【傅里叶级数与傅里叶变换】数学推导——1、基础知识点回顾及[Part1：三角函数的正交性]介绍

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文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频，本篇文章提供了一些基础知识点，比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。

文章全部链接：
基础知识点
Part1：三角函数系的正交性
Part2：T=2π的周期函数的傅里叶级数展开
Part3：周期为T=2L的函数展开
Part4：傅里叶级数的复数形式
Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
总结

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基础知识点

设$\alpha$为任意角
$$\begin{array}{rlr}& f(2k\pi +\alpha )=f\alpha (k\in Z)，其中f为sin或cos或tan或cot& \\ & & \\ & sin(\pi +\alpha )=-sin\alpha & \\ & cos(\pi +\alpha )=-cos\alpha & \\ & tan(\pi +\alpha )=tan\alpha & \\ & cot(\pi +\alpha )=cot\alpha & \\ & & \\ & sin(-\alpha )=-sin\alpha & \\ & cos(-\alpha )=cos\alpha & \\ & tan(\pi +\alpha )=-tan\alpha & \\ & cot(\pi +\alpha )=-cot\alpha & \\ & & \\ & sin(\pi -\alpha )=sin\alpha & \\ & cos(\pi -\alpha )=-cos\alpha & \\ & tan(\pi -\alpha )=-tan\alpha & \\ & cot(\pi -\alpha )=-cot\alpha & \\ & & \\ & sin(2\pi -\alpha )=-sin\alpha & \\ & cos(2\pi -\alpha )=cos\alpha & \\ & tan(2\pi -\alpha )=-tan\alpha & \\ & cot(2\pi -\alpha )=-cot\alpha & \end{array}$$

积化和差公式：

$$\begin{array}{rlr}& \sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}& \\ & \cos \alpha \sin \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}{2}& \\ & \cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}{2}& \\ & \sin \alpha \sin \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )}{2}& \end{array}$$

和差化积公式：

$$\begin{array}{rlr}& sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}& \\ & sin\alpha -sin\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}& \\ & cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}& \\ & cos\alpha -cos\beta =-2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}& \end{array}$$

倍角公式：

$$\begin{array}{rlr}& sin2\alpha =sin\alpha cos\alpha +sin\alpha cos\alpha =2sin\alpha cos\alpha & \\ & cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha =2co{s}^2\alpha -1=1-2si{n}^2\alpha & \\ & co{s}^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}& \\ & si{n}^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}& \\ & tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-ta{n}^2\alpha }& \end{array}$$

三角函数导数：

$$\begin{array}{rlr}& 正弦函数：(sinx{)}^{\prime }=cosx& \\ & 余弦函数：(cosx{)}^{\prime }=-sinx& \\ & 正切函数：(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x& \\ & 余切函数：(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x& \end{array}$$

积分性质：

$$\begin{array}{rlr}& 性质1：如果c是常数，{\int }_a^{b}cdx=c(b-a);& \\ & 性质2：如果c是常数，{\int }_z^{b}cf(x)dx=c{\int }_a^{b}f(x)dx；& \\ & 性质3：{\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_z^{b}g(x)dx；& \end{array}$$

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Part1：三角函数系的正交性

三角函数系集合： { 0 , 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , . . . , s i n n x , c o s n x , . . . } \{0,1,sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ...,sin nx, cos nx, ...\} { 0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx,...}，即为 { s i n n x , c o s n x } \{sin nx, cos nx\} { sinnx,cosnx}，其中$n=0,1,2,...$。

对于两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，如果它们的内积等于0，表示这两个向量是垂直的，具有正交性。即$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，如下示意图，$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\ast -1+1\ast 2=0$。

若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$中包含三个元素，分别是$(a_1,a_2,a_3)$和$(b_1,b_2,b_3)$，如果$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$，那么$\vec{a}$与$\vec{b}$正交。

再推广到$\vec{a}$和$\vec{b}$中有$n$个元素，分别为 { a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n } \{ a_1, a_2, a_3, ..., a_n \} { a1​,a2​,a3​,...,an​}和 { b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n } \{ b_1, b_2, b_3, ... , b_n \} { b1​,b2​,b3​,...,bn​}，如果$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+..a_n{b}_n={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=0$，那么$\vec{a}$与$\vec{b}$正交。

再扩展，如果$a=f(x)$，$b=g(x)$，在一个区间内如$[x_0,x_1]$计算$a\cdot b$即$f(x)\cdot g(x)$，也就是计算在区间$[x_0,x_1]$内的面积和，相当于求积分${\int }_{x_0}^{x_1}f(x)g(x)dx$。如果${\int }_{x_0}^{x_1}f(x)g(x)dx=0$，就可以说$f(x)$和$g(x)$这两个函数正交。

再说回到三角函数的正交性的定义：从三角函数系集合中任取两项，在$[-\pi ,\pi ]$之间，这两项的积分等于0。

即：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)cos(mx)dx=0& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)sin(mx)dx=0& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)sin(mx)dx=0& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)cos(mx)dx=0& \end{array}$$

