基于五行环优化算法的函数寻优算法

一、理论基础

1、五行环优化算法

借鉴中国古代哲学理论所描述的系统动态平衡方法，文献[1]提出了解决连续函数优化问题的五行环优化算法(Five-elements cycle optimization algorithm, FECO)。一个无约束的连续函数优化问题可表达为式(1)：$$\min f(x)\text{s.t.}x\in {\left[x_d^{\text{(low)}},x_d^{\text{(high)}}\right]}^D\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_D{)}^{\text{T}}\in {\mathbf{R}}^D$为$D$维决策向量, ${\left[x_d^{\text{(low)}},x_d^{\text{(high)}}\right]}^D(d=1,2,\cdots ,D)$是搜索空间的可行区域，$f:{\mathbf{R}}^D\to \mathbf{R}$为目标函数的映射。
基于五行环模型，本文构建了一种五行环优化算法(Five-elements cycle optimization, FECO)来获取$f(x)$的最优解。

（1）解的表达与种群结构

将$f(x)$的每一个解对应于五行环模型中的每一个元素，在FECO算法中，将所有元素(即当前所有可行解)划分为$q$个环,每个环包含$L$个元素，即种群规模为$L\times q$。
用$x_{ij}(k)$表示第$k$代时第$j$个环中的第$i$个元素，$x_{ij}(k)$即为$f(x)$的一个解。$m_{ij}(k)$是元素$x_{ij}(k)$的质量，对应为目标函数$f(x_{ij}(k))$的值。$x_{ij}(k)$受到的来自第$j$个环中的其他元素的作用力记为$F_{ij}(k)$，用式(2)表达。$$\begin{gathered} F_{ij}(k)= \\ {w}_{gp}\ln \left[\frac{m_{(i-1)j}(k)}{m_{ij}(k)}\right]-w_{rp}\ln \left[\frac{m_{(i-2)j}(k)}{m_{ij}(k)}\right]- \\ {w}_{ga}\ln \left[\frac{m_{ij}(k)}{m_{(i+1)j}(k)}\right]-w_{ra}\ln \left[\frac{m_{ij}(k)}{m_{(i+2)j}(k)}\right]\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$FECO是一个迭代算法。当$k=0$时，随机产生$L\times q$个初始元素$x_{ij}(0)(i=1,2,\cdots ,L;j=1,2,\cdots ,q)$，并计算它们的质量(即目标函数)，表示为$m_{ij}(0)$。同时，设置初始的$F_{ij}(0)$均为0。在第$k$代时，首先计算元素$x_{ij}(k)$的质量$m_{ij}(k)$，并通过式(2)计算其受力$F_{ij}(k)$。$F_{ij}(k)$的值表征了元素$x_{ij}(k)$的优劣，根据$F_{ij}(k)$决定元素从$x_{ij}(k)$更新至$x_{ij}(k+1)$的方式。随着迭代过程的进行，较好的元素被保留，较差的元素被替换，当达到最大迭代代数时，可获取优化问题的最好解。

（2）元素的更新

$x_{ij}(k+1)$的更新依赖于$F_{ij}(k)$。如果$F_{ij}(k)>0$，说明$x_{ij}(k)$是一个较好解，因为从系统平衡的角度分析，$m_{ij}(k)$越小，$F_{ij}(k)$才会表现出越大，大的受力才能使该元素变得强壮，从而使各元素质量进一步趋同。在这种情况下，$x_{ij}(k)$应该保留在解空间，因此：$$x_{ij}(k+1)=x_{ij}(k),\text{if}{F}_{ij}(k)>0\text{\hspace{1em}(3)}$$如果$Fij(k)\le 0$，说明$x_{ij}(k)$可能不是一个较好解，因为其受力$F_{ij}(k)$为负，表明系统期望该元素变得更加衰弱，也即说明其本身的质量$m_{ij}(k)$比较大。因$x_{ij}(k)$是一个$D$维向量，将其表示为${\left[x_{ij,1}(k),x_{ij,2}(k),\cdots ,x_{ij,d}(k),\cdot \cdot \cdot ,x_{ij,D}(k)\right]}^{\text{T}}$。在这种情况下，应该对$x_{ij}(k)$进行替换，而且应该在较好解的邻域内产生新解，为此将$x_{ij,d}(k+1)$按照下式进行更新：$$x_{ij,d}(k+1)=\{\begin{array}{l}{x}_{i^{\ast }j,d}(k)+r_s\times p_s\times \left[x_{i^{\ast }j,d}(k)-x_{ij,d}(k)\right]r_m<p_m\\ x_{\text{best},d}(k)+r_s\times p_s\times \left[x_{\text{best},d}(k)-x_{i^{\ast }j,d}(k)\right]r_m\ge p_m\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$上式中，$p_s$是一个尺度因子，$p_m$是一个预先给定的概率值；$r_s$是$[-1,1]$区间的随机数，$r_m$是$[0,1]$区间的随机数；$x_{i^{\ast }j}(k)$是第$j$个环中受力最
大的元素，即 F i ∗ j ( k ) ≥ F i j ( k ) ( i ∗ ∈ { 1 , 2 , ⋯   , L } , i ∀ { 1 , 2 , ⋯   , L } ) , x i ∗ j ( k ) = [ x i ∗ j , 1 ( k ) , x i ∗ j , 2 ( k ) , ⋯   , x i ∗ j , d ( k ) , ⋯   , x i ∗ j , D ( k ) ] T F_{i^*j}(k) \geq F_{ij}(k) (i^*\in\{1, 2, \cdots , L\},i\forall\{1, 2, \cdots , L\}), x_{i^*j}(k) = \left[x_{i^*j,1}(k), x_{i^*j,2}(k), \cdots,x_{i^*j,d}(k), \cdots , x_{i^*j,D}(k)\right]^\text T Fi∗j​(k)≥Fij​(k)(i∗∈{ 1,2,⋯,L},i∀{ 1,2,⋯,L}),xi∗j​(k)=[xi∗j,1​(k),xi∗j,2​(k),⋯,xi∗j,d​(k),⋯,xi∗j,D​(k)]T；$x_{\text{best}}$是当前最优解，$x_{\text{best}}={\left[x_{\text{best},1},x_{\text{best},2},\cdots ,x_{\text{best},d},\cdots ,x_{\text{best},D}\right]}^{\text{T}}$。
式(3)的含义是：$x_{ij}(k)$在给定的概率$p_m$下，被替换为第$j$个环中受力定义下的最好元素$x_{i^{\ast }j}(k)$的变异解，在$1-p_m$概率下，$x_{ij}(k)$被替换为当前全局最优解$x_{\text{best}}$的变异解。

