一、理论基础
1、蛾群算法
蛾群算法(Moth swarm algorithm, MSA)是AliMohamed于2016年提出的一种元启发式优化算法，其灵感来源于飞蛾朝向月光方向的行为。
在MSA算法中，飞蛾根据光源的位置进行自身位置的更新，光源的位置代表算法的候选解，其发光强度表示该解对应的适应度值。蛾群分为三部分：探路蛾、勘探蛾和观察蛾。各类蛾的职责如下：
探路蛾：这小部分蛾能够发现优化空间中的新区域，并找到合适的光源对主体蛾群的位置更新进行指导。
勘探蛾：这部分蛾以对数螺旋线的方式围绕被探路蛾标记过的光源进行移动。
观察蛾：这部分蛾直接移向全局最优的光源。
针对这三种蛾群，蛾群算法优化时主要分为三个阶段，分别是探路阶段、勘探阶段和观察阶段。
（1）探路阶段
在该阶段，为了避免算法早熟收敛，提高解的多样性，选取一部分蛾作为探路者来发现较不拥挤的区域。这部分蛾通过相互作用更新其位置，并使用自适应交叉进行长距离飞行。该过程分为以下3步：
步骤1：交叉点多样性指数
对于第 t t t次迭代，第 j j j维个体的标准化传播度 σ j t \sigma_j^t σjt为： σ j t = 1 n p ∑ i = 1 n p ( x i j t − x j t ‾ ) 2 x j t ‾ (1) \sigma_j^t=\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n_p}\displaystyle\sum_{i=1}^{n_p}\left(x_{ij}^t-\overline{x_{j}^t}\right)^2}}{\overline{x_{j}^t}}\tag{1} σjt=xjtnp1i=1∑np(xijt−xjt)2(1)其中， x j t ‾ = 1 n p ∑ i = 1 n p x i j t \overline{x_{j}^t}=\displaystyle\frac{1}{n_p}\displaystyle\sum_{i=1}^{n_p}x_{ij}^t xjt=np1i=1∑npxijt， n p n_p np为探路蛾的数量。
变量因子 μ t \mu^t μt为： μ t = 1 d ∑ j = 1 d σ j t (2) \mu^t=\frac1d\sum_{j=1}^d\sigma_j^t\tag{2} μt=d1j=1∑dσjt(2)探路蛾中分散程度较低的蛾都纳入到交叉点组 c p c_p cp中，如下所示： j ∈ c p if σ j t ≤ μ t (3) j\in c_p\,\,\,\text{if}\,\,\sigma_j^t\leq\mu^t\tag{3} j∈cpifσjt≤μt(3)可以看出，蛾群的交叉点组随迭代的进行在动态变化。
步骤2：莱维交叉
当进行 n c ∈ c p n_c\in c_p nc∈cp的交叉机制时，该算法通过对所选的主向量 x p → = [ x p 1 , x p 2 , ⋯ , x p n c ] \overrightarrow {x_p}=[x_{p1},x_{p2},\cdots,x_{pn_c}] xp=[xp1,xp2,⋯,xpnc]进行扰动，从而生成一个变异后的子向量 v p → = [ v p 1 , v p 2 , ⋯ , v p n c ] \overrightarrow {v_p}=[v_{p1},v_{p2},\cdots,v_{pn_c}] vp=[vp1,vp2,⋯,vpnc]，公式如下： v p t → = x r 1 t → + L p 1 t × ( x r 2 t → − x r 3 t → ) + L p 2 t × ( x r 4 t → − x r 5 t → ) ∀ r 1 ≠ r 2 ≠ r 3 ≠ r 4 ≠ r 5 ≠ p ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n p } (4) \begin{aligned}\overrightarrow{v_p^t}=\overrightarrow{x_{r^1}^t}+L_{p1}^t\times\left(\overrightarrow{x_{r^2}^t}-\overrightarrow{x_{r^3}^t}\right)+L_{p2}^t\times\left(\overrightarrow{x_{r^4}^t}-\overrightarrow{x_{r^5}^t}\right)\\[2ex]\forall r^1\neq r^2\neq r^3\neq r^4\neq r^5\neq p\in\{1,2,\cdots,n_p\}\end{aligned}\tag{4} vpt=xr1t+Lp1t×(xr2t−xr3t)+Lp2t×(xr4t−xr5t)∀r1=r2=r3=r4=r5=p∈{
