基于黄金正弦算法的函数寻优算法

一、理论基础

1、算法原理

黄金正弦算法(Golden sine algorithm, Gold-SA)是Tanyildizi等人于2017年提出的新型元启发式算法，该算法的设计灵感来源于数学中的正弦函数，该算法利用数学中的正弦函数进行计算迭代寻优，其优点是收敛速度快、鲁棒性好、易于实现、调节的参数和运算符少。
Gold-SA根据正弦函数与单位圆的关系，可以遍历正弦函数上的所有值即寻遍单位圆上所有的点，同时在其位置更新过程中引入黄金分割数缩小解决方案的空间，以便扫描可能只产生良好结果的区域，很大程度上提高了搜索速度，且使搜索和开发达到良好的平衡。Gold-SA算法的核心过程是其解的更新过程，首先随机产生$s$个个体的位置，假设优化问题的每个解对应搜索空间中对应个体的位置，并用$X_i^d(t)$表示$d$维个体空间中第$t$次迭代第$i$个个体的空间位置，可以表示为$X_i^d(t)=(X_{i,1},X_{i,2},\cdots ,X_{i,d}),(i=1,2,\cdots ,s;t=1,2,\cdots ,t_{\max })$，$t_{\max }$为最大迭代次数，$P^d(t)(t=1,2,\cdots ,t_{\max })$为第$t$次迭代全局最优位置，则第$i$个个体的位置更新公式如下：$$X_i^d(t+1)=X_i^d(t)|\sin (r_1)|+r_2\sin (r_1)|x_1{P}^d(t)-x_2{X}_i^d(t)|\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$r_1$和$r_2$为随机数，$r_1$决定下一次迭代中个体的移动距离，$r_1\in [0,2\pi ]$，$r_2$决定下一次迭代第$i$个个体的位置更新方向，$r_2\in [0,\pi ]$；$x_1$和$x_2$是通过引入黄金分割数得到的系数，这些系数缩小了搜索空间引领个体逐步趋近最优值，保证了算法的收敛性，黄金分割数是一个定义为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的无理数，记为$\tau$，$x_1=a\tau +b(1-\tau )$，$x_2=a(1-\tau )+b\tau$，$a$和$b$初始值设置为$-\pi$和$\pi$，随后$a$和$b$随着目标值的变化而变化，$x_1$和$x_2$也随之更新，更新方式如下：

• Step 1：

if current value < target value
	b = x2, x2 = x1
	x1 = a*tau+b*(1-tau)
else
	a = x1, x1 = x2
	x2 = a*(1-tau)+b*tau
end

• Step 2：

if x1 == x2
	a = random1, b = random2
	x1 = a*tau+b*(1-tau)
	x2 = a*(1-tau)+b*tau
end

2、算法伪代码

图1 Gold-SA算法伪代码

二、仿真实验与分析

将该算法与PSO、SCA、WOA进行对比，种群规模$N=30$，最大迭代次数$T=1000$，以30维的F1~F3为例，每个算法独立运算30次，取这30次运算的最优值、最差值、平均值和标准差作为算法性能的度量标准。
结果显示如下：

函数：F1
PSO：best: 57.1829,worst:355.9929,mean:198.6791,std:71.7651
SCA：best: 1.8446e-08,worst:0.17577,mean:0.032715,std:0.056733
WOA：best: 6.6464e-168,worst:2.6232e-151,mean:1.9298e-152,std:5.2718e-152
Gold-SA：best: 0,worst:0,mean:0,std:0
函数：F2
PSO：best: 5.22,worst:22.2049,mean:11.5497,std:3.4386
SCA：best: 2.4384e-08,worst:0.00029691,mean:1.9794e-05,std:5.3646e-05
WOA：best: 6.9506e-115,worst:9.6357e-102,mean:3.8412e-103,std:1.7637e-102
Gold-SA：best: 4.7861e-317,worst:4.2204e-241,mean:1.4068e-242,std:0
函数：F3
PSO：best: 1345.0482,worst:4061.4867,mean:2589.9919,std:787.5485
SCA：best: 134.7844,worst:9533.5216,mean:3443.9262,std:2699.7127
WOA：best: 979.6781,worst:43056.887,mean:22673.5449,std:10381.2685
Gold-SA：best: 0,worst:0,mean:0,std:0

仿真结果表明，Gold-SA算法优于PSO、SCA、WOA算法，有效提高收敛速度和精度。

代码下载链接：https://download.csdn.net/download/weixin_43821559/85461634

三、参考文献

[1] Tanyildizi E, Demir G. Golden Sine Algorithm: A Novel Math-Inspired Algorithm[J]. Advances in Electrical and Computer Engineering, 2017, 17(2): 71-78.
[2] 肖子雅, 刘升. 黄金正弦混合原子优化算法[J]. 微电子学与计算机, 2019, 36(6): 21-25+30.
[3] 于建芳, 刘升, 王俊杰, 等. 融合莱维飞行与黄金正弦的蚁狮优化算法[J]. 计算机应用研究, 2020, 37(8): 2349-2353.