一、理论基础

1、蛇优化算法

文献[1]受蛇的特殊交配行为的启发，提出了一种新的自然启发的元启发式算法，称为蛇优化算法(Snake Optimizer, SO)。

（1）初始化

与所有的元启发式算法一样，SO从生成均匀分布的随机种群开始，以便能够开始优化算法过程。可使用下式获得初始种群： $X_i=X_{\min}+r\times(X_{\max}-X_{\min})\tag{1}$ 其中， $X_i$ 是第 $i$ 个个体的位置， $r$ 是介于0和1之间的随机数， $X_{\min}$ 和 $X_{\max}$ 分别是问题的下界和上界。

（2）种群分为两组—雄性和雌性

假设雄性个数占50%，雌性个数占50%。种群分为两组：雄性组和雌性组。使用式(2)和(3)来划分种群。 $N_m\approx N/2\tag{2}$ $N_f=N-N_m\tag{3}$ 其中， $N$ 是种群个体总数， $N_m$ 表示雄性个体数， $N_f$ 表示雌性个体数。

（3）评估每组并确定温度和食物量

找到每组中最好的个体，得到最佳的雄性个体( $f_{best,m}$ )和最佳的雌性个体( $f_{best,f}$ )以及食物位置( $f_{food}$ )。
使用下式计算温度： $\text{Temp}=\exp\left(-\frac tT\right)\tag{4}$ 其中， $t$ 表示当前迭代次数， $T$ 表示最大迭代次数。
食物量( $\text{Q}$ )使用下式计算： $\text{Q}=c_1*\exp\left(\frac{t-T}{T}\right)\tag{5}$ 其中， $c_1$ 是值为0.5的常数。

（4）探索阶段(无食物)

如果 $Q<\text{Threshold}(\text{Threshold}=0.25)$ ，蛇会通过选择任意位置来搜索食物，并更新它们相对于食物的位置。要模拟探索阶段，需执行以下操作： $X_{i,m}(t+1)=X_{rand,m}(t)\pm c_2\times A_m\times((X_{\max}-X_{\min})\times rand+X_{\min})\tag{6}$ 其中， $X_{i,m}$ 表示第 $i$ 个雄性个体位置， $X_{rand,m}$ 表示随机雄性个体的位置， $r a n d$ 是介于0和1之间的随机数， $A_m$ 是雄性个体寻找食物的能力，计算如下： $A_m=\exp\left(-\frac{f_{rand,m}}{f_{i,m}}\right)\tag{7}$ 其中， $f_{rand,m}$ 是 $X_{rand,m}$ 的适应度值， $f_{i,m}$ 是第 $i$ 个雄性个体的适应度值， $c_2$ 是值为0.05的常数。 $X_{i,f}=X_{rand,f}(t+1)\pm c_2\times A_f\times((X_{\max}-X_{\min})\times rand+X_{\min})\tag{8}$ 其中， $X_{i,f}$ 表示第 $i$ 个雌性个体的位置， $X_{rand,f}$ 表示随机雌性个体的位置， $r a n d$ 是介于0和1之间的随机数， $A_f$ 是雌性个体寻找食物的能力，计算如下： $A_f=\exp\left(-\frac{f_{rand,f}}{f_{i,f}}\right)\tag{9}$ 其中， $f_{rand,f}$ 是 $X_{rand,f}$ 的适应度值， $f_{i,f}$ 是第 $i$ 个雌性个体的适应度值。

（5）开发阶段(食物存在)

在 $\text{Q}>\text{Threshold}$ 的前提下，如果满足 $\text{Temp}>\text{Threshold}(0.6)$ (炎热)，此时蛇只会向食物方向移动。 $X_{i,j}(t+1)=X_{food}\pm c_3\times\text{Temp}\times rand\times(X_{food}-X_{i,j}(t))\tag{10}$ 其中， $X_{i,j}$ 是所有个体(雄性和雌性)的位置， $X_{food}$ 是最佳个体的位置， $c_3$ 是值为2的常数。
如果满足 $\text{Temp}<\text{Threshold}(0.6)$ (寒冷)，此时蛇将处于战斗模式或交配模式。