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接下来证明三角函数的正交性。

当$m\ne n$时，由积化和差公式$sin\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )]$、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)cos(mx)dx& \\ & =\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(n+m)xdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(n-m)xdx\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[(-\frac{1}{n+m}cos(n+m)x{|}_{-\pi }^{\pi })+(-\frac{1}{n-m}cos(n-m)x{|}_{-\pi }^{\pi })\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[-\frac{cos(n+m)\pi -cos(-(n+m)\pi )}{n+m}+[-\frac{cos(n-m)\pi -cos(-(n-m)\pi )}{n-m}]\right]& \\ & 有cos(-\alpha )=cos\alpha ，很容易得出上式为0,即：{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)cos(mx)dx=0& \end{array}$$

当$m\ne n$时，由积化和差公式$cos\alpha sin\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )]$、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)sin(mx)dx& \\ & =\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(n+m)xdx-{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(n-m)xdx\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[(-\frac{1}{n+m})cos(n+m)x{|}_{-\pi }^{\pi })-(-\frac{1}{n-m})cos(n-m)x{|}_{-\pi }^{\pi })\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[[-\frac{\left[cos(n+m)\pi -cos(-(n+m)\pi )\right]}{n+m}]-[-\frac{\left[cos(n-m)\pi -cos(-(n-m)\pi )\right]}{n-m}]\right]& \\ & 有cos(-\alpha )=cos\alpha ，很容易得出上式为0,即：{\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)sin(mx)dx=0& \end{array}$$

当$m\ne n$时，由积化和差公式$cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )]$、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)cos(mx)dx& \\ & =\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }cos(n+m)xdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }cos(n-m)xdx\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n+m}sin(n+m)x{|}_{-\pi }^{\pi })+\frac{1}{n-m}sin(n-m)x{|}_{-\pi }^{\pi })\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{\left[sin(n+m)\pi -sin(-(n+m)\pi )\right]}{n+m}+\frac{\left[sin(n-m)\pi -sin(-(n-m)\pi )\right]}{n-m}\right]& \\ & 有sin(-\alpha )=-sin\alpha ,又有|sink\pi +\alpha |=|sin\alpha |,& \\ & 上式中\alpha =0,sin((n+m))\pi =sin((n-m)\pi )=0很容易得出上式为0,即：& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)cos(mx)dx=0& \end{array}$$

当$m\ne n$时，由积化和差公式$sin\alpha sin\beta =\frac{1}{2}[cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta )]$、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)sin(mx)dx& \\ & =\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }cos(n+m)xdx-{\int }_{-\pi }^{\pi }cos(n-m)xdx\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n+m}sin(n+m)x{|}_{-\pi }^{\pi })-\frac{1}{n-m}sin(n-m)x{|}_{-\pi }^{\pi })\right]& \\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{\left[sin(n+m)\pi -sin(-(n+m)\pi )\right]}{n+m}-\frac{\left[sin(n-m)\pi -sin(-(n-m)\pi )\right]}{n-m}\right]& \\ & 有|sin(k\pi +\alpha )|=|sin\alpha |,上式中\alpha =0,sin((n+m))\pi =sin((n-m)\pi )=0& \\ & 很容易得出上式为0,即：& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)sin(mx)dx=0& \end{array}$$

当$m=n$时， 由三角函数平方公式$si{n}^2\alpha =\frac{1}{2}(1-cos2\alpha )$、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)sin(nx)dx=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }(1-cos2nx)dx\right]=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx-{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2nxdx\right]& \\ & 如果m=n=0，上式=0；& \\ & 如果m=n\ne 0,可以假定cos2nx=cos0xcos2nx，& \\ & 根据三角函数的正交性质，那么右边{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2nxdx=0，上式即为& \\ & \frac{1}{2}\left[x{|}_{-\pi }^{\pi }\right]=\frac{1}{2}2\pi =\pi & \end{array}$$

当$m=n$时， 由三角函数平方公式$co{s}^2\alpha =\frac{1}{2}(1+cos2\alpha )$、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)cos(nx)dx=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }(1+cos2nx)dx\right]=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx+{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2nxdx\right]& \\ & 如果m=n=0，上式变为\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }2dx\right]=x{|}_{-\pi }^{\pi }=2\pi ；& \\ & 如果m=n\ne 0,假定cos2nx=cos0xcos2nx，根据三角函数的正交性质，& \\ & 那么右边{\int }_{-\pi }^{\pi }cos2nxdx=0，上式即为& \\ & \frac{1}{2}\left[x{|}_{-\pi }^{\pi }\right]=\frac{1}{2}2\pi =\pi & \end{array}$$

当$m=n$时， 由积化和差公式$sin\alpha cos\beta =\frac{1}{2}[sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )]$、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)cos(nx)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)sin(nx)dx=\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }sin2nxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }sin0xdx\right]& \\ & 当m=n=0时，左边变为{\int }_{-\pi }^{\pi }0dx=0，右边计算也为0，所以{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)cos(nx)dx=0& \\ & 当m=n\ne 0时，左边可以看作{\int }_{-\pi }^{\pi }cos0xsin2nxdx=0，所以{\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)cos(nx)dx=0& \end{array}$$

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总结如下：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)cos(mx)dx=0& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)sin(mx)dx=0& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)cos(mx)dx=\{\begin{array}{cc}0,& m\ne n\\ 2\pi ,& m=n=0\\ \pi & m=n\ne 0\end{array}& \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)sin(mx)dx=\{\begin{array}{cc}0,& m\ne n或m=n=0\\ \pi & m=n\ne 0\end{array}& \end{array}$$

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