一、理论基础

1、帝国竞争算法

Gargari等人于2007年提出了帝国竞争算法(Imperialist Competitive Algorithm, ICA)，其灵感源于人类社会帝国殖民竞争机制，是一种完全受社会行为启发的群体随机优化搜索算法。ICA可归纳为国家初始化、殖民地同化、帝国竞争、国家汇聚四个流程。

1.1 国家初始化

定义初始国家为： $country=[p_1,p_2,\cdots,p_N]\tag{1}$ 与遗传算法每一个向量代表一个染色体不同的是，数列中的每一维代表国家的一个特征。
国家的势力值由所求的函数值来表示，即： $cost=f(country)=f([p_1,p_2,\cdots,p_N])\tag{2}$ 算法开始时，随机产生 $N_{pop}$ 个初始国家，并根据势力大小划分为两种类型：势力最大的前 $N_{imp}$ 个国家为宗主国，其余的为殖民地国家，按照下列流程，根据宗主国的势力来划分殖民地的归属国。
1）根据各个帝国对应的函数值 $c_n$ ，计算帝国主义国家的归一化势力值 $C_n$ ： $C_n=c_n-\max_{i}\{c_i\}\tag{3}$ 2）计算归一化势力的相对值 $P_n$ ，以此得出每个帝国占有殖民地的初始数量 $NC_n$ ： $P_n=\left|\frac{C_n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N_{imp}}C_i}\right|\tag{4}$ $NC_n=round\{P_n\cdot N_{col}\}\tag{5}$ 其中， $N_{col}$ 表示殖民地国家的数目； ${ } round\{ \}$ 为四舍五入取整函数。
3）将所有殖民地国家随机分配到各宗主国，组成初始的 $N_{imp}$ 个帝国。

1.2 殖民地同化

宗主国为了便于管辖其拥有的殖民地国家，需要在政治、经济、文化等各方面进行殖民同化，算法通过殖民地向宗主国移动来表示。 $x\sim U(0,\beta\times d)\tag{6}$ $\theta\sim U(-\gamma,\gamma)\tag{7}$ 其中， $x$ 表示移动距离； $d$ 表示殖民地和宗主国间的距离； $\beta$ 为移动参数，取值大于1使殖民地国家能从前后方向朝宗主国靠近；为了扩大搜索范围，加入一个随机的角度偏移参数 $\theta$ ，其中 $\gamma$ 值一般为 $\pi/4$ 。
在同化过程中，如果移动后某个殖民地势力大于其宗主国，则殖民地和宗主国互换位置，帝国中的其他殖民地向新宗主国的位置移动。这个过程确保了宗主国的位置在寻优过程中始终保持相对最优。

1.3 帝国竞争

所有宗主国都想要占领其他宗主国的殖民地以增强帝国的势力，这种竞争机制使强大的帝国更加强大，弱小的帝国将逐渐衰落，直至消亡。原始ICA选取最弱帝国中的最弱殖民地作为帝国竞争的对象，所有帝国都有机会占有这个殖民地国家，且帝国势力越大，占有的概率越大。
帝国势力值 $TC_n$ 的计算方法如下： $TC_n=Cost(imperialist_n)+\xi\cdot mean\left\{Cost(colonies)\right\}\tag{8}$ 其中， $Cost(imperialist_n)$ 为宗主国的归一化势力值； $C o s t (c o l o n i e s)$ 为帝国所辖殖民地的归一化势力值； ${ } mean\{\}$ 为均值函数； $\xi$ 表示殖民地占帝国势力的权重值。可以看出，帝国总势力值为宗主国及其所辖殖民地的势力值之和。