当蛇处于战斗模式时： $X_{i,m}(t+1)=X_{i,m}(t)\pm c_3\times FM\times rand\times(\text Q\times X_{best,f}-X_{i,m}(t))\tag{11}$ 其中， $X_{i,m}$ 表示第 $i$ 个雄性个体的位置， $X_{best,f}$ 表示雌性群体中最佳个体的位置， $F M$ 表示雄性个体的战斗能力。 $X_{i,f}(t+1)=X_{i,f}(t)\pm c_3\times FF\times rand\times(\text Q\times X_{best,m}-X_{i,f}(t))\tag{12}$ 其中， $X_{i,f}$ 表示第 $i$ 个雌性个体的位置， $X_{best,m}$ 表示雄性群体中最佳个体的位置， $F F$ 表示雌性个体的战斗能力。
$F M$ 和 $F F$ 可通过下式计算： $FM=\exp\left(-\frac{f_{best,f}}{f_i}\right)\tag{13}$ $FF=\exp\left(-\frac{f_{best,m}}{f_i}\right)\tag{14}$ 其中， $f_{best,f}$ 是雌性群体中最佳个体的适应度， $f_{best,m}$ 是雄性群体中最佳个体的适应度， $f_i$ 是当前个体的适应度。
当蛇处于交配模式时： $X_{i,m}(t+1)=X_{i,m}(t)\pm c_3\times M_m\times rand\times(\text Q\times X_{i,f}(t)-X_{i,m}(t))\tag{15}$ $X_{i,f}(t+1)=X_{i,f}(t)\pm c_3\times M_f\times rand\times(\text Q\times X_{i,m}(t)-X_{i,f}(t))\tag{16}$ 其中， $X_{i,f}$ 是第 $i$ 个雌性个体的位置， $X_{i,m}$ 是第 $i$ 个雄性个体的位置， $M_m$ 和 $M_f$ 分别是雄性和雌性的交配能力，可计算如下： $M_m=\exp\left(-\frac{f_{i,f}}{f_{i,m}}\right)\tag{17}$ $M_f=\exp\left(-\frac{f_{i,m}}{f_{i,f}}\right)\tag{18}$ 如果蛋孵化，选择最差的雄性和雌性个体并替换它们： $X_{worst,m}=X_{\min}+rand\times(X_{\max}-X_{\min})\tag{19}$ $X_{worst,f}=X_{\min}+rand\times(X_{\max}-X_{\min})\tag{20}$ 其中， $X_{worst,m}$ 是最差的雄个体， $X_{worst,f}$ 是最差的雌性个体。

2、SO算法伪代码

SO算法伪代码如图1所示。
在这里插入图片描述

图1 SO算法伪代码

二、仿真实验与结果分析

将SO与MFO、HHO和WOA进行对比，以CEC2017测试函数中的F1、F2(单峰函数/30维)，F5、F6(简单多峰函数/30维)、F14、F15(混合函数/30维)、F23、F24(合成函数/30位)，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：
在这里插入图片描述

