中科大-凸优化 笔记（lec32）-几种解释

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几种解释$P^{\ast }=d^{\ast }$
$$\begin{gathered} \min f_0(x) \\ s.t.f_i(x)\le 0,i=1,\cdots ,m \\ x\in D \end{gathered}$$

一、几何解释

$$\begin{gathered} \min f_0(x) \\ s.t.f_i(x)\le 0 \end{gathered}$$

G = { ( f ( x ) , f 0 ( x ) ) ∣ x ∈ D } P ∗ = inf ⁡ { t ∣ ( u , t ) ∈ G , u ≤ 0 } g ( λ ) = inf ⁡ { λ u + t ∣ ( u , t ) ∈ G } ( L ( x , λ ) = λ u + t ) G=\{(f(x),f_0(x))|x\in D\}\\P^*=\inf\{t|(u,t)\in G,u\le0\}\\g(\lambda)=\inf\{\lambda u+t|(u,t)\in G\}{\color{blue}(L(x,\lambda)=\lambda u+t)} G={ (f(x),f0​(x))∣x∈D}P∗=inf{ t∣(u,t)∈G,u≤0}g(λ)=inf{ λu+t∣(u,t)∈G}(L(x,λ)=λu+t)

二、鞍点的解释（Saddle Point）

三、多目标优化解释

min ⁡ { f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , ⋯   , f m ( x ) } { λ i } ⇒ min ⁡ f 0 ( x ) + ∑ i λ i f i ( x ) ( = L ( x , λ ) ) \min\{f_0(x),f_1(x),\cdots,f_m(x)\}\\\{\lambda_i\}\Rightarrow\min f_0(x)+\sum_i\lambda_if_i(x){\color{blue}(=L(x,\lambda))} min{ f0​(x),f1​(x),⋯,fm​(x)}{ λi​}⇒minf0​(x)+i∑​λi​fi​(x)(=L(x,λ))
$$\begin{gathered} \min f_0(x) \\ s.t.f_i(x)\le 0,i=1,\cdots ,m \end{gathered}$$

给定$\lambda$，

四、经济学的解释

33、34是两位助教讲附录的知识点，暂时跳过。
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