傅里叶系列（三）离散傅里叶变换（DFT）（转）

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我们将傅里叶级数推导为傅里叶变换，而傅里叶变换计算的时候因为是一个积分，计算机并不是很好计算，所以要把积分换成一种累加形式，也就是本文要讨论的离散傅里叶变化 DFT。

我们取上一篇的公式（7）

$\begin{align} f(t)&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega _{x}t}dt\cdot e^{i\omega _{x} t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{[F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega _{x} t}]}\\ \\ \end{align} \\$

其中 $F(\omega_{x}) = \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-iw_{x}t}dt \\$

因为傅里叶变化令 $\omega _{x}\rightarrow0$ 从而使一个累加的式子变成了一个积分，而DFT中 $\omega _{x}$ 会根据输入的信号点数确定具体的值。具体计算公式为：

$\omega_{x}=\frac{2\pi \cdot n}{N} \\$

(注： $2\pi$ 的计算方式是因为 $e^{i\omega _{x}}$ 的一个周期是 $2\pi$ ,N为你采样的点数)

因此我们可以简化公式为

$\begin{align} f(t)&=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=0}^{N}{[F(n)\cdot e^{i\frac{2\pi\cdot n}{N} t}]}\\ \end{align}\\$

其中：

$F(n)=\sum_{t=0}^{N}(f(t)e^{-i\frac{2\pi \cdot n}{N} t}\times \frac{2\pi}{N}) \\$

简单的换元法。将两个公式整合后，我们可以重新定义周期中两个点的距离，从而约掉 $\frac{2\pi}{N}$ 得到：

$F(n)=\sum_{t=0}^{N}f(t)e^{-i\frac{2\pi \cdot t}{N} n} \tag{1}$

$\begin{align} f(t)&=\sum_{n=0}^{N}{[\frac{1}{N} \cdot F(n)\cdot e^{i\frac{2\pi\cdot n}{N} t}]}\\ \end{align}\tag{2}$

其中(1)为离散傅里叶变换,(2)为离散傅里叶逆变化。

代码实现：

先定义一个复数的结构体

public struct complex//定义复数  
{ public double real; public double imag; // 写个函数用于显示  public void show() { if (Math.Abs(real) < 0.0001) real = 0; if (Math.Abs(imag) < 0.0001) imag = 0; if (imag > 0) Debug.Log(string.Format("{0} +{1}i", real, imag)); else if (imag == 0) Debug.Log(string.Format("{0}", real)); else Debug.Log(string.Format("{0} {1}i", real, imag)); } }

注:t为f数组的索引，n为F数组的索引，理清楚了代码很好理解

计算DFT,即已知一个 float 数组求频谱

public static complex[] calDFT(double[] f) //(信号，信号长度) { int N = f.Length; complex[] F = new complex[N]; for (int n = 0; n < N; n++) { // 声明  F[n].real = 0; F[n].imag = 0; for (int t = 0; t < N; t++) { // 计算 exp(-i * 2PI * n / N * t)  complex temp; // 欧拉公式 exp(ix) = cos(x) + isin(x)  temp.real = Math.Cos(-2 * Math.PI / N * t * n) * f[t]; temp.imag = Math.Sin(-2 * Math.PI / N * t * n) * f[t]; F[n].real = F[n].real + temp.real; F[n].imag = F[n].imag + temp.imag; } } return F; }

计算IDFT,即已知一个 float 数组求频谱

public static complex[] calIDFT(complex[] F) //(频谱) { int N = F.Length; complex[] f = new complex[N]; for (int t = 0; t < N; t++) { // 声明  f[t].real = 0; f[t].imag = 0; for (int n = 0; n < N; n++) { // 计算 exp(i * 2PI * n / N * t)  complex temp; // 欧拉公式 exp(ix) = cos(x) + isin(x)  double real = Math.Cos(2 * Math.PI * n / N * t); double imag = Math.Sin(2 * Math.PI * n / N * t); // 复数乘法  temp.real = F[n].real * real - F[n].imag * imag; temp.imag = F[n].real * imag + F[n].imag * real; f[t].real = f[t].real + temp.real; f[t].imag = f[t].imag + temp.imag; } f[t].real = f[t].real / N; f[t].imag = f[t].imag / N; } return f; }

随便输入一个float的数组做一下实验

double[] signal = new double[] { 14,12,10,8,6,10}; Debug.Log("----------计算离散傅里叶变化-------------"); var rate = calDFT(signal); foreach (var item in rate) { item.show(); } Debug.Log("----------计算反离散傅里叶变化------------"); var irate = calIDFT(rate); foreach (var item in irate) { item.show(); }

结果如下：

学过线性代数的会觉得有点像是某个维数很高的向量乘以一个对应的矩阵，然后在乘以一个逆矩阵...转回来的过程。

我们记 $W_{t}^{n}=e^{-i\frac{2\pi\cdot n}{N} t}\\$

得到DFT的矩阵： $\begin{bmatrix} f(1)\\ f(2)\\ f(3)\\.\\.\\f(N) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} W_{1}^{1} &W_{2}^{1} &.&.&.&W_{N}^{1} \\ W_{1}^{2} &W_{2}^{2} &.&.&.&W_{N}^{2} \\ .&.&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.&.\\W_{1}^{N} &W_{2}^{N} &.&.&.&W_{N}^{N} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F(1)\\ F(2)\\ F(3)\\.\\.\\F(N) \end{bmatrix}\\$

以及IDFT的矩阵：

$\frac{1}{N}\begin{bmatrix} F(1)\\ F(2)\\ F(3)\\.\\.\\F(N) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} W_{1}^{-1} &W_{1}^{-2} &.&.&.&W_{1}^{-N} \\ W_{2}^{-1} &W_{2}^{-2} &.&.&.&W_{2}^{-N} \\ .&.&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.&.\\W_{N}^{-1} &W_{N}^{-2} &.&.&.&W_{N}^{-N} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} f(1)\\ f(2)\\ f(3)\\.\\.\\f(N) \end{bmatrix}\\$

编辑于 2019-08-14

傅里叶系列（三）离散傅里叶变换（DFT） （转）

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