一、理论基础

1、协作搜索算法

受现代企业团队协作行为的启发，文献[1]提出了一种新的基于种群的进化方法——协作搜索算法(Cooperation search algorithm, CSA)。CSA算法首先在问题空间中随机生成一组候选解，然后重复执行三个操作算子，直到满足停止条件：使用团队沟通算子改进全局搜索并确定有希望的搜索区域；反思学习算子用于实现探索与开发之间的融合；内部竞争算子用于为下一个周期选择性能更好的解决方案。
在CSA中，目标问题的优化过程被视为企业的发展过程；每个解决方案都被视为一个员工，而一组员工组成了一个企业团队；每个员工的绩效等于当前问题的适应度值；监事会由个体最好的解决方案组成；董事会由外部档案集(迄今为止发现的 $M$ 个全局最好的解决方案)组成；当值主席是从董事会中随机选出的。然后，种群模仿现代企业的团队合作行为，使用三个进化算子逐步找到高质量的解决方案：团队沟通算子用于帮助员工从领导者那里获取有益的知识；反思学习算子通过吸取过去的经验教训，提高员工的综合实力；内部竞争算子用于提高精英解决方案的工作经验和领导力愿景。

（1）团队建立阶段

在这一阶段，团队中的所有员工都是通过式(1)随机生成的。在评估所有解决方案的性能后，将从初始群中选择 $M\in[1,I]$ 个领导者，以形成外部精英集。 $x_{i,j}^k=\phi(\underline x_j,\overline x_j),\,\,i\in[1,I],\,\,j\in[1,J],\,\,k=1\tag{1}$ 其中， $I$ 是当前种群的解数量； $x_{i,j}^k$ 是第 $k$ 次迭代中第 $i$ 个个体的第 $j$ 个位置； $\phi(L,U)$ 是在 $[L, U]$ 范围内生成均匀分布的随机数的函数。

（2）团队沟通算子

每位员工都可以通过与董事长、董事会和监事会的领导交流信息来获得新的信息。如式(2)所示，团队沟通过程包括三个部分：董事长的知识 $A$ 、董事会的集体知识 $B$ 和监事会的集体知识 $C$ 。董事长从董事会中随机选出，模拟轮换机制，而董事会和监事会的所有成员在计算 $B$ 和 $C$ 时被赋予相同的职位。 $u_{i,j}^{k+1}=x_{i,j}^k+A_{i,j}^k+B_{i,j}^k+C_{i,j}^k,\,\,i\in[1,I],\,\,j\in[1,J],\,\,k\in[1,K]\tag{2}$ $A_{i,j}^k=\log(1/\phi(0,1))\cdot(gBest_{ind,j}^k-x_{i,j}^k)\tag{3}$ $B_{i,j}^k=\alpha\cdot\phi(0,1)\cdot\left[\frac1M\sum_{m=1}^MgBest_{m,j}^k-x_{i,j}^k\right]\tag{4}$ $C_{i,j}^k=\beta\cdot\phi(0,1)\cdot\left[\frac1I\sum_{i=1}^IpBest_{i,j}^k-x_{i,j}^k\right]\tag{5}$ 其中， $u_{i,j}^{k+1}$ 是第 $k + 1$ 次迭代中第 $i$ 个个体的第 $j$ 个值； $pBest_{i,j}^k$ 是第 $k$ 代第 $i$ 个个体最优解的第 $j$ 个值； $gBest_{ind,j}^k$ 是从开始到第 $k$ 代的第 $i n d$ 个全局最优解的第 $j$ 个值， $i n d$ 是从 $\{1,2,\cdots,M\}$ 集合中随机选择的索引； $A_{i,j}^k$ 表示从外部精英集中随机选择的主席获得的知识； $B_{i,j}^k$ 和 $C_{i,j}^k$ 分别是从迄今为止发现的 $M$ 个全局最优解和 $I$ 个个体最优解中获得的平均知识； $\alpha$ 和 $\beta$ 是调整 $B_{i,j}^k$ 和 $C_{i,j}^k$ 影响程度的学习系数。