1,2,⋯,np}(4)其中， L p 1 L_{p1} Lp1和 L p 2 L_{p2} Lp2为两个突变因子， L i ∼ s t e p ⊕ L e v y ( α ) ∼ 0.01 u ∣ y ∣ 1 / α , u = N ( 0 , σ u 2 ) , y = N ( 0 , σ y 2 ) σ u = [ Γ ( 1 + α ) × sin ( π α / 2 ) Γ ( ( 1 + α ) / 2 ) × α × 2 ( α − 1 ) / 2 ] 1 / α , σ y = 1 (5) \begin{aligned}L_i\sim step&\oplus Levy(\alpha)\sim 0.01\frac{u}{|y|^{1/\alpha}},\,\,u=\text{N}(0,\sigma_u^2),\,\,y=\text{N}(0,\sigma_y^2)\\[2ex]\sigma_u &=\left[\frac{\Gamma(1+\alpha)\times\sin(\pi\alpha/2)}{\Gamma((1+\alpha)/2)\times\alpha\times2^{(\alpha-1)/2}}\right]^{1/\alpha},\,\,\sigma_y=1\end{aligned}\tag{5} Li∼stepσu⊕Levy(α)∼0.01∣y∣1/αu,u=N(0,σu2),y=N(0,σy2)=[Γ((1+α)/2)×α×2(α−1)/2Γ(1+α)×sin(πα/2)]1/α,σy=1(5)为使路径更优，每只探路蛾在进行位置更新时，将原位置向量与变异后的子向量进行交叉，其过程可表示为： V p j t = { v p j t , if j ∈ c p x p j t , if j ∉ c p (6) V_{pj}^t=\begin{dcases}v_{pj}^t,\quad\text{if}\,\,j\in c_p\\[2ex]x_{pj}^t,\quad\text{if}\,\,j\notin c_p\end{dcases}\tag{6} Vpjt=⎩⎨⎧vpjt,ifj∈cpxpjt,ifj∈/cp(6)步骤3：选择策略
在以上迭代后，每代蛾的适应度值都需与探路蛾的适应度值相比较，留下适应度较好的蛾用于下一代的迭代，其过程表示如下： x p t + 1 → = { x p t → , if f ( v p t → ) ≥ f ( x p t → ) v p t → , if f ( v p t → ) < f ( x p t → ) (7) \overrightarrow{x_p^{t+1}}=\begin{cases}\overrightarrow{x_p^t},\quad\text{if}\,\,f(\overrightarrow{v_{p}^t})\geq f(\overrightarrow{x_p^t})\\[2ex]\overrightarrow{v_{p}^t},\quad\text{if}\,\,f(\overrightarrow{v_{p}^t})<f(\overrightarrow{x_{p}^t})\end{cases}\tag{7} xpt+1=⎩⎪⎨⎪⎧xpt,iff(vpt)≥f(xpt)vpt,iff(vpt)<f(xpt)(7)概率 P p P_p Pp用于评价光源的发光强度 f i t p fit_p fitp，关系如下所示： P p = f i t p ∑ p = 1 n p f i t p (8) P_p=\frac{fit_p}{\displaystyle\sum_{p=1}^{n_p}fit_p}\tag{8} Pp=p=1∑npfitpfitp(8)发光强度可通过目标函数值 f p f_p fp进行计算： f i t p = { 1 1 + f p , f p ≥ 0 1 + f p , f p < 0 (9) fit_p=\begin{dcases}\frac{1}{1+f_p},\quad f_p\geq0\\[2ex]1+f_p,\quad\,\, f_p<0\end{dcases}\tag{9} fitp=⎩⎪⎨⎪⎧1+fp1,fp≥01+fp,fp<0(9)
（2）勘探阶段
