白骨顶鸡优化算法（Coot Optimization Algorithm，COOT）

一、算法灵感

  白骨顶鸡优化算法(Coot Optimization Algorithm, COOT)是2021年提出的一种元启发式优化算法，灵感来源于白骨顶鸡的移动习性。算法对白骨顶鸡种群进行了层级划分，适应度值高者为种群领导者，其余为跟随者。跟随者具有两种位置更新方式，分别为主动更新和被动更新。主动更新过程中，跟随者根据链式运动或随机运动更新位置，并不依赖领导者;在被动更新过程中，跟随者需要向领导者方向发生靠拢。种群需要朝着最佳区域前进，因此在跟随者向领导者靠拢的同时，领导者也要同时不断调整自身位置向最优区域靠近。图1展示了白骨顶鸡的具体移动过程。

图1 白骨顶鸡移动过程

二、算法介绍

2.1 初始化

  在COOT中，初始化白骨顶鸡种群位置的计算公式如下：
$$CootPos(i)=rand(1,\dim ).\ast (ub-lb)+lb\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$CootPos(i)$ 表示第i只白骨顶鸡的位置，$ub$ 和 $lb$ 分别表示搜索空间的上界和下界，$rand$ 为 $0$ 到 $1$ 之间的随机数，$dim$ 表示维度。
  从白骨顶鸡种群中随机选取 $NL$ 只白骨顶鸡作为领导者，记为 $LeaderPos$，剩余的 $Ncoot$ 只白骨顶鸡为跟随者，记为 $FollowPos$，$NL$ 和 $Ncoot$ 的计算公式如下：
$$NL=Npop\times P\text{\hspace{1em}(2)}$$$$Ncoot=Npop-NL\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$Npop$ 为种群数量，$P$ 为参数 $0.1$。

2.2 跟随者位置更新(探索阶段)

2.2.1 主动更新

  当一个取值范围为 $[0,1]$ 的随机数 $ran{d}_1>0.5$ 时，白骨顶鸡跟随者将选择主动更新策略，主动更新策略包括两种运动方式，通过一个取值范围为 $[0,1]$ 的随机数 $ran{d}_2$ 来决定选择哪一种运动方式。

2.2.1.1 随机运动

  当 $ran{d}_2<0.5$ 时白骨顶鸡跟随者进行随机运动，为了体现运动的随机性，首先在位置空间内生成一个随机位置 $Q$。其数学公式如下：
$$Q=rand(1,d).\ast (ub-lb)+lb\text{\hspace{1em}(4)}$$  然后白骨顶鸡个体会向移动到随机生成的位置，其数学公式如下：
$$FollowPos(i)=FollowPos(i)+A\times R_1\times (Q-FollowPos(i))\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$FollowerPos(i)$ 表示第i个跟随者的位置，$R_1$ 是区间 $[0,1]$ 中的随机数，参数 $A$ 为在 $[0,1]$ 中线性递减的因子。其计算公式如下：
$$A=1-t\times (1/MaxIter)\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，$t$ 是当前迭代次数，$MaxIter$ 是最大迭代次数。

2.2.1.2 链式运动

  当 $ran{d}_2>0.5$ 时，执行链式运动，算法将相邻两只白骨顶鸡的中间位置用于实现链式运动。其数学公式如下：
$$FollowPos(i)=0.5\times (FollowPos(i-1)+FollowPos(i))\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$FollowPos(i-1)$ 是上一只白骨顶鸡跟随者的位置。

2.2.2 被动更新

  当 $ran{d}_1<0.5$ 时，白骨顶鸡跟随者选择领导者引导更新位置。通常情况下，种群由前面的几只白骨顶鸡领导，其他个体必须根据领导者调整自己的位置，并向它们移动。为了实现这一运动利用式(8)的机制选择领导者。
$$k=1+(i)mod(NL)\text{\hspace{1em}(8)}$$其中，$i$ 是跟随者的索引数，$k$ 是领导者的索引数，$mod$ 为取余函数。跟随者随领导者的位置更新公式如下：
$$FollowPos(i)=LeadPos(k)+2\times R_2\times \cos (2R\pi )\times (LeaderPos(k)-FollowPos(i))\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$LeaderPos(k)$ 为第 $k$ 个领导者的位置，$R$ 和 $R_2$ 为区间 $[0,1]$ 中的随机数，$\pi$ 为圆周率的值。

2.3 领导者位置更新(开发阶段)

$$LeaderPos(i)=\{\begin{array}{r}B\times R_3\times \cos (2R\pi )\times (gBest-LeaderPos(i))+gBest{R}_4<0.5\\ B\times R_3\times \cos (2R\pi )\times (gBest-LeaderPos(i))-gBest{R}_4\ge 0.5\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$其中，$LeaderPos(i)$ 为第 $i$ 个领导者的位置，$gBest$ 是种群最优位置，$R_3$ 和 $R_4$ 是区间 $[0,1]$ 中的随机数，参数 $B$ 为在 $[0,2]$ 中线性递减的因子，$B$ 根据公式(11)计算：
$$B=2-t\times (1/MaxIter)\text{\hspace{1em}(11)}$$

2.4 COOT算法的伪代码

1. 初始化白骨顶鸡数量 $N$ 和最大迭代次数 $MaxIter$ 等
2. 根据(2)、(3)式对种群进行层级划分，并对种群进行初始化：$CootPo{s}_i(i=1,2,...,N)$
3. while $t<MaxIter$ do
4.   分别计算跟随者和领导者的适应度值，并找到适应度值最佳的白骨顶鸡 $gBest$
5.   For $i=1$ to $Ncoot$ do
6.     If $ran{d}_1>0.5$ then
7.       If $ran{d}_2<0.5$ then
8.         根据式(5)更新跟随者位置
9.       Else
10.         根据式(7)更新跟随者位置
11.       End If
12.     Else
13.       根据(9)式更新跟随者位置
14.     End If
15.   End For
16.   For $i=1$ to $NP$ do
17.     根据(10)式更新领导者位置
18.   End For
19. End While
20. 返回吃的最饱的白骨顶鸡(最优解) $gBest$

三、实验结果

COOT在23个经典测试函数(设置维度 $dim=30$)的F1、F5、F8中的收敛曲线，测试函数公式如下：

函数	公式	理论值
F1	$$F_1(x)={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$$	$0.00$
F5	$$F_5(x)={\sum }_{i=1}^{n-1}[100{(x_{i+1}-x_i^2)}^2+{(x_i-1)}^2]$$	$0.00$
F8	$$F_8(x)={\sum }_{i=1}^n-x_i\sin (\sqrt{|x_i|})$$	$-418.9829\times dim$

3.1 F1收敛曲线

3.2 F5收敛曲线

3.3 F8收敛曲线

四、改进白骨顶鸡优化算法

点这里：改进的白骨顶鸡优化算法（Improved Coot Optimization Algorithm，ICOOT）

五、参考文献

[1] Naruei I, Keynia F. A new optimization method based on COOT bird natural life model[J]. Expert Systems with Applications, 2021, 183, 115352.