基于法医调查算法的函数寻优算法

一、理论基础

1、法医调查算法

文献[1]提出了了一种新的优化算法，称为法医调查算法(Forensic-based investigation algorithm, FBI)，其灵感来自警官使用的嫌疑人调查-定位-追捕过程。
警察的大规模案件调查通常包括五个步骤，其中步骤2、3和4可视为一个循环过程。

1. 立案：对这起事件的调查从最先到达犯罪现场的警察发现的信息开始。这些信息构成了调查小组成员的主要出发点，他们从遵循几个标准程序开始，以获得可能发生的事情的第一印象。小组成员调查犯罪现场、受害者、可能的嫌疑人及其背景信息；小组找到证人并询问证人。
2. 分析调查结果：通过在团队简报中共享信息，团队成员试图获得所有可用信息的概述。在第二步中，团队评估信息，并尝试将信息与他们对案件已有的印象联系起来，以评估可能的嫌疑人。
3. 调查方向：在调查的第三步中，团队成员根据对调查结果的分析，做出几种猜想(包括犯罪场景、犯罪动机和调查路线)。团队再次评估调查结果，得出新的方向，或确认、更改或终止现有的调查方向。
4. 行动：在确定了调查路线和优先顺序后，警察团队就要采取的进一步行动做出决定。这一步骤与关于优先事项的决策密切相关，通常首先追求最有希望的研究方向。所采取的行动再次提供了新的信息。一旦获得该信息，调查小组将根据现有信息解释其含义或含义。对新发现的分析可能会导致调查和行动方向的调整。
5. 起诉：在做出起诉决定之前，一旦确定了一名严重嫌疑人，诉讼就结束了。

FBI算法模型主要分为四个部分，下面详细介绍。

（1）步骤A1

该部分对应着“分析调查结果”步骤。该小组评估了信息，并初步确定了可能的可疑地点。在其他调查结果的背景下，对嫌疑人的每个可能位置进行调查。首先，根据$X_{A_i}$和其他可疑位置的相关信息，推断出$X_{A_i}$的一个新可疑位置，命名为$X_{A{1}_i}$。在这项工作中，假设每个人在其他人的影响下移动。其数学模型如下：$$X_{A{1}_{ij}}=X_{A_{ij}}+((rand-0.5{)}^{\ast }2{)}^{\ast }\left(\sum _{a=1}^{a_1}{X}_{A_{aj}}\right)/a_1\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$j=1,2,\cdots ,D$；$D$为问题的维数；$((rand-0.5{)}^{\ast }2)$表示一个$[-1,1]$的随机数；$rand$表示一个$[0,1]$的随机数； a 1 ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n − 1 } a_1\in\{1,2,\cdots,n-1\} a1​∈{ 1,2,⋯,n−1}表示影响$X_{A_{ij}}$移动个体数量；$a=1,2,\cdots ,a_1$。实验表明，$a1=2$能够在较短的计算时间内产生最佳结果。因此，新的可疑位置$X_{A{1}_i}$如式(2)计算；$p_{A_i}$定义为嫌疑人在$X_{A_i}$位置的概率(目标值)，这意味着$p_{A_i}$是$X_{A_i}$位置的目标值(即$p_{A_i}=f_{objective}(A_i)$)。将保留嫌疑人存在概率更大(目标值)的位置，而放弃另一个位置。$$X_{A{1}_{ij}}=X_{A_{ij}}+((ran{d}_1-0.5{)}^{\ast }2{)}^{\ast }(X_{A_{ij}}-(X_{A_{kj}}+X_{A_{hj}})/2)\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$k$、$h$和$i$是三个可疑位置： { k , h , i } ∈ { 1 , 2 , ⋯   , N P } \{k,h,i\}\in\{1,2,\cdots,NP\} { k,h,i}∈{ 1,2,⋯,NP}，$k$和$h$随机选择；$j=1,2,\cdots ,D$；$NP$是可疑位置的数量；$D$为问题的维数；$((ran{d}_1-0.5{)}^{\ast }2)$表示一个$[-1,1]$的随机数；$ran{d}_1$表示一个$[0,1]$的随机数。

