历届试题 小数第n位
问题描述
我们知道，整数做除法时，有时得到有限小数，有时得到无限循环小数。
如果我们把有限小数的末尾加上无限多个0，它们就有了统一的形式。
本题的任务是：在上面的约定下，求整数除法小数点后的第n位开始的3位数。
输入格式
一行三个整数：a b n，用空格分开。a是被除数，b是除数，n是所求的小数点后位置（0<a,b,n<1000000000）
输出格式
一行3位数字，表示：a除以b，小数后第n位开始的3位数字。
样例输入
1 8 1
样例输出
125
样例输入
1 8 3
样例输出
500
样例输入
282866 999000 6
样例输出
914
——分割线之初试牛刀——
分析：
看到这道题的第一反应是：直接取值！于是唰唰唰写出如下代码：
#include<iostream>
using namespace std;
string cut(double num,int n) //把除法后的结果转换为目标格式输出
{
num=num-int(num); //仅保留小数部分
while(n--) num*=10; //定位到第n位数，将其放到个位
string str;
for(int i=0;i<3;i++) //循环去取出这个个位上的数
{
int temp=int(num)%10; //取个位
str+='0'+temp;
num*=10; //把第n位的后一位放到个位
}
return str;
}
int main()
{
int a,b,n;
cin>>a>>b>>n;
double ans=double(a)/b;
cout<<cut(ans,n)<<endl;
return 0;
}
上述代码的逻辑意义很清晰：输入，处理函数，输出。但是这代码只得了20%的分，为什么？原因在于double型对小数位数的限制以及double型的数据范围限制。因为在double类型范围下，小数的位数最多只有9位，这将导致在n>9的情形下，在经过while循环之后那个num里面留下的小数部分早就不是正确值了（这是一个很低级的错误）；况且对于num而言，其范围也不可能超过101000000000。所以当遇到无限小数且n>9时，在超过9的之后的那些小数都将丢失，进而导致了之后得到的数据也出错。
——分割线之初入江湖——
因此我们不能用一个变量来保存除法结果，然后再对这个结果进行处理，而是应该以除法法则为原理，对这个除法的过程进行模拟。就那1/8来举例。
我们的除法过程是这样的：
首先1/8商0余1，那么我们记下这第一个余数为1，然后我们把1×10变成10；
再让10/8，此时商1余2，然后我们把2×10；
再让20/8，此时商2余4，然后我们把4×10；
再让40/8，此时商5余0（此时已经除尽了，但是之后还要继续执行，直到n-1次），然后我们把0×10；
再让0/8，此时商0余0，然后我们把0×10；
……
根据这样的模拟过程，我写出了以下代码：
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
int a,b,n;
cin>>a>>b>>n;
a%=b; //先对其取余，保证最后的形式是一个真分数
while(--n) a=a*10%b; //然后模拟前面n-1位的除法过程
string str="";
for(int i=0;i<3;i++) //然后开始输出接下来的3位
{
a=a*10;
str+='0'+a/b;
a%=b;
}
cout<<str<<endl;
return 0;
}
这次采用了模拟的思想去模拟除法的过程，相较于之前的那个算法，优点在于将处理的数据放在了余数上面，而不是那个除数结果上面，这样的好处就是避免了在n过大时数据的丢失。
具体的做法是：相除（保留余数），然后余数变除数，重复这个过程。这样去逐渐靠近第n-1个位置上的那个值，当到了那个位置之后再连续三次取出即可。
但是同样地，这代码也没有满分（80分代码），为什么？
其实问题很明显，那就是会超时！
当n取到10 0000 0000时，这里面的运算次数达到了2×10 0000 0000 +2×3次，这样显然是会超时的，因此必须对这算法进行优化。
——分割线之艰难磨砺——
首先要知道一件很重要的事（题目中也有暗示）：当两个整数相除（即分数），一定是有理数。
何谓有理数？即最终相除的结果要么能除尽；要么是一个循环小数，但这个小数一定是无限循环小数。
下面介绍一个概念：循环节
循环节：无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。
如3.43535……是无限循环小数，可以简写为3.435（35循环），则它的循环节是35。
回到本题，题目中给定的两个数由于是整数，那么其结果要么是一个能整除的，要么是一个无限循环小数。能整除的属于无限循环小数的一个特殊情况，故我们仅讨论无限循环小数的情况，这里又分为两种：
①纯循环小数：小数部分从第一位开始的循环小数，如0.333…（3循环）、0.1234512345…（12345循环）
②混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，如0.166666……（6循环）、0.1423533333（3循环）
先来讨论简单的——纯循环小数
那么这时的代码很简单——直接把每次取到的余数都和最开始输入的a%b进行对比，一旦出现了某个值和这个余数相等，那么根据除法法则就可以知道接下来将会无限循环这个过程，换句话说就是由起始位置到当前位置的之间的这一段即为循环节。
比如就拿123/999举例，也就是a=123,b=999
第一次，让a×10=1230，然后再对999取余后得到231（商1余231）,此时231!=123(a%b)，继续
第二次，让a×10=2310，然后再对999取余后得到321（商2余312）,此时312!=123(a%b)，继续
第三次，让a×10=3120，然后再对999取余后得到123（商3余123）,此时123==123(a%b)，说明接下来再继续执行这个除法过程时，将会不断循环上面三步，那么也就是说，循环节就是123了
下面给出这一思路的完整代码：
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
cin>>a>>b>>n;
int sa=a%b;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sa=sa%b*10;
if(sa%b == a%b){ //只要余数出现了重复，说明已经找到了循环节