2、FECO算法流程图

FECO算法流程图如图1所示。

图1 FECO算法流程图

二、仿真实验与结果分析

以常用23个测试函数中的F1、F2(单峰函数/30维)、F8、F9(多峰函数/30维)、F14、F15(固定维度多峰函数/2维、4维)为例，实验设置种群规模为100，最大迭代次数为1000，结果显示如下：

The optimal solution of F1 is : 6.4195e-08  3.0044e-08  4.3688e-08  1.2835e-08  1.4491e-08  4.4382e-08  3.5441e-08  1.3276e-07  2.0114e-08  8.9243e-08 -9.6253e-08  1.0207e-07 -6.7655e-08  2.4077e-08 -6.3577e-08  2.4348e-08 -1.7105e-08 -3.1961e-09  8.7965e-08 -1.0524e-07 -3.2379e-10  7.0113e-08 -6.7562e-08  7.8477e-08  4.8481e-08  6.3626e-08  3.3251e-08   4.331e-08 -1.0779e-07 -1.1301e-07
The optimal value of F1 is : 1.3453e-13
The optimal solution of F2 is : -1.9044e-11  7.4574e-12  4.4701e-12 -7.2547e-11  6.6887e-12 -2.3981e-12 -4.2486e-11  1.1616e-11  1.4271e-11 -3.0126e-11  1.0381e-10  2.8914e-11  3.9717e-12  2.9573e-11   -3.27e-11  1.3441e-11 -8.5816e-11  6.2438e-11  1.5156e-12  4.6119e-11 -9.9381e-13 -2.2847e-12  1.8971e-11  2.1247e-11  1.8279e-11 -5.7515e-12 -8.8369e-11  7.3003e-12 -3.5928e-11 -9.5395e-11
The optimal value of F2 is : 9.1392e-10
The optimal solution of F8 is : 65.56596     -302.4528          -500          -500      420.9302      -302.483      65.65667          -500       420.942     -25.93254     -124.8593       421.131      5.335188     -302.7866      66.45894      420.9256      421.0049     -302.6167      421.1803      420.9491     -25.85588      202.9011      203.1681      203.7874      203.7505          -500     -302.3662      -295.189      420.9522      203.8041
The optimal value of F8 is : -7245.5347
The optimal solution of F9 is : -1.0328   0.0090452     0.99803     0.98874   -0.021477     0.97054     0.96746    0.051896     0.99072   0.0043408   -0.057683    0.025392    0.043788     0.07003     -1.0113   0.0036244    0.026012     0.99238     -1.0065    -0.98641 -0.00090399     0.97552     0.92003     0.98293  -0.0098614   0.0094655   0.0032974    0.022392      1.0264    0.025753
The optimal value of F9 is : 19.1386
The optimal solution of F14 is : -31.9783     -31.9783
The optimal value of F14 is : 0.998
The optimal solution of F15 is : 0.1609       1.989     0.85818     0.75055
The optimal value of F15 is : 0.00063487

实验结果表明：FECO算法在求解连续函数优化问题上具有较好的优化性能。

三、参考文献

[1] 刘漫丹. 一种新的启发式优化算法——五行环优化算法研究与分析[J]. 自动化学报, 2020, 46(5): 957-970.