基于动物迁徙优化算法的函数寻优算法

一、理论基础

1、动物迁徙优化算法

动物迁徙优化(Animal Migration Optimization, AMO)算法是李祥涛等于2013年提出的一种用于求解函数优化问题的新型群智能优化算法。AMO算法突出优点是可调节的参数少，算法实现简单且精度相对较高。同时，AMO有较强的广度和深度全局搜索能力，一般不会陷入局部最优，这使得AMO具有广阔的应用前景。
动物迁徙优化算法是模拟上述动物行为的优化算法，动物迁徙算法主要分为种群迁徙过程和个体更新过程。为了便于描述动物迁徙优化算法，首先做以下2个理想假设：

1. 动物种群所处栖息地最优的动物个体将会保存到下一代。
2. 动物种群在迁徙过程中，有的动物会离开种群，同时有新的动物个体会加入种群，假设动物种群的规模是确定的，动物会依概率$P_a$被新的个体所替代。

在迁徙过程中，算法模拟动物群体从当前所处栖息地域迂往新的所处栖息地域。在这个过程中，每个个体应当服从以上2个准则。在更新过程中，一些动物离开动物群体，一些动物又加入到动物群体。假定有一个全局最优解和候选的个体，置$D$维空间编码向量表示一个个体，用最大值和最小值约束$D$维向量；初始化种群大小为$NP$，动物个体可表示为： X → min ⁡ = { x 1 , min ⁡ , x 2 , min ⁡ , ⋯   , x D , min ⁡ } (1) \overrightarrow X_{\min}=\left\{x_{1,\min},x_{2,\min},\cdots,x_{D,\min}\right\}\tag{1} X min​={ x1,min​,x2,min​,⋯,xD,min​}(1) X → max ⁡ = { x 1 , max ⁡ , x 2 , max ⁡ , ⋯   , x D , max ⁡ } (2) \overrightarrow X_{\max}=\left\{x_{1,\max},x_{2,\max},\cdots,x_{D,\max}\right\}\tag{2} X max​={ x1,max​,x2,max​,⋯,xD,max​}(2)因此，第$i$个向量的第$j$个分量初始化为：$$x_{j,i,0}=x_{j,\min }+{\text{rand}}_{i,j}[0,1]\cdot (x_{j,\max }-x_{j,\min })\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，${\text{rand}}_{i,j}[0,1]$是在0和1之间服从均匀分布的随机数，$i=1,2,\cdots ,NP$，$j=1,2,\cdots ,D$。
在动物迁徙过程中，动物会迁往食物丰富、水源充足、气候条件适宜的区域，此栖息地域可根据最优个体的位置确定最适宜动物所处栖息地域。动物个体服从3个准则：（1）个体和它邻居的位置不会冲突；（2）个体和邻居朝着相同的方向进斤迁徙；（3）新的个体仍然和原邻居相邻。对于第一条准则，要求群体中每个个体的位置不同。对于后两个准则，要求个体应当根据它邻居的当前位置迁往一个新的位置。图1采用一个环状拓扑结构解释个体邻居的定义。为了便于说明，设置每一维设置邻居的个数为5。如果个体的下标是$i$，那么它的邻居下标是由下标为$i-2,i-1,i,i+1,i+2$组成。如果个体的下标是$1$，那么它的邻居下标是由下标为$NP-1,NP,1,2,3$组成。如果个体的下标是$2$，那么它的邻居下标是由下标为$NP,1,2,3,4$组成。如果个体的下标是$NP$，那么它的邻居下标是由下标为$NP-2,NP-1,NP,1,2$组成。如果个体的下标是$NP-1$，那么它的邻居下标是由下标为$NP-3,NP-2,NP-1,NP,1$组成。邻居的拓扑结构建立之后，随机选择一个邻居，然后根据它邻居的位置更新个体的位置，更新公式如下：$$X_{i,G+1}=X_{i,G}+\delta \cdot (X_{\text{neighboorhood},G}-X_{i,G})\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$X_{\text{neighboorhood},G}$是邻居的当前位置；根据不同的问题可以改变$\delta$的值，本文的$\delta$是由高斯分布生成的随机数；$X_{i,G}$是第$i$个个体的位置；$X_{i,G+1}$是第$i$个个体的新位置。

图1 当前个体邻居示意图

在动物种群个体更新过程中，一些个体离开群体，同时一些个体又加入到群体中，假定群体的数量是恒定的，旧的个体会被新的个体按照概率$P_a$所取代。通过个体的适应度值来设置$P_a$，对于最好的适应度值，$P_a$为1，对于最差的适应度值，$P_a$为1/NP。该过程实施步骤如下：
其中，$r_1,r_2\in [1,NP]$随机选取的整数，且$r_1\ne r_2\ne i$。当产生新的后代解$X_{i,G+1}$​后，会对$X_{i,G}$和$X_{i,G+1}$的适应度进行比较，如果新解更优才被保存至下一代。
随着时间的推移，动物的生存区域内食物量不断减少，当食物耗尽时，动物耍迁出原栖息区域，即进行新一轮的迁徙，这样就完成了动物迁徙的过程。

2、AMO算法伪代码

标准的AMO算法伪代码如图2所示。

图2 AMO算法伪代码

二、仿真实验与分析

将AMO与PSO、DE、CS、GSA和ABC进行对比，实验设置种群规模为50，最大迭代次数为1500，每个算法独立运行25次，以常用23个测试函数中的F1、F2(单峰函数/30维)、F10、F11(多峰函数/30维)、F18、F19(固定维度多峰函数/2维、3维)为例，结果显示如下：

