基于白骨顶鸡优化算法的函数寻优算法

一、理论基础

1、白骨顶鸡优化算法

白骨顶鸡优化算法(Coot optimization algorithm, COOT)由Iraj Naruei等人于2021年提出的一种新型启发式算法，其灵感来源于白骨顶鸡在水面上的两种不同运动模式。
在该算法中，作者主要模拟了随机运动和同步运动，并将这两种运动模拟为算法中的三种行为，即：个体随机运动、链式运动、最优个体引导运动。

1.1 个体随机运动

为了实现这一运动，考虑在搜索空间中根据式(1)的随机位置，并将白骨顶鸡移动到这个随机位置。$$Q=rand(1,d).\ast (ub-lb)+lb\text{\hspace{1em}(1)}$$这种行为探索了搜索空间的不同部分。如果算法陷入局部最优，该行为将会使得算法跳出局部最优。鸡的新位置根据式(2)计算。$$CootPos(i)=CootPos(i)+A\times R_2\times (Q-CootPos(i))\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$R_2$是$[0,1]$区间中的随机数，$a$根据式(3)计算。$$A=1-L\times \left(\frac{1}{Iter}\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$L$是当前迭代次数，$Iter$是最大迭代次数。

1.2 链式运动

两个个体的平均位置可用于实现链式运动。另一种实现链式运动的方法是：首先计算两个个体之间的距离向量，然后将其中一个个体向另一个个体移动大约距离向量的一半。本文使用了第一种方法，并根据式(4)计算出个体的新位置。$$CootPos(i)=0.5\times (CootPos(i-1)+CootPos(i))\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$CootPos(i-1)$是第二个个体。

1.3 最优个体引导运动

1.3.1 根据组长调整位置

通常情况下，小组由小组前面的几只个体领导，其他个体必须根据小组的领导者(即组长)调整自己的位置，并向它们移动。可以考虑领导者的平均位置，种群可以根据该平均位置更新其位置。考虑到平均位置会导致过早收敛，为了实现这一运动，使用式(5)中的机制来选择领导者。$$K=1+(iMODNL)\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$i$是当前个体的位置索引，$NL$是领导者的数量，$K$是领导者的索引。
式(6)根据选定的领导者计算个体的下一个位置。$$CootPos(i)=LeaderPos(k)+2\times R_1\times \cos (2R\pi )\times (LeaderPos(k)-CootPos(i))\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，$CootPos(i)$是个体的当前位置，$LeaderPos(k)$是选中的领导者位置，$R_1$是$[0,1]$区间中的随机数，$R$是$[-1,1]$区间中的随机数。

1.3.2 领导者引领团队走向最佳区域(领导运动)

团队必须朝着一个目标(最佳区域)前进，因此领导者需要更新它们对目标的位置。在跟随者向领导者靠拢的同时，领导者也要不断地向最优区域靠近。有时，领导者必须离开当前的最佳位置，才能找到更好的位置，有效提升了算法跳出局部最优值的能力。$$LeaderPos(i)=\{\begin{array}{l}B\times R_3\times \cos (2R\pi )\times (gBest-LeaderPos(i))+gBest{R}_4<0.5\\ B\times R_3\times \cos (2R\pi )\times (gBest-LeaderPos(i))-gBest{R}_4\ge 0.5\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$gBest$是迄今为止发现的最佳位置，$R_3$和$R_4$是$[0,1]$区间中的随机数，$R$是$[-1,1]$区间中的随机数，$B$根据式(8)计算。$$B=2-L\times \left(\frac{1}{Iter}\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$其中，$L$是当前迭代次数，$Iter$是最大迭代次数。
$2\times R_3$产生更大的随机运动，因此算法不会陷入局部最优。这意味着算法在开发阶段也在进行探索。$\cos (2R\pi )$搜索具有不同半径的最佳个体，以在该个体周围找到更好的位置。

