自动控制原理(考研)理论篇--第六章(线性系统的校正方法)

导语

本博文基于自动控制原理(胡寿松第六版)全书，将知识点总结，便于同学们的复习，该篇属于自动控制原理的理论篇，理论性东西较多，阅读起来难免有点枯燥，但既然坚持了，那就把它读完吧，因作者也是在复习考研，也是刚毕业的大学生，总结的东西难免会有所纰漏，如发现，请在评论区提醒，望共同进步，考研成功上岸！

6.1 系统的设计与校正问题

1. 校正定义
   校正：在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。
   工程实践中常用的三种校正：串联校正、前馈校正、复合校正。
2. 性能指标
   在控制系统设计中，采用的设计方法一般依据性能指标的形式而定：
   a.如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出时，一般采用时域法校正；
   b.如果性能指标以系统的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出时，一般采用频率法校正。
   频域指标和时域指标间关系如下：
   
   
3. 系统带宽的确定
   a.无论采用哪种校正方式，都要求校正后的系统既能以所需精度跟踪输入信号，又能抑制噪声扰动信号；
   b.控制系统中，输入信号一般是低频信号，噪声信号一般是高频信号；
   c.为了使系统能够准确复现输入信号，要求系统具有较大的带宽；然而从抑制噪声角度来看，又不希望系统的带宽过大；
   d.一个设计良好的实际运行系统，其相角裕度具有45°左右的数值；
   e.要实现45°左右的相角裕度要求，开环对数幅频特性在中频区的斜率应为$-20dB/dec$，同时要求中频区占据一定的频率范围，以保证在系统参数变化时，相角裕度变化不大，过中频区后，要求系统幅频特性迅速衰减，以削弱噪声对系统的影响；
   f.如果输入信号的带宽为$0～{\omega }_M$，噪声信号集中起作用的频带为${\omega }_1～{\omega }_n$，则控制系统的带宽频率通常取：
   $${\omega }_b=(5～10){\omega }_M$$
   $且使{\omega }_1～{\omega }_n处于0～{\omega }_b范围之外。$
4. 校正方式
   控制系统校正方式分为：串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正。
   a.串联校正
   串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串接于系统前向通道之中。
   
   b.反馈校正
   反馈校正装置接在系统局部反馈通路之中。
   
   c.前馈校正(顺馈校正)
   在系统主反馈回路之外采用的校正方式。
   第一种方式是前馈校正装置接在系统给定值之后及主反馈作用点之前的前向通道上，作用相当于对给定值信号进行整性或滤波后，再送入反馈系统，称为前置滤波器；
   
   第二种方式是前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或者间接测量，并经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道。
   
   d.复合校正
   复合校正是在反馈回路中，加入前馈控制校正通路，组成一个有机整体，分为：按扰动补偿的复合控制、按输入补偿的复合控制。
   
   
   
5. 基本控制规律
   a.比例控制规律$(P)$
   
   注：串联校正中，加大控制器增益$K_p$，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定。
   b.比例-微分控制规律(PD)
   
   PD控制器的控制规律：$$m(t)=K_{p}e(t)+K_p\tau \frac{de(t)}{dt}$$其中：$K_p为比例系数；\tau 为微分时间常数$
   PD控制器中的微分控制规律，能反应输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性，微分控制作用只对动态过程起作用，而对稳态过程没有影响，且对系统噪声非常敏感。
   c.积分控制规律$(I)$
   
   $I控制器的输出信号m(t)与其输入信号e(t)的积分成正比$，$$m(t)=K_i{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t$$其中：$K_i为可调系数，由于I控制器的积分作用，当其输入e(t)消失后，输出信号m(t)有可能是一个不为零的常量。在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的性别，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生90°的相角滞后，对系统的稳定性不利。$
   d.比例-积分控制规律$(PI)$
   
   注：$PI控制器的控制规律如下$：$$m(t)=K_{p}e(t)+\frac{K_p}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t$$其中：$K_p为可调比例系数；T_i为可调积分时间常数。$
   $在串联校正中，PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。$位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；增加的负实零点用来减小系统的阻尼程度，缓和$PI$控制器极点对系统稳定性以及动态过程产生的不利影响。
   f.比例-积分-微分控制规律$(PID)$
   
   注：$PID控制器的控制规律如下$：$$m(t)=K_{p}e(t)+\frac{K_p}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t+K_p\tau \frac{de(t)}{dt}$$使用$PID$控制器时，应该使$I$部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳定性；使$D$部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统的动态性能。

6.2 常用校正装置及其特性

1. 无源校正网络
   a.无源超前网络
   超前网络传递函数：
   $$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}，(a>1)$$
   