（2）步骤A2

该部分对应着“调查方向”步骤。调查人员将每个可疑位置的概率与其他位置的概率进行比较，以确定应进一步调查的最可能的可疑位置。当优化是一个最小化问题时，$p_{worst}$是最低概率(最差目标值)，$p_{best}$是最高概率(最佳目标值)，$X_{best}$是最佳位置。可以理解的是，虽然$p_{worst}$与$p_{best}$不同，但任何概率较低的位置都可能会被放弃，转而选择另一个概率较高的位置。使用式(3)评价每个位置的概率$Prob(X_{A_i})$，$Prob(X_{A_i})$的高值对应于该位置的高概率。$$Prob(X_{A_i})=(p_{worst}-p_{A_i})/(p_{worst}-p_{best})\text{\hspace{1em}(3)}$$搜索位置的更新受其他可疑位置的方向影响。然而，并非所有方向都改变了；更改更新位置中随机选择的方向，以增加搜索区域的多样性。在这一步中，$X_{A_i}$的移动只受最佳个体和其他随机个体的影响。步骤A2类似于步骤A1，式(4)给出了移动的一般公式。$$X_{A{2}_i}=X_{best}+\sum _{b=1}^{a_2}{{\alpha }_b}^{\ast }{X}_{A_{bj}}\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$X_{best}$为最佳位置；$a_2$是影响$X_{A{2}_i}$移动的个体数： a 2 ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n − 1 } a_2\in\{1,2,\cdots,n-1\} a2​∈{ 1,2,⋯,n−1}；$b=1,2,\cdots ,a_2$；${\alpha }_b({\alpha }_b\in [-1,1])$是其他个体移动的有效系数。数值实验得出$a_2=3$。因此，使用式(5)生成新的可疑位置$X_{A{2}_{ij}}$。然后计算概率(目标值)，以确定是否更新可疑位置。$$X_{A{2}_{ij}}=X_{best}+X_{A_{dj}}+{ran{d}_5}^{\ast }(X_{A_{ej}}-X_{A_{fj}})\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$X_{best}$是在步骤A1中更新的最佳位置，$ran{d}_5$是$[0,1]$范围内的随机数；$d,e,f,i$为四个可疑位置： { d , e , f , i } ∈ { 1 , 2 , ⋯   , N P } \{d,e,f,i\}\in\{1,2,\cdots,NP\} { d,e,f,i}∈{ 1,2,⋯,NP}，$d,e$和$f$随机选择；$j=1,2,\cdots ,D$。

（3）步骤B1

该部分对应着“行动”步骤。在收到调查小组关于最佳位置的报告后，追捕小组中的所有特工必须以协调的方式接近目标，以逮捕嫌疑人。根据式(6)，每个代理$B_i$接近具有最佳概率(目标值)的位置。如果新接近的位置产生的概率(目标值)比旧位置的概率($p_{Bi}$)更好，则更新该位置。$$X_{B{1}_{ij}}={ran{d}_6}^{\ast }{X}_{B_{ij}}+{ran{d}_7}^{\ast }(X_{best}-X_{B_{ij}})\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，$X_{best}$是调查小组提供的最佳位置；$ran{d}_6$和$ran{d}_7$为两个$[0,1]$范围内的随机数；$j=1,2,\cdots ,D$。

（4）步骤B2

该部分扩展了“行动”步骤。无论何时采取任何行动，警察都会向总部报告新地点的概率(目标值)。总部立即更新位置，并命令追捕小组接近该位置。此时，每个代理$B_i$与所有其他代理进行密切协调；代理$B_i$向最佳位置移动，代理$B_i$受到其他团队成员(代理$B_r$，概率为$p_{B_r}$)的影响。如果$p_{B_r}$优于$p_{B_i}$，则代理$B_i$(即$X_{B{2}_i}$)的新位置通过式(7)计算；否则，通过式(8)计算。当新发现的位置达到比旧位置更大的概率(目标值)时，将更新该位置。$$X_{B{2}_{ij}}=X_{B_{rj}}+{ran{d}_8}^{\ast }(X_{B_{rj}}-X_{B_{ij}})+{ran{d}_9}^{\ast }(X_{best}-X_{B_{rj}})\text{\hspace{1em}(7)}$$$$X_{B{2}_{ij}}=X_{B_{rj}}+{ran{d}_{10}}^{\ast }(X_{B_{ij}}-X_{B_{rj}})+{ran{d}_{11}}^{\ast }(X_{best}-X_{B_{ij}})\text{\hspace{1em}(8)}$$其中，$X_{best}$是步骤B1中提供的最佳位置，$ran{d}_8,ran{d}_9,ran{d}_{10}$和$ran{d}_{11}$是$[0,1]$范围内的随机数；$r$和$i$为两个警察代理： { r , i } ∈ { 1 , 2 , ⋯   , N P } \{r,i\}\in\{1,2,\cdots,NP\} { r,i}∈{ 1,2,⋯,NP}，且$r$随机选择；$j=1,2,\cdots ,D$。

