离散信号（四）| 周期信号 |离散傅里叶级数（DFS）推导 + 主要性质（周期卷积定理、帕斯瓦尔定理）

离散傅里叶变换（DFT）要解决两个问题：一是信号离散化后它的频谱情况；二是快速运算算法。第一个问题将涉及周期离散信号的傅里叶级数（DFS），以及由DFS得到非周期信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）和有限长序列的离散频谱表示；第二个问题将涉及DFT的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）。

周期信号的频域分析

与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展成傅里叶级数形式，并由此得出一新的变换对——离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series），简记为DFS。

（一）离散傅里叶级数（DFS）的引入

可以从连续周期信号傅里叶级数的复指数形式导出周期序列的DFS。连续周期信号傅里叶级数的复指数形式为
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)e^{jkw_0t} \tag{1}$

$X(kw_0)=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}x(t)e^{-jkw_0t}dt \quad k=0,1,2,\cdots \tag{2}$

对连续周期信号 $x(t)$的一个周期 $T_0$进行N点采样，即 $T_0=NT,w_0=\frac{2\pi}{T_0}=\frac{2\pi}{NT}$，T为采样周期，这样采样得到的离散序列 $x(n)$是以N为周期的周期序列，即
$x(n)=x(n+mN) \quad (m为任意整数)$
设 $\Omega_0=w_0T=\frac{2\pi}{N}$为离散域的基本频率，单位为弧度， $k\Omega_0$是k次谐波的数字频率。这样，在式（2）中， $t=nT,dt=T$，在一个周期内的积分变为在一个周期内的累加，即
$X(k\frac{\Omega_0}{T})=\frac{1}{NT}\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk\frac{\Omega_0}{T}nT}T=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk\Omega_0n}$
在序列表示中，可仅用 $n$表示nT，对应地，用 $k\Omega_0$表示 $k\frac{\Omega_0}{T}$，则上式为
$X(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}x(n)e^{-jk\Omega_0n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{3}$
$X(k\Omega_0)$是变量k的周期函数，周期为N，因为对任意整数q有
$x((k+qN)\Omega_0)=X(k\Omega_0)$
当周期信号从连续域变换到离散域以后，它的频率 $w$从 $-\infty\sim +\infty$的无限范围映射到数字频率 $\Omega$从 $0\sim 2\pi$的有限范围。因此，连续周期信号的傅里叶级数可表示为具有无限多个谐波分量，而离散周期信号只含有有限个谐波分量，其谐波数为 $k=\frac{2\pi}{\Omega_0}=N$。所以对应于式（1）离散化处理后为
$x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\frac{\Omega_0}{T}nT}=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} \tag{4}$
从式（3）和式（4）可以看出， $x(n)$以N为周期， $x(n)$的频谱就以 $\Omega_0=\frac{2\pi}{N}$的基本频率为间距离散化了。由此可以得到一个结论：周期序列的频谱是离散的。在前面的内容，我们看到了信号时域离散化、频域周期化这种现象；在这里，有完全对称的另一种情况，那就是时域周期化，频域离散化。

式（3）和式（4）描述了 $x(n)$和 $X(k\Omega_0)$相互计算的一对关系式。其中式（4）可以看作周期系列 $x(n)$的傅里叶级数展开式，而 $X(k\Omega_0)$则可以看作是 $x(n)$的傅里叶级数展开式的系数。人们称满足这对关系式的周期序列 $x(n)$和 $X(k\Omega_0)$为离散傅里叶级数变换对，简记为
$x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)$
或者表示为 $DFS[x(n)]=X(k\Omega_0)$和 $IDFS[X(k\Omega_0)]=x(n)$。即正变换为式（3），反变换为（4）。

（二）DFS的主要性质

1. 线性性质

若 $x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),y(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}Y(k\Omega_0)$，则
$ax(n)+by(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}aX(k\Omega_0)+bY(k\Omega_0)$

2. 周期卷积定理

若 $x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}H(k\Omega_0)$，则
$x(n)\bigodot h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)H(k\Omega_0)\\ x(n)h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow} \frac{1}{N}X(k\Omega_0)\bigodot H(k\Omega_0)$
$\bigodot$为周期卷积的符号，两周期序列 $x(n)$和 $h(n)$的周期卷积定义为
$x(n)\bigodot h(n)=h(n)\bigodot x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)h(n-k)$
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于 周期卷积时仅仅在单个周期内求和，而线性卷积则是对所有的k值求和。

3. 复共轭

若 $x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)$，则
$x^*(-n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X^*(k\Omega_0)$
*表示复共轭

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4. 位移性质

若 $x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)$，则
$x(n-m) \overset{DFS}{\leftrightarrow}e^{-jk\Omega_0m}X(k\Omega_0)$

5. 帕斯瓦尔定理

设 $x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}H(k\Omega_0)$，则
$\sum_{n=0}^{N-1}x(n)h^*(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)H^*(k\Omega_0)$
特别地，当 $x(n)=h(n)$时，有
$\sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X(k\Omega_0)|^2$