勘探蛾所对应的光照强度略低于探路蛾，随着迭代次数的增加，该蛾的数量逐渐减少，计算公式如下： n f = round ( ( n − n p ) × ( 1 − t T ) ) (10) n_f=\text{round}\left((n-n_p)\times\left(1-\frac tT\right)\right)\tag{10} nf=round((n−np)×(1−Tt))(10)勘探蛾采用MFO算法中的位置更新公式进行更新，可表示为： x i t + 1 = ∣ x i t − x p t ∣ ⋅ e θ ⋅ cos ( 2 π θ ) + x p t ∀ p ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n p } , i ∈ { n p + 1 , n p + 2 , ⋯ , n f } (11) \begin{aligned}&x_i^{t+1}=\left|x_i^t-x_p^t\right|\cdot e^\theta\cdot\cos(2\pi\theta)+x_p^t\\[2ex]\forall p&\in\{1,2,\cdots,n_p\},\,\,i\in\{n_p+1,n_p+2,\cdots,n_f\}\end{aligned}\tag{11} ∀pxit+1=∣∣xit−xpt∣∣⋅eθ⋅cos(2πθ)+xpt∈{ 1,2,⋯,np},i∈{ np+1,np+2,⋯,nf}(11)其中， θ ∈ [ r , 1 ] , r = − 1 − t / T \theta\in[r,1],\,r=-1-t/T θ∈[r,1],r=−1−t/T。上式基于式(8)中概率函数 P p P_p Pp选择光源 x p x_p xp，这提高了开发能力。
（3）观察阶段
在迭代过程中，随着勘探蛾数量的减少，观察蛾数量逐渐增多( n o = n − n f − n p n_o=n-n_f-n_p no=n−nf−np)，这种机制提高了算法的收敛速度。观察蛾由两部分组成。第一部分( n G = round ( n o / 2 ) n_G=\text{round}(n_o/2) nG=round(no/2))采用高斯分布进行移动： x i t + 1 = x i t + ε 1 + [ ε 2 × b e s t g t − ε 3 × x i t ] ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n G } (12) x_i^{t+1}=x_i^t+\varepsilon_1+\left[\varepsilon_2\times best_g^t-\varepsilon_3\times x_i^t\right]\quad\forall i\in\{1,2,\cdots,n_G\}\tag{12} xit+1=xit+ε1+[ε2×bestgt−ε3×xit]∀i∈{
1,2,⋯,nG}(12) ε 1 ∼ r a n d o m ( s i z e ( d ) ) ⊕ N ( b e s t g t , log t t × ( x i t − b e s t g t ) ) (13) \varepsilon_1\sim random(size(d))\oplus N\left(best_g^t,\frac{\log t}{t}\times\left(x_i^t-best_g^t\right)\right)\tag{13} ε1∼random(size(d))⊕N(bestgt,tlogt×(xit−bestgt))(13)其中， ε 1 \varepsilon_1 ε1为由高斯分布生成的随机数， b e s t g t best_g^t bestgt为目前所有蛾中的最好蛾群位置， ε 2 \varepsilon_2 ε2和 ε 3 \varepsilon_3 ε3为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]间的随机数。
第二部分观察蛾( n A = n o − n G n_A=n_o-n_G nA=no−nG)采用即时记忆的联想记忆机制更新其位置，如下所示： x i t + 1 = x i t + 0.001 × G [ x i t − x i min , x i max − x i t ] + ( 1 − g / G ) × r 1 × ( b e s t p t − x i t ) + 2 g / G × r 2 × ( b e s t g t − x i t ) (14) x_i^{t+1}=x_i^t+0.001\times G\left[x_i^t-x_i^{\min},x_i^{\max}-x_i^t\right]+(1-g/G)\times r_1\times(best_p^t-x_i^t)+2g/G\times r_2\times(best_g^t-x_i^t)\tag{14} xit+1=xit+0.001×G[xit−ximin,ximax−xit]+(1−g/G)×r1×(bestpt−xit)+2g/G×r2×(bestgt−xit)(14)其中， i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n A } i\in\{1,2,\cdots,n_A\} i∈{