   无源超前网络对数频率特性如下：
   
   超前网络相角为：
   $${\phi }_c(\omega )=\arctan aT\omega -\arctan T\omega =\arctan \frac{(a-1)T\omega }{1+a{T}^2{\omega }^2}$$
   将上式对$\omega$求导，并令其为零，得到最大超前角频率：
   $${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}$$
   最大超前角为：
   $${\phi }_m=\arctan \frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin \frac{a-1}{a+1}$$
   在${\omega }_m$处的对数幅频值为：
   $$L_c({\omega }_m)=20lg|a{G}_c(j{\omega }_m)|=10lga$$
   因此，最大超前角频率${\omega }_m$是$1/(aT)和1/T的几何中心$。
   b.无源滞后网络
   无源滞后网络传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}，(b<1)$$
   
   最大滞后频率和最大滞后相角为：
   $${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{b}}，{\phi }_m=\arcsin \frac{1-b}{1+b}$$
   选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率$1/(bT)$远小于${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}(已校正系统开环截止频率)$，一般取：
   $$\frac{1}{bT}=\frac{{\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}}{10}$$
   滞后网络在${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$处产生的相角滞后约等于：
   $${\phi }_c({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})\approx \arctan [0.1(b-1)]$$
   c.无源滞后-超前网络
   无源滞后-超前网络传递函数为：
   $$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{(1+\alpha T_{a}s)(1+\frac{T_b}{\alpha }s)}，(\alpha >1)$$
   $其中：(1+T_{a}s)/(1+\alpha T_{a}s为网络的滞后部分；(1+T_{b}s)/(1+T_{b}s/\alpha ))为网络的超前部分。$
   
2. 有源校正网络
   

6.3 串联校正

1. 频率响应法校正设计
   a.常用的校正装置设计方法有分析法和综合法。
   分析法(试验法)：用分析法设计校正装置比较直观，在物理上易于实现，但要求设计者有一定的工程设计经验，设计过程带有试验性；
   综合法(期望特性法)：根据规定的性能指标要求确定系统期望的开环特性形状，然后与系统原有开环特性相比较，从而确定校正方式、校正装置的形式和参数。
   b.开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能；开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能；开环频率特性的高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制性能。
   c.期望的开环系统频率特性形状，低频段增益充分大，以保证稳态误差要求；中频段对数幅频特性斜率一般为$-20dB/dec$，并占据充分宽的频带，以保证具备适当的相角裕度；高频段增益尽快减小，以削弱噪声影响，若系统原有部分高频段已符合该种要求，则校正时可保持高频段形状不变，以简化校正装置的形式。
2. 串联超前校正
   串联超前校正的基本原理：利用超前网络的相角超前特性。
   用频域法设计无源超前网络的步骤：
   a.依据稳态误差要求，确定开环增益$K$；
   b.利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；
   c.根据截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$的要求，计算超前网络参数$a$和$T$。关键是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即${\omega }_m={\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$，以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性。有如下关系：
   $$-L^{{}^{\prime }}({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})=L_c({\omega }_m)=10lga$$
   求出$a$值，然后：
   $$T=\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}$$
   确定$T$值。
   d.验算已校正系统的相角裕度${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}$。
   小结(不适合用超前校正情况)：
   a.闭环带宽要求。如果待校正系统不稳定，不能采用超前校正；
   b.在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正。
3. 串联滞后校正
   利用滞后网络串联校正的基本原理：是利用滞后网络的高频幅值衰减特性，使已校正系统截止频率下降，从而使系统获得足够的相角裕度。
   应用频域法设计串联无源滞后网络的步骤：
   a.根据稳态误差要求，确定开环增益$K$；
   b.利用已确定的开环增益，画出待校正系统的开环对数频率特性，确定待校正系统的截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime }}$、相角裕度$\gamma$和幅值裕度$h(dB)$；
   c.选择不同的${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$，计算或查出不同的$\gamma$值，在开环伯德图上绘制$\gamma ({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})$曲线；
   d.根据相角裕度${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}$要求，选择已校正系统的截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$。考虑到滞后网络在新的截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$处会产生一定的相角滞后${\phi }_c({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})$，因此下式成立：
   $${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}=\gamma ({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})+{\phi }_c({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})$$
   $式中：{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}是指标要求值，{\phi }_c({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})在确定{\omega }_{c}xiangjia{o}^{{}^{\prime \prime }}前可取为-6°$。
   e.确定滞后网络参数$b$和$T$。
   $$20lgb+L^{{}^{\prime }}({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})=0，\frac{1}{bT}=0.1{\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$$
   f.验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度。
   小结(串联超前和串联滞后对比)：
   a.超前校正是利用超前网络的相角超前特性，滞后校正是利用滞后网络的高频幅值衰减特性；
   b.为了满足严格的稳态性能要求，当采用无源校正网络时，超前校正要求一定的附加增益，而滞后校正一般不需要附加增益；
   c.对于同一系统，采用超前校正的系统带宽大于采用滞后校正的系统带宽。
4. 串联滞后-超前校正
   当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，以采用串联滞后-超前校正为宜。
   串联滞后-超前校正设计步骤：
   a.根据稳态性能要求确定开环增益$K$；
   b.绘制待校正系统的开环对数幅频渐近特性，求出待校正系统的截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime }}$、相角裕度$\gamma$及幅值裕度$h(dB)$；
   c.在待校正系统开环对数幅频渐近特性上，选择斜率从$-20dB/dec$变为$-40dB/dec$的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率${\omega }_b$；
   d.根据响应速度要求，选择系统的截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}$和校正网络衰减因子$1/\alpha$。有下列等式成立：
   $$-20lg\alpha +L^{{}^{\prime }}({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})+20lg{T}_b{\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}=0$$
   $式中：T_b=1/{\omega }_b；L^{{}^{\prime }}({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})+20lg{T}_b{\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}可由待校正系统开环对数幅频渐近特性的-20dB/dec延长线在{\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}处的数值确定$；
   e.根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的交接频率${\omega }_a$；
   f.校验已校正系统的各项性能指标。