n=n%i; //这时候，就算你的n取值再大，我只要将其对这个循环节的长度进行取
i=0;} //余，就能准确定位到取值为n时其对应的那个商为多少（即绝对位置）
} //但是需要注意的是，这里的i要取0
for(int i=0;i<3;i++)
{
cout<<sa/b;
sa=sa%b*10;
}
cout<<endl;
return 0;
}
接下来结合着代码简单地说下这个执行过程（假设a=123,b=999,n=5）
变量sa声明：由于之后在循环中每次都要用当前取余操作的余数和a%b进行判等操作，所以这里需要用另一个变量sa来保存这个余数，所以首先是int sa=a%b;这一步还有一个目的是为了让a>b的数据能够先化简为真分数。
接下来进入循环：
第一次，让sa=sa%b×10=1230，然后再对999取余后得到231（商1余231）,此时231!=123(a%b)，继续
第二次，让sa=sa%b×10=2310，然后再对999取余后得到321（商2余312）,此时312!=123(a%b)，继续
第三次，让sa=sa%b×10=3120，然后再对999取余后得到123（商3余123）,此时123==123(a%b)，说明已经找到了循环节，此时直接让n=n%i=5%3=2（即，n=5的那个位置上的商其实和n=2的那个位置上的商是一致的，之后也是，因此接下来你需要做的事是直接从第2的那个绝对位置开始求商并输出就行了）。
于是，在满足了上面的的if语句时，你可以直接令i=1,n=2然后i<=2,i++，即能定位到那个位置。
注意：这里有个坑！当你在if语句里面判等成功时，不能令i=1(尽管我们确实要从1开始)，而是应该令i=0,因为在这个循环的当前循环结束时，会执行一次i++，因此你应该让i=0。
这就是仅仅考虑a/b的结果为纯循环小数的代码
不过奇怪的是，交上去居然直接AC了！！！看来蓝桥杯的测试数据是真的挺水的，说它是暴力杯还真没错。
为了证明我的猜想，我试了下用282866 999000 1000000000来进行测试（结果为混循环小数），发现这个代码在测试这组数据的时候是真的会超时（大概需要15s的样子），而同样地用1 3 1000000000却不会，所以上述代码在本题中能拿到满分，纯粹是因为测试数据中给出的n非常大的那(几)组数据，其a/b得到的是纯循环小数，否则是不会通过的。
——分割线之炉火纯青——
本着严谨的态度，我们还是得想想怎么实现一个算法能同时兼顾这两种情况
于是下面给出本题的真正解决方案：
首先要知道从最基本的原理出发，无论是哪一种情况，我们都能利用除法法则，去模拟这个过程，然后利用循环节来将n过于大的情形进行一个优化，使得循环总次数降低，进而在短时间内找到正解。因此我们的解决思路也应该从这里出发。
就以样例2来举例（因为样例2的结果为混循环小数，而纯循环小数在模拟这个除法过程时，相较混循环小数而言是一个特殊情形）（输入为282866 999000 8），下面来模拟这个除法过程：
第一次，商为0，余数为282866，由于此时余数小于除数，让余数×10=2828660；
第二次，商为2，余数为830660，由于此时余数小于除数，让余数×10=8306600；
第三次，商为8，余数为314600，由于此时余数小于除数，让余数×10=3146000；
第四次，商为3，余数为149000，由于此时余数小于除数，让余数×10=1490000；
第五次，商为1，余数为491000，由于此时余数小于除数，让余数×10=4910000；
第六次，商为4，余数为914000，由于此时余数小于除数，让余数×10=9140000；
第七次，商为9，余数为149000，注：此时的余数已经在上面商3时出现了，那么也就是说接下来将会不断地遇到这几个余数：491000，914000，149000
换言之，循环节也就出现了！
注意，在这之前需要将前面的那些余数保存在一个向量v中，那么现在这里面的内容如下：
{282866、830660、314600、149000、491000、914000}，标红部分为循环节的余数部分
接下来要做的事是什么？很简单，找到待求的除数在指定位数为n时，其在当前这个循环节中的绝对位置。比如本题中n=8（根据上面的截图可以知道第8位的商应该为4），那么实际上它在向量v的余数表中，其对应的绝对余数位（绝对余数位：比如0.123123123……中，循环节长度为3，那么第8位的绝对余数位为2，第1000位的绝对余数位为1）应该为(n-pos)%(v.size-pos)=(8-3)%(6-3)=5%3=2，其中pos指明了当第一次出现某个重复余数时，该余数在向量表中的索引（如本题中，第一次找到循环节出现的重复余数149000时，对应在向量表v中其索引为3）。
当找到了这个绝对位置后（比如为3），我们的目的很简单，那就是设置一个循环将前面的那2次给跳过，然后直接进入另一个循环，从头开始输出每一次的商即可。
下面给出这一思路的完整代码：
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
int a,b,n;
vector<int> v;
bool isContained(int num) //用于检测当前传入的num是否包含于向量v中
{
for(int i=0;i<v.size();i++)
if(v[i]==num) return true;
return false;
}
int AbsoluteLength(int num) //用于返回接下来还需要循环的绝对次数
{
int pos;
for(int i=0;i<v.size();i++)
if(v[i]==num){
pos=i;
break;
}
return (n-pos)%(v.size()-pos);
}
int main()
{
cin>>a>>b>>n;
a%=b;
for(int i=1;i<n;i++)
{
v.push_back(a);
a=a*10%b;
if(isContained(a)){
n=AbsoluteLength(a);
i=0; //注意：之后由于在for循环结束处会执行一次i++，因此这里需要让i=0
v.clear(); //此操作的目的是为了使前面定义的vector这个向量失效
}
}
string str="";
for(int i=0;i<3;i++)
{
a=a*10;
str+='0'+a/b;
a=a%b;
}
cout<<str<<endl;
return 0;
}
