基于黑寡妇优化算法的函数寻优算法

一、理论基础

1、黑寡妇优化算法

黑寡妇优化算法(Black Widow Optimization Algorithm, BWOA)是2020年由Hernan Peraza等人受黑寡妇蜘蛛独特的交配行为启发而提出的，该算法模拟了黑寡妇蜘蛛求偶时的不同行为。
在这一部分中，首先给出了蜘蛛不同的求偶策略和信息素率的数学模型。然后，提出了黑寡妇优化算法。

1.1 移动

黑寡妇蜘蛛在蜘蛛网内按照线性和螺旋的方式进行移动，数学模型如式(1)所示：$${\overrightarrow{x}}_i(t+1)=\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{x}}_{\ast }(t)-m{\overrightarrow{x}}_{r_1}(t),\text{if}rand()\le 0.3\\ {\overrightarrow{x}}_{\ast }(t)-\cos (2\pi \beta ){\overrightarrow{x}}_i(t),\text{in other case}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，${\overrightarrow{x}}_i(t+1)$为更新之后的个体位置，${\overrightarrow{x}}_{\ast }(t)$为当前最优个体位置，$m$为$[0.4,0.9]$之间生成的随机浮点数，$\beta$为$[-1,1]$的随机数，$r_1$为1到最大种群数量之间的随机整数，${\overrightarrow{x}}_{r_1}(t)$为随机选择的第$r_1$个位置，${\overrightarrow{x}}_i(t)$为当前个体的位置。

1.2 信息素

信息素在黑寡妇蜘蛛的求偶过程中起着非常重要的作用。营养充足的雌蜘蛛比饥饿的雌蜘蛛产丝更多。雄性蜘蛛对来自营养良好的雌性蜘蛛的性信息素反应更灵敏，因为它们提供了更高的生育能力，但主要是为了避免与可能饥饿的雌性蜘蛛冒险交配的代价。因此，雄性蜘蛛不喜欢信息素含量低的雌性蜘蛛。黑寡妇蜘蛛的信息素率值定义如下：$$\text{pheromone}(i)=\frac{{\text{fitness}}_{\max }-\text{fitness}(i)}{{\text{fitness}}_{\max }-{\text{fitness}}_{\min }}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，${\text{fitness}}_{\max }$和${\text{fitness}}_{\min }$分别表示当前种群中最差和最优的适应度值，$\text{fitness}(i)$为第$i$个个体的适应度值。
式(2)中的信息素向量包含$[0,1$]区间内的归一化适应度。对于小于或等于0.3的低信息素率值，利用式(3)更新个体的位置：$${\overrightarrow{x}}_i(t)={\overrightarrow{x}}_{\ast }(t)+\frac{1}{2}\left[{\overrightarrow{x}}_{r_1}(t)-(-1{)}^{\sigma }{\overrightarrow{x}}_{r_2}(t)\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，${\overrightarrow{x}}_i(t)$​为雌性体内低信息素水平的黑寡妇位置；$r_1$和$r_2$均为1到最大种群数量之间的随机整数, 且$r_1\ne r_2$；${\overrightarrow{x}}_{r_1}(t)$和${\overrightarrow{x}}_{r_2}(t)$为第$r_1$和$r_2$个黑寡妇的位置； σ ∈ { 0 , 1 } \sigma\in\{0,1\} σ∈{ 0,1}为随机二进制数。

2、BWOA算法伪代码

BWOA算法的伪代码如下图所示。

图1 BWOA算法伪代码

二、仿真实验与结果分析

将BWOA与SSA、SCA、GWO、CS和WOA进行对比，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每个算法独立运行30次，以常用23个测试函数中的F3、F4(单峰函数/30维)、F10、F11(多峰函数/30维)、F14、F15(固定维度多峰函数/2维、4维)为例，结果显示如下：