2、COOT算法伪代码

COOT算法伪代码如图1所示。

图1 COOT算法伪代码

二、仿真实验与结果分析

将COOT与SSA、MVO和GWO进行对比，以文献[1]中表1和表2的F1、F3、F4(单峰函数/30维)、F9、F11、F13(多峰函数/30维)为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
SSA：最差值: 4.3517e-06,最优值:2.6046e-08,平均值:3.0027e-07,标准差:7.8379e-07,秩和检验:3.0199e-11
MVO：最差值: 1.8419,最优值:0.59588,平均值:1.1932,标准差:0.37714,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值: 4.9496e-27,最优值:2.6417e-29,平均值:1.0244e-27,标准差:1.2287e-27,秩和检验:3.4971e-09
COOT：最差值: 1.2453e-25,最优值:5.921e-46,平均值:4.1784e-27,标准差:2.2731e-26,秩和检验:1
函数：F3
SSA：最差值: 6259.0882,最优值:361.6992,平均值:1836.9734,标准差:1241.9126,秩和检验:3.0199e-11
MVO：最差值: 454.1313,最优值:100.3723,平均值:234.5366,标准差:88.998,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值: 6.8352e-05,最优值:4.4812e-09,平均值:7.5173e-06,标准差:1.4181e-05,秩和检验:3.0199e-11
COOT：最差值: 2.0864e-18,最优值:4.5224e-52,平均值:6.9547e-20,标准差:3.8092e-19,秩和检验:1
函数：F4
SSA：最差值: 18.1705,最优值:3.4931,平均值:10.9622,标准差:3.8599,秩和检验:3.0199e-11
MVO：最差值: 3.1682,最优值:1.0197,平均值:1.9046,标准差:0.56173,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值: 5.62e-06,最优值:6.5853e-08,平均值:8.6401e-07,标准差:1.1074e-06,秩和检验:3.0199e-11
COOT：最差值: 5.7662e-11,最优值:2.6987e-23,平均值:2.3332e-12,标准差:1.0601e-11,秩和检验:1
函数：F9
SSA：最差值: 83.5763,最优值:14.9244,平均值:50.8352,标准差:20.3717,秩和检验:4.111e-12
MVO：最差值: 252.2225,最优值:46.3223,平均值:125.0884,标准差:43.268,秩和检验:4.111e-12
GWO：最差值: 76.7443,最优值:5.6843e-14,平均值:6.589,标准差:14.3414,秩和检验:1.5148e-10
COOT：最差值: 3.8654e-12,最优值:0,平均值:2.0274e-13,标准差:7.8121e-13,秩和检验:1
函数：F11
SSA：最差值: 0.049122,最优值:0.00043358,平均值:0.014355,标准差:0.012203,秩和检验:4.111e-12
MVO：最差值: 0.96905,最优值:0.70859,平均值:0.84999,标准差:0.073388,秩和检验:4.111e-12
GWO：最差值: 0.021262,最优值:0,平均值:0.0033834,标准差:0.0069694,秩和检验:0.34456
COOT：最差值: 5.5511e-15,最优值:0,平均值:3.9598e-16,标准差:1.2641e-15,秩和检验:1
函数：F13
SSA：最差值: 50.4004,最优值:0.00027893,平均值:15.1287,标准差:14.3801,秩和检验:1.0188e-05
MVO：最差值: 0.78326,最优值:0.06473,平均值:0.21457,标准差:0.17072,秩和检验:0.00069125
GWO：最差值: 1.5333,最优值:0.20309,平均值:0.62509,标准差:0.30599,秩和检验:0.00076973
COOT：最差值: 2.9726,最优值:0.058763,平均值:0.45485,标准差:0.54704,秩和检验:1

实验结果表明：COOT算法具有良好的性能和竞争力。

三、参考文献

[1] Iraj Naruei, Farshid Keynia. A new optimization method based on COOT bird natural life model[J]. Expert Systems With Applications, 2021, 183: 115352.