一、理论基础

1、闪电连接过程优化算法

受自然界中闪电上迎先导与下行先导连接过程的启发，A. Foroughi Nematollahi等人于2017年提出了闪电连接过程优化(Lightning Attachment Procedure Optimization, LAPO)算法。
闪电连接过程的数学模型分为以下部分：初始化；确定闪电的下一跳；闪电分支消失；上迎先导的移动；连接点的确定。

（1）初始化

标准的LAPO是通过随机的方式在定义域内产生一个初始种群，种群中的每个个体代表优化问题中的一个候选解，LAPO中的个体可以看作是云层和地面之间的候选点。对于所有的候选点，都可以计算其电场值来作为目标函数的适应度值。候选点的产生可以用式(1)来描述： $X_{\text{testpoint}}^i=X_{\min}^i+(X_{\max}^i-X_{\min}^i)\times rand\tag{1}$ 其中， $X_{\min}^i$ 表示第 $i$ 个个体的下界， $X_{\max}^i$ 表示第 $i$ 个个体的上界， $r a n d$ 是一个取值范围为 $[0, 1]$ 的随机数。根据目标函数可以计算出候选点的电场值作为该候选点解的适应度，如式(2)所示： $F_{\text{testpoint}}^i=obj(X_{\text{testpoint}}^i)\tag{2}$

（2）确定闪电的下一跳

首先计算出所有候选点的平均值点，再计算平均值点的适应度值，如式(3)所示： $X_{\text{ave}}=mean(X_{\text{testpoint}})\tag{3}$ $F_{\text{ave}}=obj(X_{\text{ave}})\tag{4}$ 该过程的数学描述如下(点 $j$ 的适应度优于平均值点的适应度)，则闪电向此点移动，否则，闪电移向另一个方向。
如果电位点 $j$ 的电场高于平均值点的电场，则使用式(5)来描述： $testpoint_new i = X testpoint i + r a n d × ( X ave + r a n d × ( X potential point j ) ) (5) X_{\text{testpoint\_new}}^i=X_{\text{testpoint}}^i+rand\times(X_{\text{ave}}+rand\times(X_{\text{potential point}}^j))\tag{5}$ 如果电位点 $j$ 的电场低于平均值点的电场，则使用式(6)来描述： $testpoint_new i = X testpoint i − r a n d × ( X ave + r a n d × ( X potential point j ) ) (6) X_{\text{testpoint\_new}}^i=X_{\text{testpoint}}^i-rand\times(X_{\text{ave}}+rand\times(X_{\text{potential point}}^j))\tag{6}$

（3）闪电分支消失

如果新候选点的电场值高于前一个点的电场值(如果新候选点的适应度值优于前一个候选点)，则新候选点所在的分支保留，反之，该分支消失。该特征的数学表达如式(7)所示： $testpoint_new i if F testpoint_new i < F testpoint i X testpoint_new i = X testpoint i otherwise (7) \begin{array}{c}X_{\text{testpoint}}^i=X_{\text{testpoint\_new}}^i&\quad \text{if}\,\,F_{\text{testpoint\_new}}^i<F_{\text{testpoint}}^i\\[2ex]X_{\text{testpoint\_new}}^i=X_{\text{testpoint}}^i&\quad\text{otherwise}\end{array}\tag{7}$ 以上过程是算法的第一个阶段，在这个阶段可以视为下行先导向地面移动的阶段。

（4）上迎先导的移动

在第一个阶段中，所有的候选点都被认为是下行先导，并向下移动。在第二个阶段，所有的候选点都被认为是上迎先导，并向上移动。上迎先导的移动和下行引导的电荷分布有关，下行先导的电荷沿闪电通道大致呈指数分布。其中指数因子可以用式(8)表示： $S=1-\left(\frac{t}{t_{\max}}\right)\times\exp\left(-\frac{t}{t_{\max}}\right)\tag{8}$ 其中， $t$ 是当前迭代次数， $t_{\max}$ 是最大迭代次数。另外，上迎先导的下一个候选点的选择过程可以用式(9)来描述： $testpoint_new = X testpoint_new + r a n d × S × ( X min ⁡ − X max ⁡ ) (9) X_{\text{testpoint\_new}}=X_{\text{testpoint\_new}}+rand\times S\times(X_{\min}-X_{\max})\tag{9}$ 其中， $X_{\min}$ 和 $X_{\max}$ 分别为种群的最佳解和最差解， $S$ 为指数因子， $r a n d$ 为取值范围 $[0, 1]$ 的随机数。

（5）连接点的确定

当上迎先导和下行先导彼此相遇时，连接点确定，闪电连接过程停止，若满足算法终止条件，则优化完成。此外，算法原作者为了提高该算法的性能，使标准LAPO在每次迭代后都计算出当前种群的平均解，并得到平均解的适应度。如果最劣解的适应度比平均解的要小，则用平均解代替最劣解。

2、LAPO算法伪代码

LAPO算法伪代码如图1所示。
在这里插入图片描述

图1 LAPO算法伪代码

二、仿真实验与结果分析

以常用23个测试函数中的F1、F2(单峰函数/10维)、F9、F10(多峰函数/10维)、F14、F15(固定维度多峰函数/2维、4维)为例，实验设置种群规模为40，最大迭代次数为1000，结果显示如下：
在这里插入图片描述

The optimal solution of F1 is : 3.4263e-31  -7.936e-31 -5.1933e-30  1.9042e-30  2.3025e-30    -7.4e-30 -4.0046e-30 -7.3702e-30   -2.25e-30 -1.3549e-30
The optimal value of F1 is : 1.6866e-58
The optimal solution of F2 is : -2.9832e-30  6.1059e-30 -3.2436e-30 -1.2833e-30  1.2854e-30  5.6532e-30  4.1092e-30  4.7374e-30 -1.2879e-31 -3.0473e-30
The optimal value of F2 is : 3.2577e-29
The optimal solution of F9 is : 3.6402e-05  -0.0070284  -0.0019191  -0.0025324  -0.0058251   0.0050007   0.0040458   0.0014212  -0.0004897  -0.0041188
The optimal value of F9 is : 0.030555
The optimal solution of F10 is : -6.5985e-16  1.3855e-15  6.8597e-16  -5.286e-16 -1.0491e-15 -2.9669e-15  9.1484e-16 -4.9057e-16  1.1125e-15 -1.4211e-15
The optimal value of F10 is : 4.4409e-15
The optimal solution of F14 is : -31.9419     -31.9808
The optimal value of F14 is : 0.998
The optimal solution of F15 is : 0.19283     0.19084     0.12312     0.13577
The optimal value of F15 is : 0.00030749

实验结果表明：LAPO算法具有良好的优化性能。

三、参考文献

[1] A. Foroughi Nematollahi, A. Rahiminejad, B. Vahidi. A novel physical based meta-heuristic optimization method known as Lightning Attachment Procedure Optimization[J]. Applied Soft Computing, 2017, 59: 596-621.
[2] 杨帅. 基于改进闪电连接过程算法和多维熵的图像分割方法研究[D]. 武汉: 湖北工业大学, 2020.

基于闪电连接过程优化算法的函数寻优算法

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