【概率论基础】Probability | 数学性概率 | 统计性概率 | 几何概率

前言：

个人学习笔记，由于是国外教材，所以翻译的数学名词可能与国内教材上的有些许出入。

前言：

0x00 概率的定义

0x02 概率的基本性质

0x03 概率公理化（axiomatic probability）

0x04 几何概率（geometric probability）

0x00 概率的定义

概率（probability）

一场概率实验中，某事件发生A的可能性程度，0 和 1 之间表示的实数值，称为概率（probability）。

通常以以下三种方式定义概率：

① 数学性概率（事件概率）

② 统计性概率（事件概率）

③ 公理性概率

数学性概率（mathematical probablity）

假设概率实验中所有的结果都有相同的概率，如将样本空间 $\Omega$ 中样本点个数标记为 $N$ 个。 A 中的样本点的数记为 $n$ 个。

$P(A) = \frac{the\, number \, of\, event A \, sample\, points}{the\, number\, of sample\, space\, \Omega \, 's\, sample\, points} = \frac{n}{N}$

我们称之为 —— 事件A的数学性概率（必须有限）

统计性概率（law of large number）

一场概率实验反复施行 $N$ 次，发生事件 A 的次数为 $n(A)$ 时，事件A 称为相对频率（relative frequency）：

$P(A) = \frac{n(A)}{N}$ （事件A发生的次数 / 实验总次数）

缺陷：统计概率因实验次数而异。

大数法则（law of large number）

随着概率试验次数的增加，统计概率愈趋近于数学概率：

$P(A) = \lim_{N \to \infty }\frac{n(A)}{N}$

Example1：

（1）求1次抛硬幣正面朝上（記為H）的概率。

（2）通過抛10000次硬幣獲得如下結果，在此結果的基礎上計算出正面（H）出現的概率。

          10000次，正面5017次，反面4983次

$Sol:$

（1） $\Omega = \left \{ H,T \right \}, A = {H}$

$P(A) = \frac{n}{N} = \frac{1}{2}$

（2） $P(A) = \frac{n}{N} = \frac{5017}{10000} = 0.5017$

Example2：

投幣三次，是正面的次數 i 為事件 Ai(i=0,1,2,3) 時，求該事件的概率。

$Sol:$

$A_0 = \left \{ TTT \right \}$

$A_1 = \left \{ HTT,THT,TTH \right \}$

$A_2 = \left \{ HHT,HTH,THH \right \}$

$A_3 = \left \{ HHH \right \}$

$P(A_0) = \frac{n(A_0)}{N(\Omega )} = \frac{1}{8}$

$P(A_1) = \frac{n(A_1)}{N(\Omega )} = \frac{3}{8}$

$P(A_2) = \frac{n(A_2)}{N(\Omega )} = \frac{3}{8}$

$P(A_3) = \frac{n(A_3)}{N(\Omega )} = \frac{1}{8}$

Example3：

连续抛两次骰子，第一次抛时出现的点数是3的倍数记为事件A，
第二次抛时出现的点数是3的倍数时记为事件B。
分别求出 P(A) 和 P(A∩B)

$Sol:$

A = { (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

B = { (1,3), (1,6), (2,3), (2,6), (3,3), (3,6),

(4,3), (4,6), (5,3), (5,6), (6,3), (6,6) }

A ∩ B = { (3,3), (3,6), (6,3), (6,6) }

$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega )} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

$P(A\cap B) = \frac{n(A\cap B)}{n(\Omega )} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

0x02 概率的基本性质

理论：

对于下列AB事件，如下性质成立：

① $P(\O) = 0$

② $P(A^c) = 1- P(A)$

③ $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

④ $P(A\cup B) \leq P(A) + P(B)$

⑤ 如果 A 和 B 互斥， $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$

⑥ 如果 $A\subset B$ ， $P(B-A) = P(B) - P(A)$

⑥ 如果 $A\subset B$ ， $P(A) \leq P(B)$

对于下列ABC事件，以下性质成立：

0x03 概率公理化（axiomatic probability）

标准空间 $\Omega$ 定义所有事件的汇集时，

如果集合上定义的函数

满足以下三大公理：

（A1）对于所有，

我们所有的研究都是建立在概率是非负数的前提下的

（A2） $P(\Omega ) = 1$

所有可能的概率为1

（A3）对于两两互斥事件

如果事件互斥，它们交的概率为它们各自的概率之和

$P$ 在上定义的 概率函数（probability function）或 概率测度（probability measure）、 $P(A)$ 为事件A的概率（probability）。

此时称作 概率空间（probability space）。

0x04 几何概率（geometric probability）

向某一可度量的区域内投一质点，如果所投的点落在门中任意区域 g 内的可能性大小与 g 的度量成正比，而与 g 的位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验或几何概型，此处的度量就是测度，一维指长度，二维指面积，三维指体积等。

标本空间 $\Omega$ 为非加算集合时，如果标准空间中的长度、面积和体积是有限的，被给予几何形测度 $m(\Omega )$ 时，事件A的概率定义如下：

此时 $P$ 满足概率函数的三大公理 （A1）（A2）（A3）。