6.4 复合校正

复合校正是在反馈回路中，加入前馈控制校正通路，组成一个有机整体，分为：按扰动补偿的复合控制、按输入补偿的复合控制。

1. 按扰动补偿的复合校正
   
   扰动作用下的输出为：
   $$C_n(s)=\frac{G_2(s)[1+G_1(s)G_n(s)]}{1+G_1(s)G_2(s)}N(s)$$
   扰动作用下的误差为：
   $$E_n(s)=-C_n(s)=-\frac{G_2(s)[1+G_1(s)G_n(s)]}{1+G_1(s)G_2(s)}N(s)$$
   选择前馈补偿装置的传递函数为：
   $$G_n(s)=-\frac{1}{G_1(s)}$$
   $则有：C_n(s)=0，E_n(s)=0，因此上式称为对扰动的误差全补偿条件$。
2. 按输入补偿的复合校正
   a.
   
   由图可知，系统输出量为：
   $$C(s)=\frac{[1+G_r(s)]G(s)}{1+G(s)}R(s)$$
   系统误差为：
   $$E(s)=\frac{1-G_r(s)G(s)}{1+G(s)}R(s)$$
   如果选择前馈补偿装置的传递函数为：
   $$G_r(s)=\frac{1}{G(s)}$$
   $则有C(s)=R(s)，E(s)=0。因此上式称为对输入信号的误差全补偿条件$。
   b.当前馈补偿信号不是加在系统的输入端，而是加在系统前向通路上某个环节的输入端，以简化误差全补偿条件。
   
   该系统输出量为：
   $$C(s)=\frac{[G_1(s)+G_r(s)]G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}R(s)$$
   等效系统的闭环传递函数为：
   $$\Phi (s)=\frac{[G_1(s)+G_r(s)]G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}$$
   等效系统的误差传递函数为：
   $${\Phi }_e(s)=\frac{1-G_r(s)G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}$$
   误差全补偿条件：
   $$G_r(s)=\frac{1}{G_2(s)}$$

6.5 控制系统校正设计

工程实例：机器人控制
背景叙述：MANUTEC机器人具有很大的惯性和较长的手臂，机械臂的动力学特性可以表示为：
$$G_0(s)=\frac{250}{s(s+2)(s+40)(s+45)}$$
设计要求：要求选用下图所示的控制方案，使系统阶跃响应的超调量小于20%，上升时间小于0.5s，调节时间小于$1.2s(\Delta =2\%)$，静态速度误差系数$K_v\ge 10$。试问：采用超前校正网络
$$G_c(s)=1483.7\frac{s+3.5}{s+33.75}$$
是否合适？

解：
开环传递函数：
$$G_c(s)G_0(s)=\frac{370925(s+3.5)}{s(s+2)(s+33.75)(s+40)(s+45)}=\frac{10.7(\frac{s}{3.5}+1)}{s(\frac{s}{2}+1)(\frac{s}{33.75}+1)(\frac{s}{40}+1)(\frac{s}{45}+1)}$$
可知闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{370925s+1298237.5}{s^5+120.75s^4+4906.25s^3+70087.5s^2+492425s+1298237.5}$$
校正后系统的单位阶跃响应如下图：

$仿真表明：\sigma \%=18\%<20\%，t_r=0.29s<0.5s，t_s=1.0s<1.2s，K_v=10.7>10，设计指标全部满足，因此该超前校正网络是合适的。$
$附Matlab代码$：

G0=tf(250,conv([1,2,0],conv([1,40],[1,50])));         %被控对象的传递函数
Gc=tf(1483.7*[1,3.5],[1,33.75]);                      %超前网络的传递函数
G=series(Gc,G0);                                      %系统的开环传递函数
G1=feedback(G,1);                                     %系统的闭环传递函数
step(G1);grid