中科大-凸优化 笔记（lec36）-KKT条件

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原问题
$$\begin{gathered} \min f_0(x) \\ s.t.f_i(x)\le 0,i=1,\cdots ,m \\ {h}_i(x)=0,i=1,\cdots ,P \end{gathered}$$

对偶函数 g ( λ , v ) = inf ⁡ x { f 0 ( x ) + ∑ i = 1 m λ i f i ( x ) + ∑ i = 1 P v i h i ( x ) } g(\lambda,v)=\inf_x\{f_0(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_if_i(x)+\sum_{i=1}^Pv_ih_i(x)\} g(λ,v)=xinf​{ f0​(x)+i=1∑m​λi​fi​(x)+i=1∑P​vi​hi​(x)}

对偶问题$$\begin{gathered} \max g(\lambda ,v) \\ s.t.\lambda \ge 0 \end{gathered}$$

假设

• $$P^{\ast }=d^{\ast }$$
• 所有函数可微

$$\begin{gathered} x^{\ast },{\lambda }^{\ast },v^{\ast } \\ {f}_i(x^{\ast })\le 0,i=1,\cdots ,m \\ {h}_i(x^{\ast })=0,i=1,\cdots ,P \\ {\lambda }^{\ast }\ge 0 \end{gathered}$$

KKT条件

• primal feasibility
• dual feasibility
• complementary slackness
• stationary

若原问题为凸问题，各个函数可微，对偶间隙为零，则KKT条件为充要条件

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