当 \(A\) 有足够的特征向量的时候，我们有 \(S^{-1}AS=\Lambda\)。在这部分，\(S\) 仍然是最好的选择，但现在我们允许任意可逆矩阵 \(M\)，矩阵 \(A\) 和 \(M^{-1}AM\) 称为相似矩阵，并且不管选择哪个 \(M\)，特征值都保持不变。
1. 相似矩阵
假设 \(M\) 是任意的可逆矩阵，那么 \(B = M^{-1}AM\) 相似于矩阵 \(A\)。
\[B = M^{-1}AM \to A = MBM^{-1}\]
也就是说如果 \(B\) 相似于 \(A\)，那么 \(A\) 也相似于 \(B\)。如果 \(A\) 可以对角化，那么 \(A\) 相似于 \(\Lambda\)，它们肯定具有相同的特征值。
相似的矩阵 \(A\) 和 \(M^{-1}AM\) 具有相同的特征值，如果 \(x\) 是 \(A\) 的一个特征向量，那么 \(M^{-1}x\) 是 \(B = M^{-1}AM\) 的特征向量。
\[Ax=\lambda x \to MBM^{-1}x=\lambda x \to B(M^{-1}x)=\lambda (M^{-1}x)\]
所有具有特征值 1 和 0 的 2×2 矩阵都是相似的，特征向量会随着 \(M\) 而改变，但特征值不变。上面的例子中特征值是不重复的，这种情况很好办，但如果有重复的特征值就会比较困难了。
这些 \(B\) 都和 \(A\) 一样行列式为 0，秩为 1，一个特征值为 0，并且矩阵的迹为 0，所以另一个特征值也为 0。但零矩阵不和它们相似，因为只有零矩阵自己和自己相似。
从 \(A\) 到 \(B=M^{-1}AM\)，有一些东西会改变一些则不变。
相似矩阵的特征值不变，矩阵的迹为特征值的和也不变，矩阵的行列式为特征值的乘积也不变，矩阵的秩不变，针对每个特征值的特征向量数目不变。
2. 若尔当形（Jordan Form）
上面的矩阵有三个特征值 5,5,5 在它的对角线上，唯一的特征向量是 (1, 0, 0) 的倍数，代数重数为 3，几何重数为 1。每个和它相似的矩阵 \(B=M^{-1}AM\) 都有三重特征值 5,5,5，\(B-5I\) 的秩也为 2，零空间的维度为 1。和这个若尔当块 \(J\) 相似的矩阵都只有一个不相关的特征向量 \(M^{-1}x\)。
此外，\(J^T\) 和 \(J\) 相似，并且此时的矩阵 \(M\) 正好是反恒等矩阵。
由于 \(J\) 是我们能得到的最接近于对角矩阵的形式，方程 \(d\boldsymbol u/dt=J\boldsymbol u\) 不能再进一步被简化，我们必须直接利用回带法解决。
对于每个 \(A\)，我们想要选择一个 \(M\) 来使得 \(M^{-1}AM\) 尽可能接近对角形式。当 \(A\) 有 \(n\) 个特征向量的时候，它们成为 \(M\) 的列，然后 \(M=S\)，\(S^{-1}AS=\Lambda\) 是对角矩阵。在一般情况下，特征向量会缺失，我们并不能完全对角化。假设 \(A\) 有 \(s\) 个不相关的特征向量，那么它相似于一个有 \(s\) 个块的矩阵，每个块都像上面的矩阵 \(J\) 一样，特征值位于对角线上，并且元素 1 正好位于对角线上面，其中每个块对应于一个特征值。如果有 \(n\) 个特征向量 \(n\) 个块，那所有的块都是 1×1 的，\(J\) 也就变成了 \(\Lambda\)。
\(A\) 相似于 \(B\) 如果它们具有相同的若尔当形 \(J\)，其它情况都不符合。
对于每一个相似矩阵族，我们挑选出一个最特别的成员称为 \(J\)，这个族中其它的每个矩阵都可以表示为 \(A=MJM^{-1}\)。这时候，我们有 \(MJM^{-1}MJM^{-1}=MJ^2M^{-1}\)，因此我们依然可以用 \(MJ^{100}M^{-1}\) 来求解 \(A^{100}\)。
相似性的核心在于——让矩阵变得尽可能简单但同时保留它的必要属性。
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