中科大-凸优化 笔记（lec8）-保凸变换（下）

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一、椭球是球的仿射映射

ε = { x ∣ ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) }      P ∈ S + + n { u ∣    ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 }        P 1 2 P 1 2 = P \varepsilon=\{x|(x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)\}\;\;P\in S_{++}^n\\\{u|\;||u||_2\le1\}\;\;\;P^{\frac12}P^{\frac12}=P ε={ x∣(x−xc​)TP−1(x−xc​)}P∈S++n​{ u∣∣∣u∣∣2​≤1}P21​P21​=P
f ( u ) = P 1 2 u + x c { f ( u ) ∣    ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 } = { P 1 2 u + x c ∣    ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 } f(u)=P^{\frac12}u+x_c\\\{f(u)|\;||u||_2\le1\}=\{P^{\frac12}u+x_c|\;||u||_2\le1\} f(u)=P21​u+xc​{ f(u)∣∣∣u∣∣2​≤1}={ P21​u+xc​∣∣∣u∣∣2​≤1}
我们令$$x\stackrel{\Delta }{=}{P}^{\frac{1}{2}}u+x_{c}u=P^{-\frac{1}{2}}(x-x_c)$$
所以， { f ( u ) ∣    ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 } = { x ∣    ∣ ∣ P − 1 2 ( x − x c ) ∣ ∣ 2 ≤ 1 } = { x ∣ ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) ≤ 1 } \{f(u)|\;||u||_2\le1\}=\{x|\;||P^{-\frac12}(x-x_c)||_2\le1\}\\=\{x|(x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)\le1\} { f(u)∣∣∣u∣∣2​≤1}={ x∣∣∣P−21​(x−xc​)∣∣2​≤1}={ x∣(x−xc​)TP−1(x−xc​)≤1}

二、透视函数（Perspective Function）

$$P:{\mathbb{R}}^{n+1}\to {\mathbb{R}}^{n}domP=R^n\ast R_{++}$$
$$P(z,t)=\frac{z}{t}z\in {\mathbb{R}}^n,t\in {\mathbb{R}}_{++}$$

考虑${\mathbb{R}}^{n+1}$内线段，$$x=(\underset{\in {\mathbb{R}}^n}{\tilde{x}},\underset{\in {\mathbb{R}}_{++}}{x_{n+1}})y=(\underset{\in {\mathbb{R}}^n}{\tilde{y}},\underset{\in {\mathbb{R}}_{++}}{y_{n+1}})$$
$\theta \ge 0$，线段为$\theta x+(1-\theta )y$

证明 线段$\stackrel{P}{\to }$线段 $x\stackrel{P}{\to }P(x)$ $y\stackrel{P}{\to }P(y)$
$$\theta x+(1-\theta )y\stackrel{P}{\to }P(\theta x+(1-\theta )y)$$
$$\begin{gathered} P(\theta x+(1-\theta )y)=\frac{\theta \tilde{x}+(1-\theta )\tilde{y}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta )y_{n+1}} \\ =\underset{\mu \in [0,1]}{\frac{\theta x_{n+1}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta )y_{n+1}}}\cdot \underset{P(x)}{\frac{\tilde{x}}{x_{n+1}}}+\underset{1-\mu }{\frac{(1-\theta )y_{n+1}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta )y_{n+1}}}\cdot \underset{P(y)}{\frac{\tilde{y}}{y_{n+1}}} \\ =\mu P(x)+(1-\mu )P(y) \end{gathered}$$

$\theta \to \mu$是透视映射

任意凸集的反透视映射仍是凸集

P − 1 ( C ) = { ( x , t ) ∈ R n + 1 ∣ x t ∈ C , t > 0 } P^{-1}(C)=\{(x,t)\in\R^{n+1}|\frac xt\in C,t>0\} P−1(C)={ (x,t)∈Rn+1∣tx​∈C,t>0}
考虑$(x,t)\in P^{-1}(C)(y,S)\in P^{-1}(C),0\le \theta \le 1$
$$\frac{\theta x+(1-\theta )y}{\theta t+(1-\theta )S}=\underset{\mu }{\frac{\theta t}{\theta t+(1-\theta )S}}\cdot \underset{\in C}{\frac{x}{t}}+\underset{1-\mu }{\frac{(1-\theta )S}{\theta t+(1-\theta )S}}\cdot \underset{\in C}{\frac{y}{S}}\in C$$

三、线性分数函数

线性分数函数$f$（由点$x$先做个仿射变换，再做个透视得到）

$g:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^{m+1}$为仿射映射，$g(x)=\left(\begin{array}{c}A\\ C^T\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)A\in {\mathbb{R}}^{m\ast n},C\in {\mathbb{R}}^n,b\in {\mathbb{R}}^m,d\in \mathbb{R}$
$P:{\mathbb{R}}^{m+1}\to {\mathbb{R}}^m$为透视变换
$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m\stackrel{\Delta }{=}P\cdot g$（复合函数）线性分数函数 $P(g(C))$

f ( x ) = A x + b C T x + d ,      d o m    f = { x ∣ C T x + d > 0 } f(x)=\frac{Ax+b}{C^Tx+d},\;\;dom\;f=\{x|C^Tx+d>0\} f(x)=CTx+dAx+b​,domf={ x∣CTx+d>0}

• 线性分数变换是一个保凸变换，但是它其实是一个非线性变换，所以很特殊的。

两个随机变量的联合概率$\stackrel{映射}{⟶}$条件概率（保凸映射）

u = { 1 , ⋯   , n }      v = { 1 , ⋯   , m } u=\{1,\cdots,n\}\;\;v=\{1,\cdots,m\} u={ 1,⋯,n}v={ 1,⋯,m}
联合概率：$P_{ij}=P(u=i,v=j)$
条件概率：$f_{ij}=P(u=i|v=j)$
由条件概率的定义可知：$$f_{ij}=\frac{P_{ij}}{{\sum }_{k=1}^n{P}_{kj}}$$
这是一个线性分式映射，因为可以写成$$f_{ij}=\frac{(0,\cdots ,1,\cdots ,0)(P_{1j},\cdots ,P_{nj}{)}^T}{1^T(P_{1j},\cdots ,P_{nj}{)}^T}=\frac{Ax+0}{C^{T}x+0}$$
成立的前提是证明 { P i j } \{P_{ij}\} { Pij​}是一个凸集。

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