1,2,⋯,nA}， 2 g / G 2g/G 2g/G表示社会因子， 1 − g / G 1-g/G 1−g/G表示认知因子， r 1 r_1 r1和 r 2 r_2 r2是 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]间的随机数， b e s t g t best_g^t bestgt表示根据其概率值随机选出的光源位置。
2、MSA算法流程
MSA算法流程图如图1所示。
二、仿真实验与结果分析
将MSA与MFO和FPA进行对比，实验设置种群规模为30，其中探路蛾数量为6，最大迭代次数为500，以常用23个测试函数的F1、F2(单峰函数/30维)、F9、F10(多峰函数/30维)、F20、F21(固定维度多峰函数/6维、4维)为例，每种算法独立运行30次，结果显示如下：
函数：F1
MFO：最差值: 10002.8227, 最优值: 1.066, 平均值: 2006.9351, 标准差: 4065.5804, 秩和检验: 3.0199e-11
FPA：最差值: 107.8254, 最优值: 38.0277, 平均值: 66.4132, 标准差: 20.8747, 秩和检验: 3.0199e-11
MSA：最差值: 8.2008e-150, 最优值: 1.6958e-171, 平均值: 4.129e-151, 标准差: 1.6342e-150, 秩和检验: 1
函数：F2
MFO：最差值: 70.0133, 最优值: 0.14329, 平均值: 30.1619, 标准差: 21.882, 秩和检验: 3.0199e-11
FPA：最差值: 24.5168, 最优值: 5.5597, 平均值: 9.5903, 标准差: 3.8827, 秩和检验: 3.0199e-11
MSA：最差值: 1.5228e-78, 最优值: 8.2897e-87, 平均值: 5.4616e-80, 标准差: 2.7757e-79, 秩和检验: 1
函数：F9
MFO：最差值: 239.2171, 最优值: 117.4937, 平均值: 166.6367, 标准差: 31.7431, 秩和检验: 1.2118e-12
FPA：最差值: 192.1839, 最优值: 143.8738, 平均值: 173.5868, 标准差: 10.9523, 秩和检验: 1.2118e-12
MSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F10
MFO：最差值: 19.9622, 最优值: 0.3067, 平均值: 14.1843, 标准差: 7.856, 秩和检验: 5.1436e-12
FPA：最差值: 19.1134, 最优值: 5.3441, 平均值: 10.8456, 标准差: 3.824, 秩和检验: 5.1436e-12
MSA：最差值: 4.4409e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 1.4803e-15, 标准差: 1.3467e-15, 秩和检验: 1
函数：F20
MFO：最差值: -3.1345, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2139, 标准差: 0.054074, 秩和检验: 0.09983
FPA：最差值: -3.3218, 最优值: -3.322, 平均值: -3.322, 标准差: 2.8873e-05, 秩和检验: 0.09049
MSA：最差值: -3.2031, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2824, 标准差: 0.057008, 秩和检验: 1
函数：F21
MFO：最差值: -2.6305, 最优值: -10.1532, 平均值: -6.5469, 标准差: 3.3375, 秩和检验: 0.72691
FPA：最差值: -10.1454, 最优值: -10.1532, 平均值: -10.1521, 标准差: 0.0021264, 秩和检验: 2.1655e-07
MSA：最差值: -2.6305, 最优值: -10.1532, 平均值: -9.4009, 标准差: 2.2954, 秩和检验: 1
实验结果表明了MSA算法的有效性和优越性。
三、参考文献
[1] Al-Attar Ali Mohamed, Yahia S. Mohamed, Ahmed A.M. El-Gaafary, et al. Optimal powerflow using moth swarm algorithm[J]. Electric Power Systems Research, 2017, 142: 190-206.
[2] 杨文静. 基于蛾群算法考虑SST的主动配电网无功优化控制研究[D]. 天津: 天津大学, 2019.