函数：F3
BWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
SSA：最差值: 3883.1881,最优值:395.8488,平均值:1507.6463,标准差:920.0443,秩和检验:1.2118e-12
SCA：最差值: 22635.0356,最优值:2200.1981,平均值:10370.7427,标准差:5993.5317,秩和检验:1.2118e-12
GWO：最差值: 9.4909e-05,最优值:1.2972e-08,平均值:1.3578e-05,标准差:2.4729e-05,秩和检验:1.2118e-12
CS：最差值: 2990.6874,最优值:1089.3769,平均值:2021.5895,标准差:460.1041,秩和检验:1.2118e-12
WOA：最差值: 74193.8356,最优值:15546.1501,平均值:46982.3413,标准差:14771.5426,秩和检验:1.2118e-12
函数：F4
BWOA：最差值: 9.3317e-248,最优值:3.8467e-295,平均值:3.1106e-249,标准差:0,秩和检验:1
SSA：最差值: 20.4453,最优值:5.3738,平均值:12.6656,标准差:3.3563,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值: 72.1214,最优值:15.2679,平均值:39.5831,标准差:13.7038,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值: 2.4868e-06,最优值:1.3975e-07,平均值:7.1558e-07,标准差:5.3349e-07,秩和检验:3.0199e-11
CS：最差值: 15.2612,最优值:6.5205,平均值:10.6992,标准差:2.2566,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值: 89.0537,最优值:0.21692,平均值:54.5301,标准差:30.7764,秩和检验:3.0199e-11
函数：F10
BWOA：最差值: 8.8818e-16,最优值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0,秩和检验:NaN
SSA：最差值: 4.738,最优值:1.778,平均值:2.8642,标准差:0.70034,秩和检验:1.2118e-12
SCA：最差值: 20.4022,最优值:0.050963,平均值:13.4273,标准差:8.4404,秩和检验:1.2118e-12
GWO：最差值: 1.7142e-13,最优值:7.5495e-14,平均值:1.128e-13,标准差:2.1372e-14,秩和检验:1.1037e-12
CS：最差值: 14.8209,最优值:3.7456,平均值:6.9893,标准差:2.3479,秩和检验:1.2118e-12
WOA：最差值: 7.9936e-15,最优值:8.8818e-16,平均值:4.204e-15,标准差:2.6279e-15,秩和检验:3.5235e-08
函数：F11
BWOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
SSA：最差值: 0.043941,最优值:0.0011059,平均值:0.017371,标准差:0.012143,秩和检验:1.2118e-12
SCA：最差值: 1.9641,最优值:0.265,平均值:0.90762,标准差:0.33189,秩和检验:1.2118e-12
GWO：最差值: 0.022989,最优值:0,平均值:0.0030173,标准差:0.0070538,秩和检验:0.011035
CS：最差值: 1.1679,最优值:1.0378,平均值:1.0775,标准差:0.030559,秩和检验:1.2118e-12
WOA：最差值: 0.22195,最优值:0,平均值:0.012224,标准差:0.047611,秩和检验:0.1608
函数：F14
BWOA：最差值: 10.7632,最优值:0.998,平均值:2.6722,标准差:2.5979,秩和检验:1
SSA：最差值: 3.9683,最优值:0.998,平均值:1.329,标准差:0.6553,秩和检验:0.49693
SCA：最差值: 10.7632,最优值:0.998,平均值:2.3849,标准差:2.4661,秩和检验:0.11447
GWO：最差值: 12.6705,最优值:0.998,平均值:4.9094,标准差:4.5717,秩和检验:0.001721
CS：最差值: 0.998,最优值:0.998,平均值:0.998,标准差:6.4933e-16,秩和检验:0.10466
WOA：最差值: 10.7632,最优值:0.998,平均值:3.126,标准差:3.2448,秩和检验:0.032226
函数：F15
BWOA：最差值: 0.063337,最优值:0.00030758,平均值:0.0085447,标准差:0.013689,秩和检验:1
SSA：最差值: 0.020374,最优值:0.00031421,平均值:0.0027831,标准差:0.0059679,秩和检验:0.15366
SCA：最差值: 0.0015818,最优值:0.00039248,平均值:0.0010755,标准差:0.00037642,秩和检验:0.30416
GWO：最差值: 0.020363,最优值:0.00030754,平均值:0.0044294,标准差:0.0081077,秩和检验:0.0022651
CS：最差值: 0.00065692,最优值:0.0003084,平均值:0.00043142,标准差:8.7152e-05,秩和检验:1.4908e-06
WOA：最差值: 0.0021705,最优值:0.00030867,平均值:0.00080145,标准差:0.00053673,秩和检验:0.0069709

实验结果表明：BWOA该算法在收敛速度、寻优精度和稳定性方面优于现有算法。

三、参考文献

[1] Adrián F. Peña-Delgado, Hernán Peraza-Vázquez, Juan H. Almazán-Covarrubias, et al. A Novel Bio-Inspired Algorithm Applied to Selective Harmonic Elimination in a Three-Phase Eleven-Level Inverter[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2020, 2020: 8856040.