2、FBI算法流程图

FBI算法流程图如图1所示。

图1 FBI算法流程图

二、仿真实验与结果分析

将FBI与FPA、SOS、ABC和TLBO进行对比，以常用23个测试函数中F1、F2(单峰函数/30维)、F7、F9(多峰函数/30维)、F19、F20(固定维度多峰函数/3维、6维)为例，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
FBI：最优值: 0, 最差值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
FPA：最优值: 20.0273, 最差值: 128.0183, 平均值: 69.3226, 标准差: 27.0819
SOS：最优值: 4.1711e-139, 最差值: 3.3369e-134, 平均值: 1.9134e-135, 标准差: 6.1284e-135
ABC：最优值: 0.17171, 最差值: 293.8049, 平均值: 58.8109, 标准差: 83.8767
TLBO：最优值: 1.2837e-129, 最差值: 2.2041e-123, 平均值: 1.4697e-124, 标准差: 4.9021e-124
函数：F2
FBI：最优值: 8.3701e-211, 最差值: 2.786e-208, 平均值: 4.3167e-209, 标准差: 0
FPA：最优值: 4.6242, 最差值: 15.9339, 平均值: 9.0374, 标准差: 2.8059
SOS：最优值: 3.2472e-70, 最差值: 1.6823e-68, 平均值: 3.3079e-69, 标准差: 3.8518e-69
ABC：最优值: 97.4933, 最差值: 504000.5766, 平均值: 55819.6341, 标准差: 112308.8332
TLBO：最优值: 1.9098e-64, 最差值: 1.3213e-61, 平均值: 1.6032e-62, 标准差: 2.8034e-62
函数：F7
FBI：最优值: 3.8569e-06, 最差值: 0.00023172, 平均值: 8.4525e-05, 标准差: 5.8797e-05
FPA：最优值: 0.045801, 最差值: 0.19923, 平均值: 0.11089, 标准差: 0.036252
SOS：最优值: 8.7197e-05, 最差值: 0.0010881, 平均值: 0.000549, 标准差: 0.00023759
ABC：最优值: 0.012168, 最差值: 0.13667, 平均值: 0.083641, 标准差: 0.036229
TLBO：最优值: 1.5056e-05, 最差值: 0.001457, 平均值: 0.00053547, 标准差: 0.00031241
函数：F9
FBI：最优值: 0, 最差值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
FPA：最优值: 148.2451, 最差值: 201.5515, 平均值: 174.7268, 标准差: 11.7551
SOS：最优值: 0, 最差值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
ABC：最优值: 254.1587, 最差值: 337.063, 平均值: 307.9883, 标准差: 15.4477
TLBO：最优值: 0, 最差值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
函数：F19
FBI：最优值: -3.8628, 最差值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.7101e-15
FPA：最优值: -3.8628, 最差值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.0748e-15
SOS：最优值: -3.8628, 最差值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.7101e-15
ABC：最优值: -3.8628, 最差值: -3.8621, 平均值: -3.8626, 标准差: 0.00016766
TLBO：最优值: -3.8628, 最差值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.6684e-15
函数：F20
FBI：最优值: -3.322, 最差值: -3.322, 平均值: -3.322, 标准差: 1.0572e-07
FPA：最优值: -3.322, 最差值: -3.3215, 平均值: -3.3219, 标准差: 0.0001408
SOS：最优值: -3.322, 最差值: -3.2031, 平均值: -3.2863, 标准差: 0.055415
ABC：最优值: -3.3121, 最差值: -3.2564, 平均值: -3.2841, 标准差: 0.015342
TLBO：最优值: -3.322, 最差值: -3.102, 平均值: -3.2677, 标准差: 0.072536

实验结果表明：FBI算法的性能明显优于对比算法。

三、参考文献

[1] Jui-Sheng Chou, Ngoc-Mai Nguyen. FBI inspired meta-optimization[J]. Applied Soft Computing Journal, 2020, 93: 106339.