数论学习（1）——带余除法与同余

• 近日自行补习了数论相关的知识，觉得又是一个蛮有趣的世界，特在此开坑。

一、整数与余数

1.整数的离散性：x < y <==> x+1<=y ; x,y为整数
2.整数的奇偶性：
（1）奇±奇=偶 偶±偶=偶 奇±偶=奇 偶 * 偶=偶 奇 * 偶=偶 奇 * 奇=奇
（2）奇^2=8m+1 偶^2=8m or 8m+4; m为整数
（3）正整数n，n=2^m*l, m为非负整数，l为奇数
先写这些。。。

二、带余除法

a, b为整数，b>0,则存在整数q，r，使得a=bq+r,其中，0<=r<=b，且q,r由上述条件唯一确定。
例如：5 / 4 = 1 …… 1; -1 / 5 = -1 …… 4
可以理解为a是被除数，b是除数，q是商，r是余数。

三、同余

设m是一个给定的正整数，如果两个整数a,b用m除所得的余数相同，则称a,b对模m同余， 记为a ≡ b (mod m)。
同余的基本性质：
1.若a≡0(mod m)，则a|m；
2.反身性：a≡a (mod m)；
3.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
4.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
5.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)；
6.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
7.线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；
(2)a * c ≡ b * d (mod m)。
8.除法：若ac ≡ bc (mod m)，c≠0，则a ≡ b (mod m/gcd(c,m))，其中gcd(c,m)表示c和m的最大公约数，特殊地，gcd(c, m)=1,则a ≡ b (mod m)；
9.幂运算：如果a≡b(mod m)，那么
10.若a ≡ b (mod m)，n=m,则a ≡ b (mod n)；
11.若a≡b(mod mi)，（i=1,2,3,……,n），则a≡b(mod lcm[m1,m1,……,mn])。

由此延伸出算法快速幂求模：

int ksm(int a, int b, int c)
{
    a %= c;
    int ans = 1;
    while(b != 0)
    {
        if(b & 1) ans = (ans*a) % c;
        b >>= 1;
        a = (a*a) % c;
    }
    return ans;
}

先到这里。