【蓝桥杯】第九届国赛第四题测试次数（动态规划）—— 酱懵静

第九届国赛第四题测试次数

问题描述
x星球的居民脾气不太好，但好在他们生气的时候唯一的异常举动是：摔手机
各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试，并且评定出一个耐摔指数来，之后才允许上市流通
x星球有很多高耸入云的高塔，刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的，与地球上稍有不同的是，他们的第一层不是地面，而是相当于我们的2楼
如果手机从第7层扔下去没摔坏，但第8层摔坏了，则手机耐摔指数=7
特别地，如果手机从第1层扔下去就坏了，则耐摔指数=0
如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏，则耐摔指数=n
为了减少测试次数，从每个厂家抽样3部手机参加测试。某次测试的塔高为1000层，如果我们总是采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢？
请填写这个最多测试次数。
注意：需要填写的是一个整数，不要填写任何多余内容。

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思路一（编程角度）：
首先需要注意：本题中的手机是没有后效性的，即：没有扔坏的话可以当作新的继续扔
然后这道题明显存在着某种递归关系
仔细看题目中很关键的一句话“总是采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次”
好了，看到这句话基本可以确定的是这是一个dp（动态规划）
那么我们需要先确定一下dp的元素：楼层数、手机数

一. 根据变量制表：在这里插入图片描述
图中白色空格中内容为（仅有i层楼时利用j个手机在最佳策略但运气最坏下的）摔手机次数
表格中红色部分即为题目要求解，数量过大不可能人脑推算，只能编程，为此我们先人工填表找规律
对应数据结构就是一个二维数组：int dp[1001][4] （从1开始）

二.完善表格：

手机数量为1时：
在手机仅有一个时，为了保证能够测试出耐摔指数就只能一层一层的摔，所以有几层就要摔几次，并且测试方法只能是从第一层楼逐渐往上摔，直到手机摔碎或者到顶。即第一行的表格只能填写为：

对应代码如下:

for(int i = 1 ; i<=1000 ; i++)
     dp[i][1] = i;

手机数量为2时：
1层楼时，情况和手机数为1时一致（均为1）。
2层楼时，由于总是遇到最坏的运气，何谓最坏的运气？这么给你解释吧，现在两层楼两个手机让你测试耐摔指数。你有两个方案：
1.先从1楼开始测试；
2.先从2楼开始测试（注意：这里是因为总楼层低(只有2层)你才可以从2楼先扔，要是楼层高了，你从大于2的楼层开始扔是不能保证能测试出手机的耐摔指数的，换言之这里(楼层数<=2)你先从2楼扔是一种特殊情形）

现在假设从1楼开始测试，由于你运气不好，那么意思就是你还要再测试一次（也就是说在1楼扔下去没有摔坏，你还需要再去2楼测试一次）。至于最后的结果如何我们不关心，总之你需要测试两次
同样地，假设现在你从2楼开始测试，那么由于运气不好，同样地你也要再测试一次（也就是说在2楼扔下去摔坏了，那么你需要换另一个手机再去1楼测试一次）。同样地这之后的结果如何我们不关心，反正总的你要测试两次。
总结看来，这个最坏的运气就是指你总是在往着测试次数更多的方向发展。
于是通过以上分析可以先得到以下表：
在这里插入图片描述
这时候来看当存在3楼时的情况
首先要知道，前面2部手机2层楼时，是一定可以保证你能得到手机的耐摔指数的
现在是2部手机3层楼，那么我们是可以在前面的结论的基础上进行测试的
也就是说，假设前面先测试第1层楼，运气最坏嘛，那就要继续测试，也就是说在1楼没坏，那接着测试第2层楼；同样地，运气最坏嘛，那就不能坏，继续摔，于是接着测试第3层楼。共3次。
显然，上面的这个分析给出了一个关系：
当多一层楼时，dp[i][j]总是存在一个最差关系，即dp[i][j]=dp[i-1][j]+1（反正前面楼的测试结果为dp[i-1][j]嘛，那么现在多一层楼，我最差的情况也就仅仅比这个情况多测试一次（因为最坏运气的原因，必定让你再多上一层楼），即dp[i][j]=dp[i-1][j]+1），也就是说3楼2手机的空格位置处可以填的最大值为3，那么最小值呢？

实际上，我们知道当多一层楼时，也许会有一个更优的方案（有这种可能，但也可能没有）
比如现在（接着这个情况分析：2部手机3层楼），由于我有两部手机，那我可以冒险一点不用一层一层的扔。之前必须一层一层的扔是因为当时只有一部手机，如果你不一层一层扔，那么当某次扔下去坏了，而你又是从中间某个位置扔的，那么你就不知道手机的耐摔指数到底是多少。（比如50层楼，你从25层扔下去，摔坏了，那你也不知道这个手机的耐摔指数是多少了）。因此必须一层一层扔。
可现在你有两部手机，那么情况就不一样了：你是可以从中间某个位置去扔以降低测试次数。
现在的问题便是，从中间哪个位置才合适呢？
你想，为了让你发挥出具有两个手机的优势，你一定会存在的保障是：当第一部手机摔坏了，此时第二部手机能够从刚才摔坏的位置继续执行任务。不同的是，这一次你必须保证能测试出其耐摔指数。那么这时你仅剩下一部手机，不是和之前只有一部手机时的情况如出一辙么?也就是只能一层一层的测试了。
那也就是说，当你有两部手机时，每次测试时你只需保证与已经测试了的楼层有2层楼的间隔，以保证当这一次摔坏了，只剩下中间一层时，你仍然能完成测试任务（这时你只需要测试中间这一楼就一定可测出）。这也就是我们所采用的最优策略了。

