中科大-凸优化 笔记（lec7）-保凸变换（上）

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{ x ∣ x ≤ 0 } \{x|x\le0\} { x∣x≤0}是凸集，是多面体 $x_0=0,x_1=-\infty$是单纯形

S + n      n = 2      S + n = { ( x t y z ) ∣ x ≥ 0 , z ≥ 0 , x z ≥ y 2 } S_+^n\;\;n=2 \;\; S_+^n=\{\begin{pmatrix} x & t \\ y & z \end{pmatrix}\Big|x\ge0,z\ge0,xz\ge y^2\} S+n​n=2S+n​={ (xy​tz​)∣∣∣​x≥0,z≥0,xz≥y2}

一、交集

若$S_1,S_2$为凸集，则$S_1\cap S_2$为凸集。

推广$\Rightarrow$若$S_a$为凸集，$\forall a\in A$，则${\cap }_{a\in A}{S}_a$为凸集。

二、仿射函数（线性映射）

仿射函数$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是仿射的，当$f(x)=Ax+b,A\in {\mathbb{R}}^{n\ast m}，b\in {\mathbb{R}}^m$

若$S\in {\mathbb{R}}^n$为凸集，$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是仿射的，则 f ( S ) = { f ( x ) ∣ x ∈ S } f(S)=\{f(x)|x\in S\} f(S)={ f(x)∣x∈S}为凸集。

$g:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^n$为仿射， g − 1 ( S ) = { x ∣ f ( x ) ∈ S } g^{-1}(S)=\{x|f(x)\in S\} g−1(S)={ x∣f(x)∈S}

三、缩放和位移

缩放和移位是保持集合凸性的。
α S = { α x ∣ x ∈ S } S + a = { x + a ∣ x ∈ S } \alpha S=\{\alpha x|x\in S\}\\S+a=\{x+a|x\in S\} αS={ αx∣x∈S}S+a={ x+a∣x∈S}

四、凸集的和

凸集的和是凸集。
S 1 + S 2 = { x + y ∣ x ∈ S 1 , y ∈ S 2 } S 1 ∗ S 2 = { x ∗ y ∣ x ∈ S 1 , y ∈ S 2 } f ( ( x , y ) ) = x + y S_1+S_2=\{x+y|x\in S_1,y\in S_2\}\\S_1*S_2=\{x*y|x\in S_1,y\in S_2\}\\f((x,y))=x+y S1​+S2​={ x+y∣x∈S1​,y∈S2​}S1​∗S2​={ x∗y∣x∈S1​,y∈S2​}f((x,y))=x+y

五、线性矩阵不等式（LMT）

$$\begin{gathered} A(x)=x_1{A}_1+\cdots +x_n{A}_n⪯B,B,A_i,x_i\in S^m \\ (A(x)-B)⪯0半负定 \end{gathered}$$
{ x ∣ A ( x ) ⪯ B } 为 凸 集 \{x|A(x)\preceq B\}为凸集 { x∣A(x)⪯B}为凸集

证明：
定义仿射变换$f(x)\stackrel{\Delta }{=}B-A(x)$
$S_{+}^n$为凸集
f − 1 ( S + n ) = { x ∣ B − A ( x ) ≥ 0 } {\color{blue}f^{-1}(S_+^n)=\{x|B-A(x)\ge0\}} f−1(S+n​)={ x∣B−A(x)≥0}

想象成$|x|$的标量

这里蓝色标注的部分有点难理解，我讲一下自己的一些看法，

• 首先，第二大点中的这个式子应该没什么问题吧。
  $g:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^n$为仿射， g − 1 ( S ) = { x ∣ f ( x ) ∈ S } g^{-1}(S)=\{x|f(x)\in S\} g−1(S)={ x∣f(x)∈S}

• 然后$S_{+}^n$是一个半正定矩阵，是一个凸集，所以$B-A(x)\in S_{+}^n$

• 我们把$B-A(x)$看作$f(x)$，$S_{+}^n$看作$S$，可以得到 g − 1 ( S + n ) = { x ∣ B − A ( x ) ∈ S + n } g^{-1}(S_+^n)=\{x|B-A(x)\in S_+^n\} g−1(S+n​)={ x∣B−A(x)∈S+n​}

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