函数：F1
SO：最差值:33974673.7307,最优值:1155333.672,平均值:10196011.2452,标准差:10254370.6097,秩和检验:1
MFO：最差值:29115737344.125,最优值:1365731153.716,平均值:9963494991.0887,标准差:7914826555.6681,秩和检验:3.0199e-11
HHO：最差值:65049090447.8205,最优值:35245462786.294,平均值:50849509866.1387,标准差:7324690706.6761,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:9471165065.8515,最优值:1987532979.0067,平均值:5297462938.994,标准差:1868211383.1812,秩和检验:3.0199e-11
函数：F2
SO：最差值:89771.8089,最优值:52558.7692,平均值:69986.3462,标准差:9649.2405,秩和检验:1
MFO：最差值:312557.7779,最优值:86620.335,平均值:185422.9748,标准差:65351.7631,秩和检验:3.6897e-11
HHO：最差值:93162.1726,最优值:76055.8727,平均值:89794.4644,标准差:3707.603,秩和检验:2.3715e-10
WOA：最差值:414014.7119,最优值:131543.3979,平均值:262109.8029,标准差:77417.8965,秩和检验:3.0199e-11
函数：F5
SO：最差值:630.4691,最优值:607.6786,平均值:617.0331,标准差:6.688,秩和检验:1
MFO：最差值:677.3797,最优值:620.2406,平均值:641.7679,标准差:14.3667,秩和检验:6.722e-10
HHO：最差值:701.0952,最优值:669.9093,平均值:684.2152,标准差:7.6866,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:717.6984,最优值:658.1284,平均值:680.385,标准差:12.3442,秩和检验:3.0199e-11
函数：F6
SO：最差值:987.1854,最优值:835.0802,平均值:912.8178,标准差:41.1131,秩和检验:1
MFO：最差值:1839.3778,最优值:853.1182,平均值:1121.697,标准差:264.1183,秩和检验:1.2493e-05
HHO：最差值:1451.4651,最优值:1227.5803,平均值:1378.0648,标准差:47.3223,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:1521.9355,最优值:1133.224,平均值:1308.4355,标准差:88.6087,秩和检验:3.0199e-11
函数：F14
SO：最差值:56298.7091,最优值:2785.1689,平均值:16945.7969,标准差:15113.6619,秩和检验:1
MFO：最差值:120041.348,最优值:4741.575,平均值:42709.3347,标准差:28102.5705,秩和检验:1.4298e-05
HHO：最差值:2342601244.6978,最优值:488004.3141,平均值:359936905.7366,标准差:507183244.3008,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:34848733.8535,最优值:462489.2436,平均值:5624854.7648,标准差:8061511.2733,秩和检验:3.0199e-11
函数：F15
SO：最差值:3163.7247,最优值:2109.8214,平均值:2646.0954,标准差:279.0975,秩和检验:1
MFO：最差值:3778.2905,最优值:2340.7927,平均值:2972.5303,标准差:361.0532,秩和检验:0.00090307
HHO：最差值:9846.4461,最优值:3770.6534,平均值:5443.3361,标准差:1587.9875,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:6082.3881,最优值:3388.2027,平均值:4328.3335,标准差:577.7778,秩和检验:3.0199e-11
函数：F23
SO：最差值:3043.5774,最优值:2895.7575,平均值:2945.502,标准差:33.0863,秩和检验:1
MFO：最差值:3059.3567,最优值:2922.609,平均值:2995.1531,标准差:36.9215,秩和检验:3.5708e-06
HHO：最差值:4078.6594,最优值:3400.9435,平均值:3666.0339,标准差:170.655,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:3512.2775,最优值:3113.2449,平均值:3295.8396,标准差:105.6938,秩和检验:3.0199e-11
函数：F24
SO：最差值:3027.5599,最优值:2895.514,平均值:2945.9496,标准差:34.5178,秩和检验:1
MFO：最差值:4716.7118,最优值:2909.5645,平均值:3309.8719,标准差:425.8871,秩和检验:7.043e-07
HHO：最差值:5747.3332,最优值:4048.9975,平均值:4739.2239,标准差:400.0802,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:3412.9083,最优值:3071.8852,平均值:3204.753,标准差:84.7944,秩和检验:3.0199e-11

实验结果表明了SO算法在不同场景的探索—开发平衡和收敛曲线速度方面的有效性。

三、参考文献

[1] Fatma A. Hashim, Abdelazim G. Hussien. Snake Optimizer: A novel meta-heuristic optimization algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 242: 108320.

基于蛇优化算法的函数寻优算法

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