自动控制理论（6）——高阶系统的时域分析及线性系统的稳定性分析

系列文章目录

自动控制理论（1）——自动控制理论概述
自动控制理论（2）——控制系统的数学模型（微分方程、传递函数）
自动控制理论（3）——控制系统的数学模型（系统框图和信号流图）
自动控制理论（4）——系统的时域性能指标和一阶系统的时域分析
自动控制理论（5）——二阶系统的时域分析

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一、高阶系统的时域分析

1.典型三阶系统的单位阶跃响应

$\beta =\frac{-s_3}{\zeta {\omega }_n}$
增加一个闭环极点，将使超调量减小，上升时间和峰值时间增大
增加的极点距离虚轴越近，上述影响越显著
$\beta <1$呈现过阻尼，响应迟缓
$\beta >5$,可忽略极点的影响

2.高阶系统的单位阶跃响应

c(t)由稳态和暂态分量组成，若极点均为负实部，则系统稳定。
各暂态分量衰减的快慢,取决于各极点负实部的绝对值大小。
各暂态分量系数的大小是F(s)零、极点共同决定的，若一对零、极点几乎重合(称偶极子),则与该极点对应的系数很小,该极点对暂态响应几乎无影响。

3.闭环主导极点

对系统的暂态响应起主导作用的极点。

满足以下两个条件：
(1)距虚轴比较近,且附近没有其它的闭环零点与极点。
(2)其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五倍以上。

二、线性系统的稳定性分析

1.稳定的概念

稳定性是指扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。
稳定的线性系统，大范围小范围都能稳定；
非线性系统可能小范围稳定而大范围不稳定。

2.线性系统稳定的充分必要条件

闭环特征根均为负实部

3.劳斯判据

(1)设系统特征方程$a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\dots +a_{n-1}s+a_n=0,a_0>0$
(2)系统稳定的必要条件
特征方程各项系数均为正
(3)列写劳斯表

(4)系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列元素均为正。
若第一列元素有符号变化，则符号改变的次数等于正实部根的个数。
(5)劳斯判据特殊情况
1）劳斯表某行的第一列为零，其余各项不为零
用$\epsilon$（$\epsilon >0$且$\epsilon \to 0$）代替0继续计算
2）劳斯表中出现全零行
用全零行上一行的系数构成辅助方程；
将辅助方程对s求导数，得一新方程；
用新方程的系数代替全零行，按新表判稳定。
结论：
不稳定;
若第一列元素均为正,没有右根，一定有纯虚根;
若第一列元素有负数，符号改变次数等于右根个数。

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4.稳定判据的应用（检验稳定裕量）

稳定裕量σ的概念：虚轴向左移动σ，系统依然稳定。
令 s = z -σ(σ>0), 将其代入特征方程，
可得关于z 的多项式，对z用劳斯判据

5.总结

线性系统的稳定性只取决于系统的结构及
参数，而与初始条件、外作用大小及形式
无关。
稳定性只取决于系统闭环极点，而与系统
零点无关。