函数：F1
PSO：最差值: 149.6465, 最优值: 24.171, 平均值: 74.1763, 标准差: 36.5306, 秩和检验: 1.4157e-09
DE：最差值: 1.7842e-15, 最优值: 7.6355e-17, 平均值: 4.5412e-16, 标准差: 4.2518e-16, 秩和检验: 1.4157e-09
CS：最差值: 1.4179e-05, 最优值: 2.7967e-06, 平均值: 5.5278e-06, 标准差: 2.4281e-06, 秩和检验: 1.4157e-09
GSA：最差值: 3.0655e-17, 最优值: 1.0815e-17, 平均值: 1.7966e-17, 标准差: 4.4299e-18, 秩和检验: 1.4157e-09
ABC：最差值: 3.6496e-08, 最优值: 4.3648e-09, 平均值: 1.352e-08, 标准差: 6.9537e-09, 秩和检验: 1.4157e-09
AMO：最差值: 1.4194e-48, 最优值: 3.7815e-50, 平均值: 3.3755e-49, 标准差: 3.4229e-49, 秩和检验: 1
函数：F2
PSO：最差值: 7.0552, 最优值: 2.0069, 平均值: 4.3942, 标准差: 1.5362, 秩和检验: 1.4157e-09
DE：最差值: 1.5849e-07, 最优值: 1.0658e-08, 平均值: 6.0266e-08, 标准差: 3.8856e-08, 秩和检验: 1.4157e-09
CS：最差值: 0.13762, 最优值: 0.021838, 平均值: 0.058907, 标准差: 0.031631, 秩和检验: 1.4157e-09
GSA：最差值: 2.7006e-08, 最优值: 1.2876e-08, 平均值: 2.1022e-08, 标准差: 3.6661e-09, 秩和检验: 1.4157e-09
ABC：最差值: 7.7496e-08, 最优值: 2.3459e-08, 平均值: 4.782e-08, 标准差: 1.5489e-08, 秩和检验: 1.4157e-09
AMO：最差值: 1.7473e-26, 最优值: 2.3689e-27, 平均值: 9.021e-27, 标准差: 3.6268e-27, 秩和检验: 1
函数：F10
PSO：最差值: 8.7501, 最优值: 4.1375, 平均值: 6.127, 标准差: 0.99632, 秩和检验: 9.7285e-11
DE：最差值: 1.2229e-08, 最优值: 2.6363e-09, 平均值: 5.8608e-09, 标准差: 2.5608e-09, 秩和检验: 9.7285e-11
CS：最差值: 6.2232, 最优值: 0.24773, 平均值: 2.308, 标准差: 1.2014, 秩和检验: 9.7285e-11
GSA：最差值: 3.9279e-09, 最优值: 2.3455e-09, 平均值: 3.2144e-09, 标准差: 4.2036e-10, 秩和检验: 9.7285e-11
ABC：最差值: 5.3041e-05, 最优值: 1.9564e-05, 平均值: 3.4627e-05, 标准差: 8.9912e-06, 秩和检验: 9.7285e-11
AMO：最差值: 4.4409e-15, 最优值: 4.4409e-15, 平均值: 4.4409e-15, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F11
PSO：最差值: 2.4037, 最优值: 1.2683, 平均值: 1.6339, 标准差: 0.31542, 秩和检验: 1.3762e-10
DE：最差值: 3.8747e-14, 最优值: 0, 平均值: 2.0384e-15, 标准差: 7.6713e-15, 秩和检验: 3.8012e-07
CS：最差值: 0.0052815, 最优值: 9.7176e-05, 平均值: 0.0013631, 标准差: 0.0012985, 秩和检验: 1.3762e-10
GSA：最差值: 1.2262, 最优值: 0, 平均值: 0.31909, 标准差: 0.43684, 秩和检验: 2.7661e-08
ABC：最差值: 0.00080241, 最优值: 1.3309e-07, 平均值: 3.3862e-05, 标准差: 0.00016014, 秩和检验: 1.3762e-10
AMO：最差值: 1.1102e-16, 最优值: 0, 平均值: 4.4409e-18, 标准差: 2.2204e-17, 秩和检验: 1
函数：F18
PSO：最差值: 3, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 1.2979e-15, 秩和检验: 0.17351
DE：最差值: 3, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 1.3597e-15, 秩和检验: 0.13047
CS：最差值: 3, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 7.3644e-16, 秩和检验: 0.17095
GSA：最差值: 3, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 1.7507e-15, 秩和检验: 1.2715e-07
ABC：最差值: 3, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 3.0647e-15, 秩和检验: 1.8763e-09
AMO：最差值: 3, 最优值: 3, 平均值: 3, 标准差: 1.0094e-15, 秩和检验: 1
函数：F19
PSO：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.2662e-15, 秩和检验: NaN
DE：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.2662e-15, 秩和检验: NaN
CS：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.2662e-15, 秩和检验: NaN
GSA：最差值: -2.8367, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.4245, 标准差: 0.25433, 秩和检验: 3.6574e-10
ABC：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.2662e-15, 秩和检验: NaN
AMO：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.2662e-15, 秩和检验: NaN

实验结果表明：AMO算法优于对比算法。

三、参考文献

[1] Li, X., Zhang, J., Yin, M. Animal migration optimization: an optimization algorithm inspired by animal migration behavior[J]. Neural Computing and Applications, 2014, 24: 1867-1877.
[2] 马明智. 动物迁徙算法及其应用研究[D]. 南宁: 广西民族大学, 2015.