回到3层楼这里（2部手机），那么我们就直接测试第2层楼
如果坏了，那么我们就测试1楼，共测试两次（不关心最后测试坏还是没坏，反正能得出总的测试结果）
如果没坏，那么我们就测试3楼，共测试两次（不关心最后测试坏还是没坏，反正能得出总的测试结果）
于是可以得到以下表格：
在这里插入图片描述
三.总结规律：
①每个空的最大值（即保证每个空至少能有一个测试次数，不至于空着没答案）：由于我们可以确定每个空的最大值为其前一楼层次数+1（例如：求2个手机，3层楼时的测试次数时，在已测试出了两层楼的测试次数的前提下，在3楼再摔一次一定可以得到3楼的次数）即每个dp[i][j]的最大值总是满足dp[i][j]= dp[i-1][j]+1

②每个空的最优值（也许会和最大值相等）：当采用最优策略时（在中间某层(设为k)扔）会有两种情况：
1.损坏：说明楼层过高，接下来应尝试当前层下面的k-1层，但手机数-1: dp[i][j]=dp[k-1][j-1]+1
2.未损坏：说明楼层不够高，接下来应尝试当前层上面共n-k层（假设总楼层数为n），此时手机数没变：dp[i][j]=dp[n-k][j]+1
这时候，到底选那种情况呢？题目说了：总是遇到最坏的运气！
而前面我也说了，最坏的运气，在我们的程序中体现为接下来测试的次数会更多。
即我们的代码应该是：dp[i][j] = max(损坏，未损坏）= max(dp[k-1][j-1]+1,dp[n-k][i]+1)
这也就是我们的递推式子了

下面给出本题完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int dp[1010][5]={0};				//dp[i][j]:在仅有i层楼时使用j个手机需要摔的最大次数
	for(int i=1;i<=1000;i++)			//只有一个手机时，几层楼就要摔几次（确保能测出耐摔指数）
		dp[i][1]=i;
	for(int i=2;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=1000;j++)
		{
			dp[j][i]=dp[j-1][i]+1;		//赋最大初值(楼层每增加一层，其需要摔的次数一定会小于等于其楼层数减一的次数+1）	
			for(int k=2;k<j;k++) 		//最优策略（在中间楼层逐个寻找，以找到测试次数最多的那个）
				dp[j][i]=min(dp[j][i],max(dp[k-1][i-1],dp[j-k][i])+1);//外部的min表示着采用最优策略，而内部的max则是指每一个最优策略都是在受到最坏运气的影响下得到
		}
	cout<<dp[1000][3]<<endl;
	return 0;
 }

思路二（纯数学角度）：
参考自博客:https://blog.csdn.net/nka_kun/article/details/79789511
要知道这是一道填空题，无论什么手段，只要能得到答案就行！！！
这种具有很浓烈的数学味道的题（况且还是填空题），大多数情况下，我们的第一反应都应该是想能不能以纯数学的方法来求解。

在分析这道题之前，我们先引入一个100层楼扔两个鸡蛋的问题
两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事
有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋
最少需要几次测试，才能得到摔碎鸡蛋的楼层？方案如何？

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对这个问题，原始问题——【两个鸡蛋100层楼，最少需要几次测试，才能得到摔碎鸡蛋的楼层】
直接考虑不容易考虑，但是，如果将这个问题进行一种等价的转换，这个问题将会变得非常容易解答。
个人认为，这个转换是解决这个问题的核心，这个转换是：
转换问题——【两个鸡蛋，进行k次测试，最多可以测试几层楼】

如果大家能想到将“原始问题”变为“转换问题”，其实就已经解决了一半
现在我们以“转换问题”为模板进行考虑，有两个鸡蛋，第一个鸡蛋如果破碎，第二个鸡蛋就必须只能一层一层的测试了，并且我们要求，进行k次测试就一定能将摔碎鸡蛋的楼层找到

考虑第一次测试。第一次测试的时候，第一个鸡蛋放置的楼层不能太高了，否则，如果第一个鸡蛋破碎，第二个鸡蛋可能不能在k次测试后得到结果。但是也不能放置的矮了，因为如果放置的矮了，第一个鸡蛋破碎了还好说，如果没破，我们浪费了一次测试机会，也不能说是完全浪费了，不过至少是让效用没有最大化。所以，第一次测试的时候必须让第一个鸡蛋的放置位置不高不矮。

不高不矮是多高？
高到如果第一个鸡蛋破碎后，第二个鸡蛋刚好能在剩下的k-1次中将这剩余的楼层数量测试出。由此可知，第一次测试所在的楼层高度就应该刚好为k。这样一来如果第一次测试第一枚鸡蛋破碎，则剩下k-1层楼，一层一层的试，k-1次内一定能完成目标（因为刚好剩下k-1次机会嘛），这样就使得每一次的机会都最大化了其效用。

如果第一次测试，第一枚鸡蛋没有破碎，则我们现在只有k-1次测试机会了，但却测试出了k楼及其以下都是安全的。我们消耗了一次测试机会，但是一次就测试了k层楼。

然后只有k-1次机会了，第二次测试，我们可以在k层的基础上再增加k-1层了，注意，这个时候由于我们只有k-1次机会，所以这次只能再增加k-1层，以保证测试的时候第一枚鸡蛋破碎的情况下仍然能完成任务。

于是，重复上述过程，直到最后一次机会，那么我们总共测试的楼层数就为：
在这里插入图片描述
然后，再回到“原始问题”，100层楼，如果需要k次测试才能测试完成，则必须有:

则可以得到，k≥14
也就是至少需要14次测试才能得到结果，而且这个过程也将测试方案一并得出来，就是第一次在14楼测试，如果第一枚蛋碎，则剩余13次机会，13层未知楼层，恰好。如果没碎，则第二次在14+13=27楼测试，如此循环。