega }_{n}z+{\omega }_n^2}}{z\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}=1.18，{\beta }_d=\arctan (\frac{\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{{\zeta }_d})=53.13°$$
$$\phi =-\pi +\arctan [\frac{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{z-{\zeta }_d{\omega }_n}]+\arctan [\frac{\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{{\zeta }_d}]=-58°$$
动态性能：
$$t_r=\frac{0.9}{{\omega }_n}=0.09s，t_p=\frac{{\beta }_d-\phi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}=0.24s$$
$$t_s=\frac{4.0+\ln r}{{\zeta }_d{\omega }_n}=0.52s(\Delta =2\%)$$
$$\sigma \%=r\sqrt{1-{\zeta }_d^2}{e}^{-{\zeta }_d{\omega }_n{t}_p}\times 100\%=22.4\%$$
$Matlab仿真曲线如下，其中\sigma \%=22\%，t_s=0.66s$。

b.$取K=20，则{\omega }_n=4.47，e_{ssn}(\infty )=-0.05$
P控制时：
$$\zeta =\frac{1}{2{\omega }_n}=0.11$$
动态性能：
$$\begin{gathered} \sigma \%=70.6\%，t_r=0.38s \\ {t}_p=0.71s，t_s=8.95s(\Delta =2\%) \end{gathered}$$
动态性能仍然很差。
PD控制时：
$${\zeta }_d=1.34$$
且有$z=1.82$，闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{11(s+1.82)}{(s+2)(s+10)}$$
系统此时为有零点的过阻尼二阶系统，令$R(s)=\frac{1}{s}$，则系统的输出为：
$$C(s)=\Phi (s)R(s)=\frac{11(s+1.82)}{s(s+2)(s+10)}=\frac{1}{s}+\frac{0.125}{s+2}-\frac{1.125}{s+10}$$
系统的单位阶跃响应为：
$$c(t)=1+0.125e^{-2t}-1.125e^{-10t}$$
求得：
$$t_p=0.5s，\sigma \%=3.8\%，t_s=1.0s(\Delta =2\%)$$
其中超调量是由闭环零点引起的。
$Matlab仿真曲线如下图所示：其中，t_p=0.476s，\sigma \%=3.86\%，t_s=0.913s。$

由图可知，系统响应的超调量较小，扰动影响不大，其动态性能可以满足工程要求。

$由上表可见，应取K=20$。
$附：Matlab仿真代码$

K=[100 20];
for i =1:1:2
    sys=tf([11 K(i)],[1 12 K(i)]);  %输入作用下系统闭环传递函数
    sysn=tf([-1],[1 12 K(i)]);      %扰动作用下系统闭环传递函数
    figure(i);t=0:0.002:3;
    step(sys,t);hold on;            %单位阶跃输入响应
    step(sysn,t);grid               %单位阶跃扰动响应
end