（3）反思学习算子

除了向领导者学习外，员工还可以通过总结自己在相反方向上的经验来获得新知识，具体表达如下： $v_{i,j}^{k+1}=\begin{dcases}r_{i,j}^{k+1}\quad\text{if}\left(u_{i,j}^{k+1}\geq c_j\right)\\[2ex]p_{i,j}^{k+1}\quad\text{if}\left(u_{i,j}^{k+1}<c_j\right)\end{dcases},\,\,i\in[1,I],\,\,j\in[1,J],\,\,k\in[1,K]\tag{6}$ $r_{i,j}^{k+1}=\begin{dcases}\phi(\overline x_j+\underline x_j-u_{i,j}^{k+1},c_j)\quad\text{if}\left(|u_{i,j}^{k+1}-c_j|<\phi(0,1)\cdot|\overline x_j-\underline x_j|\right)\\[2ex]\phi(\underline x_j,\overline x_j+\underline x_j-u_{i,j}^{k+1})\quad\text{otherwise}\end{dcases}\tag{7}$ $p_{i,j}^{k+1}=\begin{dcases}\phi(c_j,\overline x_j+\underline x_j-u_{i,j}^{k+1})\quad\text{if}\left(|u_{i,j}^{k+1}-c_j|<\phi(0,1)\cdot|\overline x_j-\underline x_j|\right)\\[2ex]\phi(\overline x_j+\underline x_j-u_{i,j}^{k+1},\overline x_j)\quad\text{otherwise}\end{dcases}\tag{8}$ $c_j=(\overline x_j+\underline x_j)\cdot0.5\tag{9}$ 其中， $v_{i,j}^{k+1}$ 是第 $k + 1$ 次迭代第 $i$ 个反思解的第 $j$ 个值。

（4）内部竞争算子

团队通过确保所有表现较好的员工都能得到保护，逐步提升其市场竞争力，具体表示如下： $x_{i,j}^{k+1}=\begin{dcases}u_{i,j}^{k+1}\quad\text{if}\left(F\left(u_{i,j}^{k+1}\right)\leq F\left(v_{i,j}^{k+1}\right)\right)\\[2ex]v_{i,j}^{k+1}\quad\text{if}\left(F\left(u_{i,j}^{k+1}\right)>F\left(v_{i,j}^{k+1}\right)\right)\end{dcases},\,\,i\in[1,I],\,\,j\in[1,J],\,\,k\in[1,K]\tag{10}$ 其中， $F (x)$ 是解 $x$ 的适应度值。为了有效地多重物理约束，首先通过式(11)将 $x$ 中的所有变量修改为可行区域，然后使用式(12)中的惩罚函数方法，通过将约束违反值合并到目标值 $F (x)$ 中来获得适应度值 $F (x)$ 。然后，对于可行解，充分满足所有约束，使适应度值等于原始目标值；对于不可行解，约束冲突值变为正值，因此适应度值大于目标值。这样，就可以将种群引导到尽可能多的可行搜索区域。 $x_j=\max\left\{\min\left\{\overline x_j,x_j\right\},\underline x_j\right\}\tag{11}$ $F(x)=f(x)+\sum_{e=1}^Ec_e^1\cdot\max\{g_e(x),0\}+\sum_{f=1}^Fc_f^2\cdot|h_f(x)|\tag{12}$ 其中， $x_j$ 是解 $x$ 中的第 $j$ 个值； $c_e^1$ 是第 $e$ 个不等式约束的惩罚系数； $c^2_f$ 是第 $f$ 个不等式约束的惩罚系数。

2、CSA算法伪代码

CSA算法伪代码如图1所示。
在这里插入图片描述

图1 CSA算法伪代码

二、仿真实验与结果分析

1、函数优化

将CSA与PSO、SCA和GSA进行对比，实验设置种群规模为50，最大迭代次数为1000，每个算法独立运行30次，以文献[1]中表1的F1、F24(单峰函数/30维)、F8、F9(多峰函数/30维)、F19、F20(固定维度多峰函数/3维、6维)为例，结果显示如下：
在这里插入图片描述

函数：F1
PSO：最差值: 1.7361, 最优值: 0.23181, 平均值: 0.75088, 标准差: 0.3925, 秩和检验: 1.2118e-12
SCA：最差值: 0.010637, 最优值: 5.4967e-08, 平均值: 0.00096839, 标准差: 0.0023986, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 3.9648e-17, 最优值: 1.3405e-17, 平均值: 2.3069e-17, 标准差: 6.949e-18, 秩和检验: 1.2118e-12
CSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F24
PSO：最差值: 2309236.1027, 最优值: 22.9457, 平均值: 293424.9084, 标准差: 678420.6308, 秩和检验: 1.2118e-12
SCA：最差值: 262009458.9802, 最优值: 4.0051e-10, 平均值: 13262300.597, 标准差: 53075186.9734, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 570427262672.4108, 最优值: 9.2587, 平均值: 19173926961.1078, 标准差: 104116954905.3765, 秩和检验: 1.2118e-12
CSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F8
PSO：最差值: -2445.0518, 最优值: -5241.6763, 平均值: -3279.074, 标准差: 615.526, 秩和检验: 5.5727e-10
SCA：最差值: -3537.198, 最优值: -4530.966, 平均值: -4015.8425, 标准差: 239.7107, 秩和检验: 9.0632e-08
GSA：最差值: -1864.4479, 最优值: -3922.9167, 平均值: -2670.8793, 标准差: 494.7365, 秩和检验: 8.1527e-11
CSA：最差值: -3077.569, 最优值: -10590.8441, 平均值: -8683.0917, 标准差: 1900.2026, 秩和检验: 1
函数：F9
PSO：最差值: 97.6805, 最优值: 44.1133, 平均值: 69.5204, 标准差: 11.9548, 秩和检验: 1.2118e-12
SCA：最差值: 131.5406, 最优值: 5.9633e-06, 平均值: 20.0002, 标准差: 30.8138, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 26.8639, 最优值: 9.9496, 平均值: 16.6821, 标准差: 3.934, 秩和检验: 1.196e-12
CSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F19
PSO：最差值: -3.8549, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.862, 标准差: 0.0024049, 秩和检验: 0.081404
SCA：最差值: -3.8537, 最优值: -3.8616, 平均值: -3.855, 标准差: 0.0017066, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: -2.8323, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.5079, 标准差: 0.30358, 秩和检验: 1.656e-11
CSA：最差值: -3.8628, 最优值: -3.8628, 平均值: -3.8628, 标准差: 2.7101e-15, 秩和检验: NaN
函数：F20
PSO：最差值: -2.8642, 最优值: -3.322, 平均值: -3.1919, 标准差: 0.13879, 秩和检验: 0.0068992
SCA：最差值: -2.6044, 最优值: -3.2288, 平均值: -2.9956, 标准差: 0.15911, 秩和检验: 5.5013e-10
GSA：最差值: -0.92656, 最优值: -2.9286, 平均值: -1.9285, 标准差: 0.47562, 秩和检验: 1.5374e-11
CSA：最差值: -3.2031, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2507, 标准差: 0.059241, 秩和检验: 1

实验结果表明：CSA算法在求解连续函数优化问题上具有较好的优化性能。

2、工程优化

以焊接梁优化设计、压力容器优化设计、减速器优化设计问题为例，具体问题模型请参考这里。各参数设置和上节相同，结果如下：
在这里插入图片描述

焊接梁优化设计问题
PSO：最差值: 1.9769, 最优值: 1.6523, 平均值: 1.6781, 标准差: 0.082769, 秩和检验: 0.002052
SCA：最差值: 1.7786, 最优值: 1.6875, 平均值: 1.7367, 标准差: 0.025482, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 2.6518, 最优值: 2.1082, 平均值: 2.3557, 标准差: 0.12729, 秩和检验: 3.0199e-11
CSA：最差值: 1.681, 最优值: 1.6523, 平均值: 1.6647, 标准差: 0.010742, 秩和检验: 1
压力容器优化设计问题
PSO：最差值: 10449.8932, 最优值: 5885.746, 平均值: 6373.6987, 标准差: 960.1842, 秩和检验: 0.0015969
SCA：最差值: 12423.2902, 最优值: 7639.2014, 平均值: 11320.1469, 标准差: 2022.2757, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 6603.6533, 最优值: 6147.4348, 平均值: 6312.2776, 标准差: 142.8382, 秩和检验: 0.34783
CSA：最差值: 7318.6873, 最优值: 5915.3664, 平均值: 6494.6085, 标准差: 454.7101, 秩和检验: 1
减速器优化设计问题
PSO：最差值: 3197.0062, 最优值: 2994.4245, 平均值: 3077.9623, 标准差: 72.6946, 秩和检验: 2.3347e-12
SCA：最差值: 3100.9733, 最优值: 3032.0249, 平均值: 3062.034, 标准差: 16.4755, 秩和检验: 2.3638e-12
GSA：最差值: 3006.3993, 最优值: 2995.2869, 平均值: 2999.957, 标准差: 2.5604, 秩和检验: 2.3638e-12
CSA：最差值: 2994.4245, 最优值: 2994.4245, 平均值: 2994.4245, 标准差: 2.3463e-12, 秩和检验: 1

实验结果表明：CSA在求解复杂优化问题上具有良好的性能。

三、参考文献

[1] Zhong-kai Feng, Wen-jing Niu, Shuai Liu. Cooperation search algorithm: A novel metaheuristic evolutionary intelligence algorithm for numerical optimization and engineering optimization problems[J]. Applied Soft Computing Journal, 2021, 98: 106734.

基于协作搜索算法的函数寻优及工程优化

文章目录